コロキウム室

第１１３回数学的な応募問題

太郎さんは、次の問題を生徒から質問されました。皆さん、考えてください。

問題：
△ＡＢＣにおいて、頂点Ａから対辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとし、 ＢＤ＝４，ＣＤ＝６，角ＢＡＣ＝１３５°　とする。 このとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

右図のように角ABD=α、角ACD=βとすると、α+β=135
AD=x　とすると、tanα=4/x、tanβ=6/x

tangentの加法定理

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

にあてはめると、tan135°=-1　より、

　　-1={(4/x)+(6/x)}/{1-(4/x)(6/x)}

これより、x^２+10x-24=0

x＞0より、x=2

従って、面積　S=10

もっとおもしろい別解がありそうですね。

Ａ'君	「先生、初めまして。いつも弟のＡがお世話になってます。」
先生	「お〜、Ａ君の兄さんか。確か、中３だったよね。さて、どうやって解いたのかな？」
Ａ'君	「ＣＡ延長上に△ＡＢＥがＢＡ＝ＢＥの直角二等辺三角形になるように点Ｅをとり、ＥからＢＣに垂線ＥＦを下ろし ます。△ＡＢＤ≡△ＢＥＦ（証明略）なので、ＢＤ＝ＥＦ＝４、ＡＤ＝ＢＦ（＝ｘとおく）です。 △ＡＤＣ∽△ＥＦＣなので、ｘ：４＝６：(ｘ＋10)となって、これを解くと、ｘ＞０よりｘ＝２。 したがって、△ＡＢＣ＝10です。」
先生	「素晴らしい。君は、あの口やかましい単細胞な弟とちがって礼儀正しいし、将来有望だね。」
Ａ'君	「ありがとうございます。お褒め頂いて光栄です。」

Ａ君	「誰が口やかましくて単細胞ですって？ふんっ！こんな問題、僕でも解けますよ！」
先生	「げっ、聞いていたのか。あいかわらず目敏い奴だ。でも、これは小学生には無理だぞ。 そもそも、こっち（コロキウム室）は、すごく難しくてマジメな話ばかりだぞ。君が来ると、どうも話が不謹慎にな って困るんだけど。また、怒られちゃうよ。」
Ａ君	「先生と違って小島先生は寛大だから大丈夫、大丈夫。さて、ヒントを下さい。」

先生	「相変わらず強引だなぁ。とりあえず、ヒントとして小島先生の問題35『３角の問題』でも読んでみれば。」
Ａ君	「読みました。右図の赤の角が45°になるんですね。小学校で習いましたよ。直角二等辺三角形ができるんでしょう？」
先生	「その通り。まぁ、有名な話だから小学校で教えていてもおかしくないな。」
Ａ君	「ところで先生、長さの単位はｃｍですか？ｍ？ヤード？はたまた、光年？」
先生	「あっそうか、小学生だと単位のない長さは困る訳か。ｃｍでいいんじゃない？」
Ａ君	「与えられている長さが６ｃｍと４ｃｍなので、察するに１マス２ｃｍってところですね。 135°っていうのは、180°−45°でしょう？ＢＤは２マスだから・・・ ＯＫ！ひらめきました！２つくっつければ下の図です！偶然にも高さは１マス分で２ｃｍ。 三角形の面積は10×２÷２＝10ｃｍ２で〜す。 しかし、何ともこじつけっぽいというか、インチキ臭いというか何というか……。 でも、ざまあみろ、堅物兄貴！僕にも解けたよ〜んだっ！」
Ａ'君	「ところでＡ。母さんに頼まれていたおつかい、ちゃんと行ったのか？」
Ａ君	「げげっ、すっかり忘れてた！お兄様〜、一緒に謝って下さいよ〜。」

NO.272から始まる定義域の問題で答えが で結論が出ているよ うなのですが、 x=-1　は　定義域に入らないのでしょうか？　-1^(-1) = -1 , -1^{-1^(-1)} = -1 ... で y=-1 と一意に決まりますが？

*　･･･2/12訂正

とりあえず、最後は逃げました。
［NO.1344　最速降下問題（13）の続き］
逆二乗力作用下（万有引力，重力）での最速降下線問題にﾄﾗｲします。

１．問題のスケッチ
図-1のように地球の中心に原点を持つ(x，y)座標系をとり、その原点を中心とする極座標系を(r，θ)とします。
まず地球の重力ﾎﾟﾃﾝｼｬﾙは、極座標の動径rを用いて、

