コロキウム室

〜（1）No.1285 模試Ｓ号外：四面体と平行四辺形〜 NO.1290　四面体と平行四辺形(2)で初等幾何的な、 NO.1312　四面体と平行四辺形(4)の後半でベクトルを用いた（2）の議論を拝見 しました。

一応、今更ながらですが、前半の（1）をベクトルで考えたらどうなるか？を述べ させて下さい。 文字数が多くて泥臭いですが、力業でもちゃんと出来るということも数学では大事 だと思うので（私見）。

NO.1285　四面体と平行四辺形(1)の題意で、 ,, とします。

まず、各点の定義から以下が成り立ちますね。

　　,,
　　, 　　　0 ≦ p, q, r, s ≦ 1

さて、条件（i）から、

ですから、直ちに

　　　　p ＝ q ＝ s 　　…[1]

を得ます。

次に、条件（ii）から、点Ｒは平面ＰＱＳ上にあるので、ある実数α, β が存在して

　　

が成り立ちます。これに、, , の式を代入し、[1] 式を用いて整理すると

　　

となります。これを、上記の [OR] の式と比較して、p が [0, 1] を任意に動くこと に注意して

　　α＝β＝1 , r ＝ 1 - p 　　…[2]

を得ます。

以上から、各点の位置ベクトルは、

　　,,
　　, 　　　0 ≦ p ≦ 1

・・・と表せることが分かります。

このとき、

　　

から、題意の主張（四辺形ＰＱＲＳが平行四辺形であること）は成り立ちます。
なお、問（2）に関しては、上記の結果をそのまま準用すれば p の２次関数の最大 値問題に帰着します。

NO.1229　隠れた円周に関して、 NO.1311　隠れた円周(2) で解析的な議論をしていただきました。
今回は、ちょっと初等幾何的な観点を入れた議論をしてみたいと思います。

点Ｃの直線ＯＰに関する対称点をＤ、２直線ＣＤ、ＯＰの交点をＲとします。
このとき、Ｄは曲線 xy ＝ 1 上に、また３点Ａ，Ｐ，Ｄは同一直線上にあります。
更に、簡単な計算から

　　　　ＣＲ² - ＯＲ² ＝ 2 、ＯＡ² ＝ ＡＲ² - ＯＲ² ＝ 2

であることも分かります。
以上から、ＡＲ ＝ ＣＲ ＝ ＤＲ。即ち、３点Ａ，Ｃ，ＤはＲを中心とする円周上にあります。 このことと３点Ｃ，Ａ，Ｑが同一直線上にあることから、以下を得ます。

　　　　∠ＤＡＣ ＝ ∠ＰＡＱ ＝ π/2

同様の議論により、∠ＰＢＱ ＝ π/2 を得ることが出来ます。 これより、「Ｐ，ＱはＡ，Ｂを直径の両端とする円周上にある」という主張は成り立ちます。 双曲線 xy ＝ 1 を -π/4 (rad) 回転して、直線ＰＱを y 軸に一致させてみると、見通しが良くなるかも知れません。

NO.1322　最大・最小となる点(2)訂正
今更ながらの漸くですが、NO.1319最大・最小となる点(1) の問題２ に関する議論（NO.1322 での後半）で 、ニースケンスさんから戴いたコメント No.NO.1327　最大・最小となる点(3) へのお返事です。

直線APとBCの交点をKとおくと、
(*) ⇔ S_0 ＝ 3△PBC
⇔ AK = 3PK
ですから、Pは...

S₀ ＝ 3・△ＰＢＣ ＝ 3・△ＰＣＡ ですから、点Ｐを通り辺ＢＣ、辺ＣＡに平行 な直線を引いたときの各辺の交点を考えることにより、以下が成り立ちます。


　　　　0 ≦ t, s ≦ 1

紙面節約のため端折りますが、上記両式を , の一次結合に変形して係数を比較することで、

　　　　t ＝ s ＝ 1/2

を得ます。これより、直ちに「Ｐは三角形ＡＢＣの重心である」という結論を得ます。
#なんで、前回間違えたのだろう？(^^;

