コロキウム室

なつかしいゼ−タ−関数の登場ですね。

「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」にこんな計算をさせて、あの角度の和の極限を見ま したので，報告します。
有限積（１＋ｉ／ｋ）（ｋ＝１，２，３，・・・）をしまして、その偏角をみました。
もちろん，ｋ＝３のときは，９０度になります。
ｋ＝１６と１７の間で１８０度を越えます。
ｋ＝８１と８２の間で２７０度を越えます。
ｋ＝３９６と３９７の間で３６０度を越えます。
したがって、 ｋ＝無限大の無限積（１＋ｉ／ｋ）の結果はｃｏｍｐｌｅｘ　ｉｎｆｉｎｉｔｙになります。
それと、arctan x　をｉ　とlog　で表せましたし，そこから、ご存じの オイラーのｅ^ｉα＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα　の有名な式もでてきました。
そして、これを使って，角度の和をlog　の和や差で表されましたが、 無限大の極限値にもっていけないのです。
ここのところが、ゼーター関数，ガンマ関数，オイラー定数が関連するのかな？

（体の代数拡大と指標の独立性）

今回から、ガロア理論を考えてみたいと思います。 これまでの リングセオリーシリーズと 代数方程式シリーズの内容を踏まえれば この理論を展開する事は、それほど大変な事ではありませんが、 まだ全くやっていない概念もいくつかありまして、 その中で最も基礎的なものは線形代数です。 実はガロア理論は線形代数の知識を使うと意外なほどにすっきりとします。 もともと線形代数は連立方程式論との関係が深いですから、それも当然かもしれません。 それをわかりやすい形で初めて世の中に伝えたのはEmile-Artin先生です。（この人は大先生）

（定義）
Kを体として、kがKの部分体とは、ｋはKの部分環であってかつｋ内の０でない元が全て unitを成す事をいう。この状態をK／ｋと書いて、Kをｋの拡大体という。

上の定義のK／ｋを「体の拡大」といいます。 最も典型的な体の拡大は複素数体Cと有理数体Qです。 つまりC／Q。 （以下Zと書いたら整数環、Qを有理数体、Rを実数体、Cを複素数体とします。 今まではRと書いたら環を表す事が多かったですが、 これからはAとかBとか書いて環を表します。 この環については断りますが、Z、Q、R、Cについてはいちいち断らない事とします。ご注意）
さて、Ｋ／ｋを体の拡大とします。 ｋ［X]を体ｋ上の多項式環とします。 これは環でしたからこのｋ［X]を係数とする２変数の多項式環、（ｋ［X]）［Y]が作れます。 これをｋ［X、Y]と書いて２変数の多項式環といいます。 帰納的にｎ変数の多項式環を次で定義します。
ｋ［X₁、Ｘ₂、・・・、Ｘ_n］：＝（ ｋ［Ｘ₁、Ｘ₂、・・・、Ｘ_n-1］）［Ｘ_n］
ここで代入原理から、Sをｋの部分体としますと、Sからｋへ内部写像が取れて、 これは環写像ですから、
φ：S［Ｘ₁、Ｘ₂、・・・Ｘ_n］→ｋでφ（Ｘ_i）＝α_iなる代入射が取れます。 （但し１≦ｉ≦ｎで、α_iはＫの元）この代入射φのイメージ、 つまりＩｍ（φ）をＳ（α₁、α₂、・・・α_n）と書いて、Ｓにα_iを添加した体といいます。 もう大分昔のことかもしれませんが、 NO.699　代数方程式の代数的解法（１）で書いたことを 数学的に書き直したものです。 与えられた方程式を代数的に解くとは定義体に累乗根を次々と添加していき、 全ての根がその定義体の拡大体に含まれるように拡大の列が取れることでした。

（ベクトル空間について）
今はリングセオリーではないので、ここではよく使われるベクトル空間の定義を書きます。 後で余裕があるようでしたら環を用いてこのベクトル空間を一般化します。

（定義）
アーベル群Ｖが以下の条件を満たすとき体Ｋ上のベクトル空間という。
まず、写像Ｋ×Ｖ→Ｖが、（ａ、ｍ）→ａｍと定まっていて、∀ａ、ｂ∈Ｋ、∀ｍ、ｎ∈Ｖに対し

1. （ａ＋ｂ）ｍ＝ａｍ＋ｂｍ
2. ａ（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ａｎ
3. （ａｂ）ｍ＝ａ（ｂｎ）
4. １ｍ＝ｍ