　　　　　　　　　　(1)

と書けます。ここでGはﾆｭｰﾄﾝの重力定数，mは最速降下線を降下する点の質量，Mは地球の質量です。式(1)のﾎﾟﾃﾝｼｬﾙの零点は、無限遠にとっています。
ﾎﾟﾃﾝｼｬﾙの零点はどこにとっても良いので、図-1の最速降下線の開始点Aのある半径r₀をﾎﾟﾃﾝｼｬﾙの零点とします。零点をこのように選ぶと(1)は、

　　　　　　　　　　(2)

です。ここでr₀−r＝ξとおくと、

　　　　　　　　　　(3)

となります。ξは質点の落下距離です。
質点mの運動開始からの経過時間は、その運動軌道の線素をdsとして、

　　　　　　　　　　(4)

で計算できます。ここでsは、運動開始点からmの現在位置までの運動軌道の弧長，vは現在位置での質点mの速度で、v＝v(s)という関数関係は必ず成立します。式(4)のdsとvを、最初に導入した(x，y)座標か、極座標(r，θ)で表せば、経過時間Tを最小にする右辺の積分の条件として、ラグランジュ方程式に持ち込めます。

２．線素dsの(r，θ)表現

　　　　　　　　　　(5)

ですが、

　　　　　　　　　　(6)

に注意すると、

　　　　　　　　　　(7)

なので、

　　　　　　　　　　(8)

が得られます。dr･dθの項が出ないのは、直交曲線座標の一般的性質で、(ξ，θ)が(r，θ)と等価であることは明らかです。

３．速度vの(r，θ)表現
式(3)が、降下することによって質点mが失った、位置エネルギーの減少を表します。エネルギー保存則を仮定し、運動開始点では速度0を仮定すると明らかに、

　　　　

なので、これより、

　　　　　　　　　　(9)

です。ただしGM＝kとしました。式(9)でξがr₀に比べてじゅうぶん小さい場合、分母のξを無視すると、v＝(2GMξ/r₀²)^1/2であり、さらにr₀が地球の半径と大体等しければ（地表面付近であれば）、GM/r₀²＝gなので、ふつうの最速降下線問題になります。つまり式(9)分母のξは、逆二乗力という条件下では落とせないわけです。式(8)，(9)を用いれば、式(4)は、

　　　　　　　　　　(10)

と書き換えられます。

４．運動軌道の導入
式(8)と(9)はいうなれば、(x，y)系と(r，θ)系（もしくは(ξ，θ)系）の間に成立する2次元座標系間の一般的関係を導いたにすぎません。しかし質点mは、運動軌道を持つわけですから、ξとθには関数関係ξ＝ξ(θ)（r＝r(θ)）が成り立ちます。どんな関数形かは、これから計算するわけですが。よって式(10)をその意味に捉えるために、ﾙｰﾄ内をdθ2で割り、dξ/dθをつくります。もちろん以下の式(11)において、ξはもちろんθの関数と考えます。

　　　　　　　　　　(11)

次に積分区間は式(10)で［0，s］となっていましたが、式(11)では、積分ﾊﾟﾗﾒｰﾀがθにおきかわっているので、sとθの関係も考慮します。図-1より、質点mがすべって来た弧長sは、落下距離ξの関数とできそうです。ξはθの関数でした。s＝s(ξ)＝s(ξ(θ))となり、sもθの関数と仮定します。そうすると積分記号∫の融通性から、［0，s］を［0，θ］に書き換えるだけで済みます。さすがはﾗｲﾌﾟﾆｯﾂやﾖﾊﾝ・ﾍﾞﾙﾇｰｲです。融通が効いて偉い！（ﾆｭｰﾄﾝだとこうはいかない気がする）。あとは式(11)をﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｭ方程式に載せるだけですが、しんどそうです。

５．ラグランジュ方程式の計算
式(12)がラグランジュ方程式です。

　　　　　　　　　　(12)

上式のLは、用語を流用してラグラジアンと呼びます。またLは、式(11)の積分記号の中身です。

　　　　　　　　　　(13)

ただし、

　　　　

