コロキウム室

第１０１回数学的な応募問題

太郎さんは、「数学A」の教科書で次のような問題をよく見かけます。

問題１：平面上にｎ本の直線があり、どの2本も平行でなく、 また、どの3本も同一の点を通らないものとする。
このとき、これらのｎ本の直線によって平面がａ_ｎ個の領域に分けられたとすると、

（１）数列｛ａ_ｎ｝において、最初の6項を求めてください。

（２）数列｛ａ_ｎ｝において、一般項ａ_ｎをｎの式で表してください。

さて、同じようなことを円の中で考えてみることに気がつきました。

問題２：円周上にｎ個の点があり、そのすべての組み合わせが線で結ばれています。 ただし、内部の点で3本以上の線が交差しないように、 その点が結ばれているものとする。このとき、これらの直線によって、 円の内部がｂ_ｎ個の領域に分けられたとすると、

（１）数列｛ｂ_ｎ｝において、最初の6項を求めてください。

（２）数列｛ｂ_ｎ｝において、一般項ａ_ｎをｎの式で表してください。

模試シリーズ11

双曲線 xy ＝ 1 のグラフ上に２定点Ａ (1, 1) , Ｂ (-1, -1) をとる。直線 y ＝ -x 上の点Ｐ（但し、Ｐは (-1, 1) , (1, -1) , 及び原点とは異なるものとする）に 対して、直線ＢＰとこの双曲線との交点をＣ（Ｂとは異なるものとする）、直線ＡＣ と直線 y ＝ -x との交点をＱとする。このとき、２点Ａ,Ｂは線分ＰＱを直径とする 円周上に存在することを示せ。

今更ながらですが、NO.1196の正解を発表したいと思います。
NO.1204 の DDT さんは、いい線を行っていると思います。 ただ、本問の場合、点Ｐの全体が描く図形は曲線です。

Ｑ (cosα, sinα, 0) とおくことにします。
直線ＰＱと xz 平面の交点が点Ｒですから、Ｒ (X, 0, Z) とすると、ある実数 t が存在して、以下が成り立ちます。

・・・[1]

　これを成分で書くと、以下のようになります。

・・・[2]

これの y 成分から、
　　t ＝ sinα/(sinα - u)　・・・[3]
これを、[2] 式の x 成分と z 成分に代入して、
　　X ＝ (1 - t)・cosα ＝ u・cosα/(u - sinα)
　　Z ＝ tv ＝ v・sinα/(sinα - u)　　　　　　・・・[4]

[4] の２式を cosα、sinα について解き、α を消去して整理すると次式を得ます。

・・・[5]

　[5] 式が xz 平面上の円となるための条件は、
　　v² ＝ u² -1 且つ u²・v²/(u² - 1) ＞ 0
ですが、仮定から u ＞ 1 ですので上記第２式は自動的に成り立ちます。

逆の議論は、演習問題に残しておきましょう。

というわけで、求める関係式は、
　　v² ＝ u² -1, u ＞ 1　…(答)
です。Ｐの描く曲線は、従って双曲線の一部です。

まぁ、確かに試験の問題としては、なかなか大変です。過去、何度かご紹介した問 題も、高校３年〜その上の受験生時代に体験したときの『思い出の問題』です。ただ 、いざ大学での本格的な学問に向けてとなると、ある程度の問題なら何とかこなせる 腕力のある学生が欲しいというのは、大学側の本音でしょうね（かといって、極端に 難しくしても、極端に数学の不得手な学生が入学してしまい、公平な学習到達度の判 定にならないという“問題”もあったりしますが）。
　数学を含めた広い意味での数理科学の素養と基礎的能力を養ってもらうためには、 練習問題を通して数学の考え方に慣れてもらうのも…少なくとも僕程度の凡人には… 必要なわけですが、かと言って受験用に特化せずにそれをやろうとすると、ほぼ必然 的に難易度設定の試行錯誤に陥るわけで、その線引きはなかなか難しいところですね。
　それでも、頭の体操として、趣味で数学を楽しむ分には、ある程度ゲーム感覚でそ の「難しさを楽しむ」のもまたオツなのではなかろうか…と思うことも出来るわけで 、ここではまぁそういうことにしておきましょうか。一連のシリーズは、そうした趣 旨でご紹介致しております。

