コロキウム室

(1)
n ≧ p² であるとき、n を pで割った商を x 余りを y とすると、
n = x・p+y で、
x≧p、0≦y≦p ですから、題意は示されました■

(2)
まず、x_i、y_i が * を満たし、x_i＜pの時
x₁＜x₂ ならば、
px₁+y₁≦px₁+ｘ₁　、 px₂≦px₂+y₂ で
px₂-(px₁+ｘ1)=p(x₂-x₁)-ｘ₁≧p-x₁＞0　だから
px₁+y₁＜px₂+y₂ である…�@ことに注意します。

さて、 * の形に表せるは、x を固定して考えると
y は0〜ｘを動くから x+1 通り
よって、ｘ＜ｐ での総数は
Σ（ｘ=0 to p-1)(x+1)=p(p+1)/2

これらは、�@により全て異なりますから(1)とにより
求める個数は
ｐ²-1-p(p+1)/2=(p-2)(p+1)/2 …答　　　■

(1)
一般に2平面α 、β の交線を ｌ とし、ｌ に平行な α 上の直線を m とする時、mを含む平面 γ (≠α）は l に平行ですから、γ と β の交線 n は ｌ と平行になります。

したがって、PQ//OB//RS, PS//AC//QR…�@　
i.e四辺形ＰＱＲＳは平行四辺形です。

(2)
まず、�@より、
θ=∠QPS=OBとＡＣのなす角=constant に注意します。

さて、OP:PA=t:1-t (0＜t＜1) とすると、
�@より PQ=(1-t)OB、PS=ｔAC
よって
□PQRS=t(1-t)OB・AC sinθ/2≦OB・AC sinθ/8
等号は t=1/2 のとき
つまり、P、Q、R、Sが各辺の中点である時最大になります　■

まず、有理等差数列の公差は有理数である…�@ことに注意します。
次に、1/p,2/(p+q),1/q の大小を考えます
1/p-2/(p+q)=(q-p)/{p(p+q)}＞0
同様にして容易に
2/(p+q)-1/q＞0
すなわち
1/p＞2/(p+q)＞1/q…�A

すると、和が最小となるものを考えるのですから
初項=1/p 末項=1/q なる数列で、項数が最も少ないを考えれば十分です。…�B

さて、�Aを通分しますと
{q(p+q)}/{pq(p+q)}＞(2pq)/{pq(p+q)}＞{p(p+q)}/{pq(p+q)}　ですから
1/p,2/(p+q),1/q が(この順に)等差数列の項をなす
　　　⇔q(p+q),2pq,p(p+q) が等差数列の項をなす…�C

�Cの時、その公差d は�@�Bより整数とできます。
さらに、
q(p+q)-2pq=q(q-p)　2pq-p(p+q)=p(q-p) から、
ldl は、q(q-p)、p(q-p) の公約数であり
項数を最小にするためにはGCMであることが必要です

すなわち ldl=q-p

すると、項数は {q(p+q)-p(p+q)}/ldl=p+q より p+q+1項

以上より最小なる和は
(1/p+1/q)(p+q+1)/2 …答　　　　■

(1)任意の自然数ｎに対して、

　　　　ｐｘ≦ｎ＜ｐ(ｘ＋１)

を満たす整数ｘ(≧０)が存在する。
ｎ≧ｐ²ならば、ｎの最大性より

　　　　ｘ≧ｐ

となるから、

　　　　ｙ＝ｎ−ｐｘ

とおくと

　　　　０≦ｙ＜ｐ(ｘ＋１)ーｐｘ＝ｐ≦ｘ

よって、ｎ＝ｐｘ＋ｙ、０≦ｙ≦ｘと表せる。

(2)(1)の冒頭で述べたことより、(*)の形に表せない０以上の整数は、

　　　　ｐｘ＋ｙ(ｘ≧０、ｘ＋１≦ｙ≦ｐ−１)

と表されることになる。このような整数は、

　　　　ｘ≧０かつｘ＋１≦ｙ≦ｐ−１、すなわち０≦ｘ≦ｐ−２

の範囲に存在し、各ｘについてｐ−１−ｘ個あるから、 求める個数は、

(1) y=x²-4x+5,y=2x [y軸]
y=x²-4x+5をxの2次方程式と見て解き

で、ゴリゴリ計算してもいいのですが…(^^;;
バームクーヘン分割といわれる奴で

[解]
「x=x の時の領域の y 方向の幅は -x²+6x-5
これをｙ軸の回りに回転して得られる円筒の側面積は
2πx(-x²+6x-5) これに厚みdx を掛ければ
dV= 2πx(-x²+6x-5)dx 」(これは、特にことわらなくてもよいようです。)

したがって

…答

(2)y=x,y=x²-x [y=x]
これも、水の流れさんのヒントの様にＰＱをtで表して積分してもいいのですが…(^^;;
ひとつ、傘形分割といわれる奴で

[解]
「x=x の時の領域の y 方向の幅は L=-x²+2x
これをy=xの回りに回転して得られる傘形を考える。
傘形を円錐の側面とみたとき、その円錐の底面の半径rは
r=L/√2
したがって、傘形の側面積はπＬ²/√2=π(-x²+2x)²/√2
これに厚みdxを掛けて dV=π(-x²+2x)²/√2・dx=π/√2・(x⁴-4x³+4x²)dx」
(これも、特にことわらなくていいようです。)
したがって、

…答

質問なんですがｆ（ｘ）＝ｘ^ｘ を不定積分するとどうなるんですか？

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