とおいてます。式(13)に式(12)を代入すると、逆二乗力下の最速降下線の微分方程式が、

　　　　　　　　　　(14)

と得られますが、ベタな計算をすると、どえらい式になります。

６．近似方程式
式(14)でξ／r₀〜0を仮定すれば、２．で述べたように、通常の最速降下線になりそうですが、通常のﾀｲﾌﾟは(x，y)系での微分方程式です。式(14)は、極座標(r，θ)に等価な(ξ，θ)に関するものなので、その影響を調べます。そのために式(14)をr₀²で割れば、そのラグラジアンは、

　　　　　　　　　　(15)

となります。L₀は、Lの近似ラグラジアンです。一方、通常の最速降下線のラグラジアンは、

　　　　　　　　　　(16)

と書けます。y'はもちろん、y'＝dy/dxのことです。式(16)のﾙｰﾄ内に−が現れるのは、例えばNo.1150などとyの方向が逆だからです。式(15)と(16)を比較すると、

　　　　y → −ξ，y' → −ξ'/r₀，g → k (17)

という対応が成り立ち、重力加速度がgからkに変更された通常の最速降下線になりそうですが、この対応は、実は不完全です。というのは式(16)のy'とはy'＝dy/dxのことであり、式(15)のξ'とはξ'＝dξ/dθのことなので、(17)の対応が完全に成り立つためには、dx〜−r₀･dθが必要です。そこで式(7)でr＝r₀とおき（ξ／r₀〜0の仮定）、dx＝−r₀･dθを要求するとθ＝π/2が得られ、このときdx＝−r₀･dθ，dy＝dr＝−dξとなって(17)が成立します。よって、図-1の運動開始点Aのじゅうぶん近傍（鉛直方向にも，水平方向にも）では、通常の最速降下線で近似できます。逆二乗力は回転対称な力場なので、この結果はA点が地球上空のどこにあっても同じです。

６．局所解
６．ではξ／r₀〜0の仮定のもとに、通常の最速降下線が得られるためには、dx＝−r₀･dθが必要でした。それならいっそのこと、χ＝−r₀θなる座標系に移ってしまったらどうでしょう？。NO.1150とy方向を合わせることにすれば、L₀₀のﾙｰﾄ内の−が消え、ξ'＝dξ/dχ＝−r₀^-1･dξ/dθのことなので、今度は式(15)と(16)の対応が完全に成り立ちます。
ラグランジュ方程式(12)は、どのような座標系に移っても成り立つ式なので、ξ／r₀〜0だけの場合（すなわち落下距離がじゅうぶん小さいという仮定のみの場合）にも、(ξ，χ)系では、通常の最速降下線の形が得られることになります。この結果はちょっとびっくりしましたが、(ξ，χ)系とは図-2のような座標系です。
(ξ，χ)に身をおいて考えればわかるように、落下距離がじゅうぶん小さく重力定数を一定とみなせれば、地球中心を向いている逆二乗力は、(ξ，χ)系にとっては、(x，y)系におけるふつうの一様重力場と同じです。よってこれは、逆二乗力が回転対称な場であるという一般的事実から、系に最初から約束されていた解だったのです。ここで極座標を使用したことは、計算技術的には本質的ですが、物理的には本質的ではありません。極座標は、逆二乗力が回転対称な場なので、それに合わせて導入した表現手段にすぎません。それが直交曲線座標だったために、(x，y)系における通常の問題と完全な対応を、たまたま陽に示せたというのは、いってしまえば幸運だったというわけです。

以上の議論は、別に運動開始のA点でなくてもできるはずで、逆二乗力下最速降下線の厳密解の任意の一点で、その局所解は、通常の最速降下線の形で得られます。
局所解が得られれば、それをつなげていくことによって厳密解を、少なくとも数値計算的には得られます。解析的な厳密解はそれの理想化です。局所解の接続を解析的に行う方向で、厳密解の可能性をさぐってみます。
まず局所解を求めます。そのために厳密解の一点(ξ，χ)の近傍に、(ξ，χ)系に平行な(η，ε)系を導入します。(η，ε)系は(ξ，χ)の近傍に限定されるので、(η，ε)では普通の最速降下線問題です。ただ一つ違うのは、質点が点(ξ，χ)で初速度を持つことです。点(ξ，χ)で質点が持つ速度は、式(9)です。(ξ，χ)からさらにη降下した状態を式(9)で想像し、NO.1150を参照しつつ、(η，ε)系での局所解の微分方程式を書くと、