模試シリーズ号外

複素平面の部分集合として、以下の５つの集合を考える。
但し z は複素数、z^*はその共役、i は虚数単位を表す。

Ａ＝ {z | (z + z^*)/2 が √2 の整数倍}，
Ｂ＝ {z | (z + z^*)/2 が √3 の整数倍}，
Ｃ＝ {z | (z - z^*)/2i が √2 の整数倍}，
Ｄ＝ {z | (z - z^*)/2i が √3 の整数倍}
Ｅ＝ (Ａ∩Ｃ)∪(Ａ∩Ｄ)∪(Ｂ∩Ｃ)∪(Ｂ∩Ｄ)

Ｅから任意の 17 個の元を取り出して作った集合をＦとするとき、Ｆの２点の中点 をとるとそれがＥの元になっているようなＦの元の組が必ず存在することを証明せよ。

#バイト先で見かけた問題です。

ｘｙｚ空間に、側面を母線で展開すると半円で、底面の方程式が ｘ²＋ｙ²＝ｒ² となる、円錐の側面Ｓを考える。
このとき、Ｓを頂点と点(0,-r,0)を結ぶ母線で、頂点と点(0,r,0)を動かさずに展開 する。
できた図形を点(0,0,+∞)から、ｘｙ平面に投影してできた図形をＦとする。 このとき、図形Ｆの曲線Ｃの方程式を求めよ。

第１０２回数学的な応募問題

太郎さんは、この夏補習で「数学�Vの入試問題」を解説する予定です。次の２問を考えてください。

(1)

とおくと、グラフより明らかに T＜S＜U です。ところが

ですから、Sの整数部分は 18 ■

(2)まず、一般に

であることに注意します。

NO.1232において、

「Ｓを頂点と点(0,-r,0)を結ぶ母線で、頂点と点(0,r,0)を動かさずに展開する。」

以下は展開した側面＝半円の直径が x-y 平面と平行であるとした時の解です。

[解]
まず母線の長さRを求めます。
2πr=πR より　R=2ｒ
すると、展開した側面の x-y 平面への正射影は長軸 4r 短軸 2r の楕円の半分になります。

∴C; x²/16+y²/4=r²,z=0 (y≧0)及び y=z=0(lxl≦4R)

Aの元であることを、e(A)と表すことにします。
また、m,nは任意の整数,xは任意の実数とします。

題意より

　　e(A)=√2n+xi
　　e(B)=√3n+xi
　　e(C)=x+√2ni
　　e(D)=x+√3ni

ですから

　　e(A∩C)=√2m+√2ni
　　e(A∩D)=√2m+√3ni
　　e(B∩C)=√3m+√2ni
　　e(B∩D)=√3m+√3ni

このｍ、ｎを整数成分ということにします.

さて、e(A∩C)をｍ、ｎの偶奇性によって分類すれば4通り
e(A∩C),e(A∩C),e(A∩C)も同様ですから全部で16通り。
するとEから17 個の元を取り出し時、 少なくとも2つは上の分類で同じ所に入ります その二つの中点を考えると偶奇性の一致から 同じ分類のところに入ります。　　　　■

となることはどのように証明すればよいのですか？
（これはルジャンドル多項式の有名事項だそうです。）

一部修正7/26　7:30

f(1)=2, f(n+1)=1/f(n) + 2/(n+1) このとき、数列 f(n) を求めよ。（但し、ｎ∈Ｎ）
数学的帰納法を用いて解け。　という問題だったのですが、それではおもしろみがな いので数学的帰納法を用いずに解けないかと思いまして…。
ちなみに数列の解答は　f(n)=(n+1)/n　のはずです。

E-mail 戻る