コロキウム室

第６１回数学的な応募問題

太郎さんは、学校で、ある自然数の約数の問題を扱っています。 （ここでは、約数は正の自然数としておきます。）
例えば、３６＝２^２×３^２　と素因数分解できますから、正の約数は、次の表のように表れます。

３６の約数	３０＝１	３１＝３	３２＝９
２０＝１	１	３	９
２１＝２	２	６	１８
２２＝４	４	１２	３６

したがって、３６の約数の個数は　（２＋１）×（２＋１）＝９　　（個）

また、３６の約数の和は、この表の中の９個の和だから、分配法則から、
（１＋２＋４）×（１＋３＋９）＝９１　　　（答）　

ここで、授業中に、生徒に出した問題を書いておきます。

問１：３６のこの約数の積を求めよ。

問２：３６以下で、３６との最大公約数が１である数の個数を求めよ。

問３：３６以下で、３６との最大公約数が１である数の和を求めよ。

多くの読者の皆さんは、もうこの考え方はよくご存じでしょう。

そこで、新しい疑問を持ち始めました。
１桁の自然数のとき、約数の最大個数は ６＝２×３　、８＝２^３　から　４個が最大個数の約数を持ちます。では、

問題４：２桁の自然数のとき、約数の最大個数を持つ自然数を求めよ。

問題５：３桁の自然数のとき、約数の最大個数を持つ自然数を求めよ。

以上から、４桁の場合も出題したいのですが、太郎さんは、まだ答を見いだしていません。

豊臣秀吉から新左衛門さんの褒美のことを先日書きましたが、実際に計算してみますと、 等比数列の和の公式から、
１＋２＋４＋８+・・・＋２^２９＝２^３０−１＝１、０７３、７４１、８２３粒 になります。
で、昔のこの時代は、お米を年貢として、大名に納めていました。 領地からの年貢米の取り高でその時代の大名の位を決める参考にしていました。 ちなみに、ここ大垣城主戸田藩は１０万石と言われています。＜ＢＲ＞ そこで、当時は、穀物（お米等）を測るのに糧の単位が使われていました。 １石（こく）は１０斗（とう）、１斗は１０升（しょう）、１升は１０合（ごう）、 １合は１勺（しゃく）、１勺は１０抄（さい）、１抄は１０撮（さつ）、１撮は１０圭（けい）、 １圭は６粟（ぞく）となっています。
さて、１升は６万粒として計算すると、 新左衛門さんの褒美は一体約何石何斗何升何合何勺くらいになるでしょうか。 皆さん！新左衛門さんは、取り高どの位の家来と同じになったでしょうか。 興味が湧きませんか。
また、今風の尺貫法とメートル法によると、１升は約１．５ｋｇと言われています。

問１
(２^３・３^３)^３＝６^９＝１０，０７７，６９６

問２

Ｕ＝{ｘ｜ｘは３６以下の自然数}
Ａ＝{ｘ｜ｘは２の倍数、ｘ∈Ｕ}
Ｂ＝{ｘ｜ｘは３の倍数、ｘ∈Ｕ}とする。
有限集合Ｘの要素の個数をｎ(Ｘ)とすると、
ｎ(Ｕ)＝３６、ｎ(Ａ)＝１８、ｎ(Ｂ)＝１２
Ａ∩Ｂ＝{ｘ｜ｘは６の倍数、ｘ∈Ｕ}だから、ｎ(Ａ∩Ｂ)＝６
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)ーｎ(Ａ∩Ｂ)＝１８＋１２ー６＝２４
求めるのは上図のグリーンの部分、ｎ(Ａ∪Ｂ)の補集合です。
ｎ(Ｕ)−ｎ(Ａ∪Ｂ)＝３６−２４＝１２

問３
有限集合Ｘの要素の総和をＳ(Ｘ)とすると、
Ｓ(Ｕ)＝１＋２＋３＋・・・３６＝６６６
Ｓ(Ａ)＝２＋４＋６＋・・・３６＝３４２
Ｓ(Ｂ)＝３＋６＋９＋・・・３６＝２３４
Ｓ(Ａ∩Ｂ)＝６＋１２＋１８＋・・・３６＝１２６
従って上図のグリーンの部分、ｎ(Ａ∪Ｂ)の補集合の要素の個数は、
６６６−(３４２＋２３４−１２６)＝２１６

問４
まず素数を小さい方からかけていきます。
２桁の上限が、２×３×５＝３０です。(更に×７とすると、３桁になってしまう。)
次に指数を上げることを考えます。
２^２×３×５＝６０
２×３^２×５＝９０の２つで、
約数の個数はともに、３×２×２＝１２個
一歩戻って、２^ａ×３^ｂタイプなどで(ａ＋１)(ｂ＋１)＝１２を探すと、
２^３×３^２＝７２
２^５×３＝９６

問５
３桁も同様に考えます。
まず素数の積は２×３×５×７＝２１０が上限です。(更に×１１とすると、４桁になってしまう。)
次に指数を上げることを考えます。
２^３×３×５×７＝８４０
が約数の個数４×２×２×２＝３２で最高です。
一歩戻って、２^ａ×３^ｂ×５^ｃタイプなどで (ａ＋１)(ｂ＋１)(ｃ＋１)＝３２を探しても見つかりませんので、該当は１つだけとなります。