（定義）
ｎ個のベクトルａ₁、ａ₂・・ａ_nがＫ上一次独立であるとは、 α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋・・・＋α_nａ_n＝０⇒ α₁＝α₂＝・・・＝α_n＝０に限る事をいい、 ａ₁、ａ₂・・・ａ_nがＫ上一次従属であるとは、 少なくとも１つは０でないα_iがあって、α₁ａ₁＋・・・＋α_nａ_n＝０を満たす事をいう。 但しα_iはＫの元である。

この一次独立や一次従属などは、ベクトル空間の中では最も基本的な言葉です。

（定義）
一次独立なベクトルの最大個数をそのベクトル空間の次元という。 ベクトル空間Ｖの次元がｎであれば、この事をdimＶ＝ｎと書く。

これもやはり大切な概念です。「体Ｋ上」のベクトル空間ということを強調する場合 、Ｖの次元がｎである事を［Ｋ：Ｖ］＝ｎと書きます。 Ｋ／ｋを体の拡大とすれば、写像ｋ×Ｋ→Ｋ、（ｃ、ｘ）→ｃｘをうまく定めれば、 Ｋはｋ上のベクトル空間になります。 そして、［Ｋ：ｋ］でｋ上ベクトル空間Ｋの次元を表す事とします。 この次元を拡大次数といいます。 この場合、スカラーは狭いｋの方から取ってきていることに注意してください。

（定義）
α∈Ｋがｋ上代数的（algebraic)であるとは、 ｆ（α）＝０を満たすｋ［Ｘ］の元ｆ（Ｘ）が存在する事をいう。但しｆ（Ｘ）≠０とする。

代数方程式の根になる数を代数的といいますが、 これはその概念を一般の体に拡張したものです。 πとかは代数的でない数として有名です（これを証明したのはエルミートという人）。 代数方程式の根になる数というのはよくよく考えてみますと、 コンパスと定規を用いて作図可能な数という事になります。
例えば などは１辺が１の正方形の対角線になります。 そうすると、代数的でない数はコンパスと定規を使って作図できない数という事です。 古代から角の3等分線は作図できない事が知られていますし、 与えられた円に等しい面積の正方形の作図もできません。これはπが代数的でないからです。
α∈Ｋに対し、写像φ：Ｋ［Ｘ］→Ｋをφ（Ｘ）＝αで定めます。 代入原理からそれは可能でした。
さてこの代入射φのカーネルを考えます。 Ｋｅｒ（φ）＝Ｉとおきます。このときαが代数的⇔Ｉ≠｛０｝です。
なぜなら、αが代数的ならば定義から、ｆ（α）＝０なるｆ（Ｘ）≠０がｋ［Ｘ］から取れて、 このことはｆ（Ｘ）∈Ｉを意味しています。
よってＩ≠｛０｝です。逆にＩ≠｛０｝を仮定しますと、 ０でない元がＩの中にあって、それをｇ（Ｘ）とおくと、カーネルの定義から、 φ（ｇ（Ｘ））＝ｇ（α）＝０ですから、αは代数的です。
Ｋ［Ｘ］はNO.751　リングセオリー（１９）の問題１３で見たようにＰＩＤでした。 ですからＩ＝（ｐ（Ｘ））と書けます。（ｐ（Ｘ）∈Ｋ［Ｘ］です。）
今、ｐ（X）≠０ならばばＫが体である事から、その最高次係数をくくりだして、 ｐ（Ｘ）の最高次係数が１になるようにできます。 （最高次係数が１の多項式をmonicな多項式といいます）かつｐ（Ｘ）の次数を最小に取ります。 このｐ（Ｘ）をαの最小多項式といいます。
実際、ｐ（Ｘ）とは異なるｆ（Ｘ）について、ｆ（α）＝０ならば、ｐ（Ｘ）｜ｆ（Ｘ）となります。 このことからも、最小というイメージがつかめると思います。
それから、ｐ（Ｘ）｜ｆ（Ｘ）は整数環の時と同様に、 ｆ（Ｘ）＝ｐ（Ｘ）ｇ（Ｘ）なるｇ（Ｘ）が取れることを意味します。 また次数の最小性からｐ（Ｘ）が既約であることもわかります。
従って（ｐ（Ｘ））は素イデアルであって、（０）でないから極大イデアルで （なぜならＫ［Ｘ]も、ｋ[Ｘ]もＰＩＤ）よって、ｋ[Ｘ]／Ｉは体となります。 これは第一同型定理からｋ（α）と同型です。つまりｋ[Ｘ]／Ｉ〜ｋ（α）です。
ここで、ｋ[Ｘ]／Ｉの具体的な形について考えてみましょう。
deg(ｐ（Ｘ））＝ｎとおきますと、ｐ（Ｘ）はmonicですから、 ｐ（Ｘ）＝ａ₀＋・・・・＋Ｘⁿと書けます。
∀ｇ（Ｘ）∈ｋ［Ｘ］を取ってきてｐ（Ｘ）で割ります。 すると、
ｇ（Ｘ）＝ｐ（Ｘ）ｑ（Ｘ）＋ｒ（Ｘ）　　 但しｒ（Ｘ）＝０か、deg（ｒ（Ｘ））＜deg（ｐ（Ｘ））
今ｐ（α）＝０を考えれば、ｇ（α）＝ｒ（α）ですから、 ｋ［Ｘ］／Ｉ〜ｋ（α）＝｛ａ₀＋・・・ａ_n-1α^n-1｜ａ_i∈ｋ｝ となっています。 さらに、１、α、α²、・・・α^n-1は一次独立になっています。