NO.1373　立方体でないさいころ(2) に関して

僕も、kirkland さんの球面上の領域の面積を全球面の面積で割った値が所望の確 率を与えるものと考えます。
せっかくの平易な説明をわざわざ難しくするようで申し訳ないですが、「立体角」 という概念を導入すると、NO.1373 の図11 の球面上の面積は、点Ｏから見た長方形ＡＢＣＤの立体角…に球の半径の２乗をかけた値…になります。
Ｏを原点とし、Ｏから平面ＡＢＣ、平面ＣＤＨ、平面ＡＤＨに下ろした垂線が z軸、x 軸、y 軸の正方向となるように座標軸をとり、立体角の値を計算してみましょう。その前に、「立体角とはなんぞや？」というのを説明しておきます。

step1：立体角とは？
面Ｓが点Ｏに対して張る立体角（又は、点Ｏから見た面Ｓの立体角）とは、Ｓを底面、Ｏを頂点とする錐面が、Ｏを中心とする半径１の球面から切り取る面積を意味します。Ｓが平面上の領域の場合はこれで話が済んでしまいますが、Ｓが曲面上の領域の場合は、これを微小部分に分けて考えます。 面Ｓ上の点をＰ、 、Ｐを含む微小面積を dS 、Ｐにおける面Ｓの単位法線ベクトルを 、 と のなす角をθとすると、点Ｏからみた微小面の立体角 dΩ は、 の大きさを r として

　　　・・[1]

で与えられます。曲面Ｓの全立体角は、これを積分すれば計算できます。

#とは言え、ここで問題としているのは平面上の長方形なのですが、同じ考え方で計算できます。

step2：題意の面積を計算してみよう
一般の場合で考えてみましょう。Ｓとして、以下の長方形の領域を考えます。

　　　Ｓ ＝ {(x, y, z) | -a ≦ x ≦ a, -b ≦ y ≦ b, z ＝ c}

対称性から、以下の長方形 Ｓ₀ の立体角を求め、それを４倍すれば所望の立体角になります。

　　　Ｓ₀ ＝ {(x, y, z) | 0 ≦ x ≦ a, 0 ≦ y ≦ b, z ＝ c}

さて、面積要素は dS ＝ dxdy にとれます。法線ベクトル として、以下をとりましょう。 ＝ (0, 0, 1) 　このとき、ベクトルの内積の公式から

　　　・・[2]

よって、この [2] 式を [1] 式に代入して積分すれば、求める立体角Ω(S)は、Ｓ の対称性に注意して以下のようになります。



この計算をやっとこさ実行すると、以下の結果を得ます。




試しに数値計算してみましょう。 　(a, b, c) ＝ (2, 3/2, 5/2) を代入すると、

　　　　Ω(S) ＝ 1.0388... ≒ 0.4166×π

です。

step3：さて、問題の確率は？
step2 の長方形Ｓの立体角Ω(S) を直方体全部の立体角（任意の球面をその中心から見た立体角に等しく、値は 4π）で割ると、所望の確率になります。計算すると、Ω(S)/4π ＝ 0.10415... です。 なお、他の面に関しても同様に求めてみると、

　　　　3 cm × 5 cm の面が下の場合：0.15521...
　　　　4 cm × 5 cm の面が下の場合：0.24063...です。

因みに、立方体のさいころの場合を考えると、step2 で a ＝ b ＝ c の場合を考えれば容易に分かる通り、一つの底面をＴとして、

　　　　Ω(T) ＝ 4×Arcsin(1/2) ＝ 2/3・π

ですから、面Ｔが下になる確率はめでたく

　　　　Ω(T)/4π ＝ 1/6

・・・となるわけです。

NO.1374　積分式の解に関して

NO.1374にある式は、 １次元の拡散方程式（∂C/∂t ＝ D・∂²C/∂x²）の解ですね。
この式にある定積分を実行せよというのがご投稿の主旨だと理解しました。

この積分　 　を x の関数として陽に書き出す （三角関数や指数・対数関数、有限次数の多項式とかいった既知関数の積や合成の形 で表現する）ことは出来ないと思います。が、数値計算のために級数表示することな ら可能です。

指数関数のマクローリン展開を用いて、まず以下のようにします。



これを項別積分すれば、以下のようになります。



ここに、x → x/{2√(Dt)} の置き換えをすれば、所望の級数表示になります。
数値計算の目的で使うなら、級数表示は有用な式であると思います。

第１１７回数学的な応募問題

太郎さんの学校では、離任式が今年から３月の下旬に行われる終業式の中でありました。特に、担任のある場合は生徒の驚きは大変なものがあります。１９年間在職されて、今年退職される先生の話の中で、「人生には、３つの坂があります。登り坂、下り坂、あと１つ皆さん、分かりますか？」生徒からは返事のないのを見計らって、「それは　まさか　の　さか　です。皆さん、この　まさか　に出会ったときに　動じることなく、人生を生き抜いてください。」大変ユニークな話でした。