次は４桁です。
素数の積は２×３×５×７×１１＝２３１０が上限です。(更に×１３とすると、５桁になってしまう。)
次に指数を上げることを考えます。
２^３×３×５×７×１１＝９２４０
約数の個数は、４×２×２×２×２＝６４
一歩戻って、２^ａ×３^ｂ×５^ｃ×７^ｄタイプなので (ａ＋１)(ｂ＋１)(ｃ＋１)(ｄ＋１)＝６４を探します。
ありますね。２^３×３^３×５×７＝７５６０

　問２で、集合の個数から、junko さんは求めておられますが、 この計算をさらに、発展させていきます。

	ｎ（Ｕ）−ｎ（Ａ∪Ｂ）
＝	ｎ（Ｕ）−｛ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）｝
＝	３６−｛（３６÷２）＋（３６÷３）−（３６÷６）｝
＝	３６（１−１／２−１／３＋１／６）
＝	３６（１−１／２）（１−１／３）
＝	３６×１／２×２／３
＝	１２　・・・　（答）

さて、３６以下で３６との最大公約数が１である数とは、 ３６以下で３６と互いに素な数ということです。
また、言葉を変えて言うと、２のい倍数でもなく３の倍数でもないという数のことです。
したがって、ｎ（Ａ∪Ｂ）の補集合となります。

ここで、一般に、自然数Ｎについて、素因分解をします。
Ｎ＝ａ^ｐ×ｂ^ｑ×ｃ^ｒ・・・・とします。
このＮ以下の自然数でＮと互いに素な数の個数はオイラー関数φ（Ｎ）といい、
φ（Ｎ）＝Ｎ（１−１／ａ）（１−１／ｂ）（１−１／ｃ）・・・　と表すことができます。

“ビュフォンの針”の問題もエクセルでシュミレーションしてみました。
平行線の間隔　2ｄ=４　したがって　d=2
針のながさ　　2l=2　　したがってl=1　　とします。
針の中心から平行線までの距離　ｘ
針と平行線のなす角　θ
0≦x≦2　0≦θ≦π
θが一定のとき針が平行線と交わる確率　x≦sinθ　
針が平行線と交わる確率　（sinθの０からπまでの積分）／（２×π）＝１／π
したがって　π＝１／（交わる度数）

乱数を使って ｘ とθを与え、x≦sinθによって交わるかどうかの判定をする。
１００００回試行して、交わる度数をカウントすることで、πの近似値を得る。

さて、問３についてですが、別解を投稿します。
３６と互いに素な数の和をＴとすると

Ｔ	＝１＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＋２３＋２５＋２９＋３１＋３５
	＝（１＋３５）＋（５＋３１）＋（７＋２９）＋（１１＋２５）＋（１３＋２３）＋（１７＋１９）
	＝３６×６
	＝２１６

ここで、一般に、集合Ｓの中に要素（数）ｘについて、 数（Ｎ−ｘ）もまた、集合Ｓの中の要素であるとき、 集合Ｓの中の要素をｎとおくと、要素ｘの総和Ｔは Ｔ＝Ｎ×ｎ／２　で求められます。
したがって、オイラー関数オイラー関数φ（Ｎ）を用いて、 φ（３６）＝３６（１−１／２）（１−１／３）＝１２　から
３６と互いに素な数の和をＴとすると
Ｔ＝３６×φ（３６）／２＝３６×６＝２１６　・・・　（答）

また、違った角度から見てみると、

Ｔ	＝（１＋５）＋（７＋１１）＋（１３＋１７）＋（１９＋２３）＋（２５＋２９）＋（３１＋３５）
	＝６（１＋３＋５＋７＋９＋１１）　・・・奇数の和の公式から
	＝６×（６２）
	＝２１６

そこで、２の倍数でもなく３の倍数でもない数列ａ（ｎ）を考えてみると、
ａ（２ｋ−１）＝６ｋ−５，ａ（２ｋ）＝６ｋ−１　だから、
初項から第２ｍ項までの和をＰとおくと、

第６２回数学的な応募問題

太郎さんは、学校で、ある自然数の約数の問題を扱っています。
（ここでは、約数は正の自然数としておきます。）
例えば、８＝２^３　と素因数分解できますから、正の約数は、１，２，４，８です。
だから、８の約数の個数は　３＋１＝４　　（個）
また、８と互いの素な数は、１，３，５，７の４個です。
これは大変興味深い結果です。正の約数の個数と互いに素な数の個数が一致しています。

勿論、自然数Ｎについて、Ｎ＝ａ^ｐ×ｂ^ｑ×ｃ^ｒ×・・・と素因数分解できたとき、 Ｎの約数の個数は、　(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)・・・　で求まります。
Ｎ以下で、Ｎと互いに素の数の個数は、オイラー関数φ（Ｎ）で表すと、

φ（Ｎ）＝Ｎ(1−１/ａ)(1−１/ｂ)(1−１/ｃ) ・・・で書けます。

ここで、問題です。自明な１は除いてもいいでしょう。

「自然数Ｎについて、Ｎの正の約数の個数と、 Ｎ以下でＮと互いに素な数の個数とが一致するような自然数Ｎは 一体どんな数でしょう。」

a，bを自然数とする。
a²+b²がabで割り切れるための必要十分条件はa=bであることを示せ。

E-mail 戻る