（その証明）
ａ₀＋ａ₁α＋・・・＋ａ_n-1α^n-1＝０とすると、 αはｇ（Ｘ）＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋・・・＋ａ_n-1Ｘ^n-1の根ですが、 αの最小多項式はｐ（Ｘ）でその次数はｎですから、 ｎより次数が小さい多項式の根とはなりません。 よって、ｇ（Ｘ）＝０より、ａ₀＝・・・＝ａ_n-1＝０となって、 １、α、・・α^n-1は一次独立です。 そして、［ｋ（α）：ｋ］＝ｎがわかりました。　　　（証明終わり）
つまり、ｋ（α）／ｋですが、その拡大次数はαの最小多項式ｐ（Ｘ）の次数となっている事が わかりました。以上の考察からわかった事をまとめてみれば、次の大切なコロラリーを得ます。

（コロラリー）
α∈Ｋのとき、次は同値である。

1. αがｋ上代数的
2. ｋ（α）は体
3. ［ｋ（α）：ｋ］＜∞

この公式は指数関数と三角関数の統一が虚数によって見事に表されています。
以上が、この問題を考えているときに出てきた、副産物です。
ここまでは、＜参考文献：数学の愉しみ創刊号（日本評論社）＞から抜粋です。

また、�@をこのように変形しても出てきます。

になって、後は同じです。
さて、本題ですが、　

これを[Mathematica]で計算しました。 また、図形的にも、直角を挟む２辺を１と１／ｎとする三角形を、 次々とオウム貝のように螺旋上に重ねていったとき、 その合計の角の和は、どれだけでも大きくなっていきます。 したがって、求める和は無限大になります。

前回からの続きです。

（定義）
K／ｋを体の拡大とし、これが代数的（algebraic）であるとは∀α∈Kがｋ上代数的になっている事 をいう。

さて、ここからが今回の本題です。

（面白そうな方程式）
ｆ（ｘ）＝ｘ³−２∈Ｑ［ｘ］とします。
この根はα、αω、αω²の３つであることはわかると思います。 但しαは２の３乗根、ωは１の立方根です。 従ってω²＋ω＋１＝０を満たします。
さて、定義からこの３つの根はＱ上代数的でかつ、Ｑ（α、αω、αω²）⊆Ｃです。
αの最小多項式をｐ（ｘ）とおきますと前回見たように、 ［ｋ（α）：ｋ］＝deg（ｐ（ｘ））でした。 すなわち拡大次数は最小多項式の次数に等しいのです。
いま、αの最小多項式（もちろんＱ上の）はｘ³−２ですから、 従って［Ｑ（α）：Ｑ］＝３です。
それから同じようにωのＱ上最小多項式はｘ²＋ｘ＋１なので［Ｑ（ω）：Ｑ］＝２です。
ああ、それから、αやωはＱの元ではありませんから、 当然Ｑ（α）⊃ＱとＱ（ω）⊃Ｑが成り立っていますよ。
次に［Ｑ（α、αω、αω²）：Ｑ（ω）］と、 ［Ｑ（α、αω、αω²）：Ｑ（α）］を求めたいのです。 そのためには次の補題が必要でしょう。

（補題１）
Ｑ（α、αω、αω²）＝Ｑ（α、ω）が正しい。

（証明）
まず、Ｑ（α、αω、αω²）⊂Ｑ（α、ω）はいえると思います。
といいますのも、α、ω∈Ｑ（α、ω）ですから、 Ｑ（α、ω）が体である事を考えれば、αω、αω²∈Ｑ（α、ω）だからです。
次に逆の包含関係です。
α、αω∈Ｑ（α、αω、αω²）ですから、 やはりＱ（α、αω、αω²）が体である事を考えると、
α^‐（αω）＝ω∈Ｑ（α、αω、αω²）だからです。
よってＱ（α、αω、αω²）＝Ｑ（α、ω）です。　　（証明終わり）