ここで、問題です。
人生の中で、ｎ個の登り坂とｎ個の下り坂に出会ったとします。 そうすると、どんなライフライン（人生模様）ができるでしょうか。 ただし、人生の始まりの地点から、決して下がらないとしてください。 例えば、ｎ＝１場合は、（登り、下り）は良いですが、（下り、登り）は起こらないとします。したがって、１通り。ｎ＝２場合は、（登り、登り、下り、下り）、（登り、下り、登り、下り）は良いが、 （登り、下り、下り、登り）、（下り、下り、登り、登り）などは起こらないとします。 したがって、２通りのライフライン（人生模様）があることになります。

問題１：ｎ＝３の場合は、何通りのライフライン（人生模様）になるか。

問題２：ｎ＝４の場合は、何通りのライフライン（人生模様）になるか。

問題３：一般に、何通りのライフライン（人生模様）になるか。ｎで示してください。

先生	先生「今回は、多くは語らんぞ。だから君も、ギャグなしでやりたまえ。問題１は、【図１】を見て数えなさい。」
Ａ君	「ギャグなしは、寂しいですね〜。ｎ＝３のときは、Ａ０からＡ３まで行く道筋です。Ａ０からＢ０までの道筋は１通りで、Ａ１、Ｃ０までも１通りです。Ｂ１には、Ｃ０から来る場合とＡ１から来る場合があるので、１＋１＝２通りです。そんな感じで、その点までの道筋の数を書き込んでいったのが、赤の数字です。というわけで、５通りですね。」
先生	「よろしい。問題２についても、多くは語らんぞ。」
Ａ君	「同じように数字を書き込んでいってもいいんでしょうけど、図の対称性に注目すると、Ａ０からＡ４に行くには、Ａ２、Ｃ１、Ｅ０のいずれかを必ず通ります。Ａ０からＡ２に行くのは２通りあります。図の対称性からＡ４からＡ２に逆行するのも２通りあって、逆に考えるとＡ２からＡ４に行くのも２通りです。というわけで、Ａ０からＡ２に行く２通りの道筋のそれぞれに対して、Ａ２からＡ４に行く道筋が２通りずつあるので、Ａ０からＡ２を通ってＡ４に行く道筋は２×２＝４通りです。Ｃ１、Ｅ０を通って行く場合も同様に、それぞれ３×３＝９通り、１×１＝１通りです。従って、合計４＋９＋１＝14通りですね。」

先生	「よいよい。問題３は、少しヒントをあげよう。直接数えると大変なので、【図２】のように、人生の始まりの地点よ り下ってもいいことにしよう。」
Ａ君	「ほほう。すると、Ａ０からＡｎへ行くすべての道筋の数から、人生がマイナスになってしまう不幸な道筋（【図２】で、 赤線に触れてしまう道筋。以下、不幸な道筋と呼ぶことにしま〜す）の数を除けばいいんですね。」
先生	「その通り。例えば、【図３】の青線のように進んだとしよう。これだと点Ｐで初めて赤線に触れてしまうわけだ。 点Ｐ以降の道筋を赤線で折り返したのが、緑線だ。２，３実験してみればいいと思うよ。」
Ａ君	「すべてＡｎ’に到着しますね。不幸な道筋は、初めて赤線に触れてしまう点以降を赤線で折り返せば、必ずＡｎ’に 到着するんですね。Ａｎ’は赤線について対称だからですか？。しかしまあ、突飛な考え方ですねぇ。」
先生	「これは、君が知らないだけで有名な話だ。とにかく、細かいことは語らん。」
Ａ君	「というわけで、不幸な道筋の数は、Ａ０からＡｎ’へ行く道筋の数と同じですね。ところで、考え方は十分わかった のですが、実際それぞれの道筋の数は、どうやって計算するんですか？」
先生	「具体例を挙げながらやっていけば、小学生の君でも理解できないこともないんだが、今回は、多くは語らんことにしたので、答えだけだ。Ａ０からＡｎへの道筋の数は２ｎＣｎ、Ａ０からＡｎ’への道筋の数は２ｎＣｎ−１で、この差が、求める数だ。」
Ａ君	「はっきり言って、Ｃとか言われても意味プーです。」
先生	「だから、今回は多くは語らんと言っただろう。また、今度教えてあげよう。」
Ａ君	「語らん、語らんってしつこいですけど、何かのまじないですか？ところで先生、４月になったんだから、僕はもう中学１年生のはずなんですけど？」
先生	「細かいことを気にしちゃあダメだ。そもそもの設定がおかしくなってしまうだろ！それについても、多くは語らん！そもそも、のび太君もずっと小学生のままじゃないか。まぁ、落第したということにしておけば？」