　　　　　　　　　　(18)

となります。εで積分して積分定数をA²、η＋ξ＝A²sin²(α/2)とおくと、

　　　　　　　　　　(19)

が得られます。AとBは積分定数で、点(ξ，χ)におけるαの初期値α＝uで、(η，ε)＝(0，0)という条件から特徴付けられます。これは局所解(19)が、厳密解の一点(ξ，χ)を通るという条件です。

　　　　　　　　　　(20)

より、

　　　　　　　　　　(21)

これより、

　　　　　　　　　　(22)

が得られます。積分定数はA，Bと二つあったので、もう一つ条件が必要です（uの決定と同じ）。α → uの極限では、局所解(22)は厳密解と接っしなければなりません。どうしてかというと、厳密解と局所解とが図-3のような関係になっていなければ、局所解をつなげて厳密解を得ることができないからです。式(22)より、

　　　　

であり、図-3の状態を要求すれば、α → u の極限では、

　　　　　　　　　　(23)

が必要です。式(23)では、

　　　　

の関係を使っています。BR> ξ＝ξ(χ)＝ξ(χ(−r₀θ))は、厳密なラグランジュ方程式(14)を満たすものでなければなりません。もしξ＝ξ(χ)の関数関係がわかっていれば、式(23)からuを決定できますが、しかしξ＝ξ(χ)を求めたいのです。式(23)は厳密解（大域解）とuとの関係を示します。つまりuは、u＝u(ξ，χ)であり(η，ε)系の原点(ξ，χ)ごとに違うものだということです。ということは数値積分を行うことだけを考えてみても、大域解と関連付けられたuの決定方程式が必要です。このことは冷静に考えてみれば、実は当然のことです。
厳密なラグランジュ方程式(14)は、2階の微分方程式です。積分定数は二つあり、それは厳密な最速降下線が通過する始点と終点から決まります。これを局所解の始点と終点を決めるAとBまたは、Aとuにおきかえてみれば、局所解の始点と終点は厳密解の二点を通過しなければならないので、ひいては厳密解の始点と終点との関係によって決定され、厳密解（大域解）との関係は避けて通れないことになります。厳密解の微分方程式が必要です。
厳密なラグランジュ方程式(14)は、どえらい式になりそうなので裏返します。何を裏返すのかというと、式(14)では、ξはθの関数と考えていました（これが最も安全です）。しかしθをξの関数と考えてはいけないでしょうか？。
まずうるさく言わなければ、これは常にできます（あなたが、そう思えばいいのです）。次に物理的状況として「最速降下線」なので、ξとθ（またはχ）は、1対1に対応しそうです。とどめとしては、そう仮定して計算して、結果がそれに合えばいいだけの話です。そういうわけで、θをξの関数とみなします。式(10)に戻りましょう。式(10)を再記した式(24)において、θをξの関数とみなします。

　　　　　　　　(24)

θをξの関数の関数とみなしたのだから、ﾙｰﾄ内はdξ²で割るべきです。θ'＝dθ/dξとして、

　　　　　　　　(25)

となります。ラグラジアンは次式(26)となり、あまり(13)と変わったようにはみえません。

　　　　　　　　(26)

しかしラグランジュ方程式をつくると、効果がすぐわかります。ラグランジュ方程式は、どのような変数変換を行おうと成り立つ式でした。式(14)の(ξ，θ)から(θ，ξ)に移ろうとも同じです。

　　　　　　　　(27)

式(27)の2項目に注目すると、ラグラジアンはθを陽に含みません。従って、

　　　　

とおけ、Cを積分定数として、

　　　　　　　　(28)*

となります。*ただしC≧0で、図-1より、dξ/dθ≦0としました。
式(28)を微分方程式として積分できれば、ξとθの陽な関係を与えられるはずですが、僕はあきらめました。でもそうなると、数値解を求めるしかありません。そのために、数値積分に便利な大域的な微分方程式を導きます。

８．大域的な数値解
まずχとθの関係は、dχ＝−r₀dθなので、

　　　　　　　　(29)*

です。式(29)を式(23)に使えば、

　　　　　　　　(30)*

が得られます。一方(η，ε)系は一点(ξ，χ)の近傍系なので、式(22)が成立するのは、dα＝α−uが小さい範囲に限られます。さらにdε＝−r･dθ，dη＝dξに注意して、式(22)をαで微分すれば、