(一部修正　4/8　7:00)

コロキウム室NO.877　整数問題にある

「a，bを自然数とするとき， a²＋b²がabで 割り切れるための必要十分条件は a=b である」

命題
a,bを正の整数、nを２以上の整数、kを０＜k＜n なる整数とするとき、 aⁿ＋bⁿがa^kb^n-kで 割り切れるための必要十分条件はa=bである。

証明
十分性は明らかであるから、必要性だけ示せばよい。 aⁿ＋bⁿがa^kb^n-kで 割り切れるとすれば、

　　　　　　aⁿ＋bⁿ＝ma^kb^n-k （mは正の整数）

と表される。gcd(a,b)=dとおくと、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明おわり）

自分も何か問題を進展させて投稿したかったのですが、ほとんど進まず、時間がたってしまいました。
シンプレクティック積分法なんですが、 計算物理のためのC/C++言語入門/Symplectic数値積分法 に解 説がありました。あと、まだ読んでいませんが、現代物理学叢書 力学 大貫義郎・吉田春夫著にものっていました。数理科学1995年6月号のほうも、学校で少し見てみました。まだ数値計算も入門したばかりなので、これからこの問題を通していろいろと勉強していこうと思います。自分にはまだシンプレティック積分法、他ほとんどの数値積分法が使いこなせないので、手始めに、1次のシンプレクティッ ク法でやってみました。ここに載せられるほどしっかりとやっていないのでグラ フは次の機会にしたいと思いますが、いろいろとパラメータを変えてもサイクロ イドに似たようなものになりました。他に、２つばかり違ったことを考えてみま した。ひとつは、ＤＤＴさんの使っているパラメータαの微分ｄαを時間ｔの微 分ｄｔと関係づけることです。こうすれば、時間経過による動きがわかっていい かと思います。この問題でのラグランジアンは、ｄｔと、ｄξ、ｄθの間の関係 式と見ることもできるので、それにNO.1356 最速降下問題(16) の(1)式を代入する と、ｄαとｄｔの関係が得られ、同じく(1)式のｄαをｄｔで置き換えればで きます。この部分でラグランジアンを出してきてもいいのかということが少し引っ かかりましたが、いけないという理由も見つからなかったので、やってみました。

もうひとつは、ゴールドスタインの「力学」を読んでいて、運動の拘束に関する 章があったのですが、この最速降下線も一種の拘束なのではないかと思い、そこ に載っていた方法をやってみたことです。。拘束するものがなければ万有引力下 では２次曲線を描くのですから、そういうことになりますよね？ そう考え、ＤＤＴさんの導き出したNO.1354　最速降下問題(14) の(28)＊式と、Lagrangeの未定乗数法を使って何か新しい情報が得られないかとやっているところです。式が複雑なので、まずは普通の最速降下線のときにやってみようとも思っています。いつも報告みたいなものしかできなくて申し訳ないんですが、そのうちしっかりと話を展開してみたいです。

新潮社から出ている藤原正彦先生の「天才の栄光と挫折」を読みました。 この本の紹介文を引用します。

ニュートン、関孝和、ガロワ、ハミルトン、コワレフスカヤ、ラマヌジャン、チューリング、ワイル、ワイルズ。いずれおとらず、天才という呼称をほしいままにした九人の数学者たち。が、選ばれし者ゆえの栄光が輝かしくあればあるほど、凡人の何倍もの深さの孤独や失意に、彼らは苦悶していたのではないか。同業ならではの深い理解で綴る錚々たる列伝。

偉大な数学者たちの人間らしい面を知り、よりいっそうその偉大さを感じました。 是非おすすめの１冊です。

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