　　　　　　　　(31)*

が得られます。式(31)の左辺は、厳密解の大域変数の微分(dξ，dθ)であり、右辺のdαの係数も大域変数ξのみで表わされているので、もはやパラメータαは局所解のパラメータとしてではなく、大域的なパラメータと考えて大丈夫です。
よって運動開始点の座標(ξ₀，θ₀)に、dαが微小として式(31)から決定される(dξ，dθ)を、ひたすら加え続けていけば、厳密解の近似解が得られます。ただし数値解を求めるためには、積分定数を具体的に決める必要があります。積分定数を決めます。式(31)には、積分定数が3個あります。それぞれ、

　　�@ 運動開始点の座標に対応するもの．
　　�A 運動終了点の座標に対応するもの．
　　�B 媒介変数αの初期値に関するもの．

となります。�@，�Bは式(31)の意味から暗黙に要請され、�AだけがCとして陽に含まれます。まず�Bは、αが大域パラメータとなったので任意です。運動開始点でα＝0とします。�@については図-1を参照し、運動開始点を(ξ₀，θ₀)＝(r₀，π/2)とします。�AのCについてですが、式(31)のdξ＝の右辺のﾙｰﾄ内は、常に0以上でなければなりません。かつ位置ξのみの関数です。これは、保存系における広い意味での振動運動を表わす微分方程式に一般的な状況で、式(31)のﾙｰﾄ内を0とするξ＝ξ₁が、運動の回帰点を表わします。どうしてかというと、ξ＞ξ₁ではﾙｰﾄ内が負となるので、ξ＝ξ₁から運動を続けるためには、ξは減少するほかないからです。実際、ξ＝ξ₁では式(31)のﾙｰﾄ内は0でdξ＝0であり、これはξが極値に達したことを示します。よって運動の回帰点ξ₁を越えた運動は、系が保存的であることから、ξ≦ξ₁で成立した運動を逆向きにたどることになります。*すなわち式(28)のルートの符号を決めるときに捨てた、マイナス符号の片割れに、解は接続されることになります。以上の状況は、例えば、単振動の微分方程式の第一積分と同じです。そしてθ＝θ(ξ)と裏返せると仮定したことは、少なくとも回帰点までは正しかったことが保証されます。回帰点までは正しいので、あとは回帰点で区分して区分的に解をつばげていけば良いこともわかります。
式(31)より、ﾙｰﾄ内が0以上となるためには、

　　　　　　　　(32)

が必要です。特定のξ＝ξ₁で、式(32)の等号を成立させるCを選んだとき、ξ＝ξ₁が最速降下できる限界降下距離になります。

９．通常の問題との対応
式(31)を詳しく調べれば、きっと通常の最速降下線問題との対応がつくはずです。特に重力定数の変化によって、サイクロイドの転がり半径がどのように変化するのかとかを調べられると思います。でももう、じゅうぶん長いので、またの機会に・・・ということで・・・逃げました。

興味深く読ませていただきました。僕なんか勉強不足で局所解を求めることなんて思い浮かびませんでした。最後のほうの式を使って数値解を求めてみようと思います。一応自分のやってみた方法と最終的な目標を書いときます。

僕も、用語を借りると、はじめにラグランジアンを求めて、それからハミルトニアンまで作って作用変数、角変数を使って解こうとしました。(でも途中で断念です・・) それで目標なんですが、本当はもうひとつ天体があって、3体問題になったときの最速降下線を数値計算でもなんでもいいから見てみたいのです。どこかでスゥイングバイのことが書いてあって、それによると、スゥイングバイをつかって人工衛星を他の惑星まで飛ばすと、普通に行こうとするよりかなり早く行けるというのです。それで、もし最速降下線があったら、それはこのスウィングバイによる軌道を通るのかそれとも単なる通常の最速降下線をつなげたような軌道になるのか。いろいろ関係してきてどうなるのかわかりませんが、もし数値計算して前者のような軌道が現れたら、きっとものすごく感動するだろうなあ・・・ ということで、もしこのことに興味をもった方がいたら何か教えてくださると嬉しいです。(それは解けないよ、とかでも)

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