この補題によると、求めたい物は［Ｑ（α、ω）：Ｑ（ω）］と、 ［Ｑ（α、ω）：Ｑ（α）］に化けました。
ところで、２変数多項式の定義はＡを環とするとＡ［ｘ、ｙ］＝（Ａ［ｘ］）［ｙ］でしたから、 Ｑ（α、ω）＝（Ｑ（α））（ω）です。
ですから［Ｑ（α、ω）：Ｑ（ω）］を求めるにはＱ（ω）上αの最小多項式の次数を 求めれば良いという事になりますね。それをｇ（ｘ）とおきます。
するとα³−２＝０ですから、ｇ（ｘ）｜ｘ³−２となります。
よって適当な多項式ｓ（ｘ）を用いてｘ³−２＝ｇ（ｘ）ｓ（ｘ）です。 ところが左辺は既約な多項式ですから、ｓ（ｘ）定数ということになりdeg(ｇ（ｘ））＝３ である事がわかります。だから［Ｑ（α、ω）：Ｑ（ω）］＝３です。
同じように［Ｑ（α、ω）：Ｑ（α）］を求めます。
Ｑ（α）上ωの最小多項式をｈ（ｘ）とします。 するとｈ（ｘ）｜ｘ²＋ｘ＋１ですから、 ｘ²＋ｘ＋１＝ｈ（ｘ）ｍ（ｘ）と書けます。
左辺は既約ですから、ｍ（ｘ）は定数で、従ってdeg（ｈ（ｘ））＝２ですから、 ［Ｑ（α、ω）：Ｑ（α）］＝２となります。

体の拡大次数ｎの体の拡大Ｋ／ｋを「ｋ→（ｎ）Ｋ」で書くことにします。 つまり矢印の行き先が拡大体となっているように書き、 拡大体と矢印の間に拡大次数を書きます。 すると、今考察したことを下のような図に書く事ができます。

Ｑ→（３）Ｑ（α）
↓　　　　　　　↓
（２）　　　　　（２）　
Ｑ（ω）→（３）Ｑ（α、ω）⊂Ｃ

（補題２）
Ｍ→（ａ）Ｎ→（ｂ）Ｋを有限次拡大の体の拡大列とすると、［Ｋ：Ｍ］＝ａｂが正しい。

この補題が言っている事はつまり、［Ｋ：Ｎ］＝ｂ、［Ｎ：Ｍ］＝ａでａとｂが共に有限ならば、 ［Ｋ：Ｍ］＝［Ｋ：Ｎ］［Ｎ：Ｍ］が成り立つといっています。 それを認めるならば［Ｑ（α、ω）：Ｑ］＝２・３＝６となります。
この補題２の証明ですが、ベクトル空間においての基底の概念をまだはっきりと書いていないので、 それを書いてから証明したいと思います。 （ものすごく簡単な証明ですから、基底や次元についての概念をお持ちの方はやってみてください）
Ｑ（α、ω）＝Ｅとおいて、このＥを方程式ｆ（ｘ）＝ｘ³−２の分解体といいます。 分解体上では方程式はバラバラに因数分解していることがわかると思います。
またＡｕｔＥ＝｛σ｜σ：Ｅ→Ｅ環同型｝とおきますと、 写像の合成を演算に群を成しました （NO.706 代数方程式の代数的解法（４）を参照）。 このＡｕｔＥをＥ上の自己同型群といいます。
ガロア理論の本質はこの自己同型群の部分群と中間体の間に一対一の対応があるという事でした （NO.706 代数方程式の代数的解法（４）を参照）すなわち、 今の例では、次の集合AとBの間には一対一の対応があります。

A＝｛K｜Q⊆K⊆Eなる中間体｝
B＝｛H｜H＜AutE｝

但し、H＜AutEとは、HはAutEの部分群であることを意味します。 今後この書き方はよく使いますから覚えておいてください。
さて、具体的な対応のつけ方を語る前に言葉を定義します。
Gal（E／K）：＝｛σ｜σ∈AutEで、∀a∈Kに対してσ（a）＝a｝
つまりKの元を皆固定するE上自己同型群をこのようにGal（E／K）とかきます。
また、Ｅ（H）：＝｛ｘ∈E｜∀σ∈Hに対しσ（ｘ）＝ｘ｝として、これをHに対する不変体といいます。
つまりHの元（これは写像）によって動かないEの元です。
また、Gal（E／K）はAutEの部分群となっていて、またE（H）は上のAの元です。 つまり中間体となっています。

（その証明）
まず、恒等写像１は全ての元を固定するE上自己同型ですから、 １∈Gal（E／K）より、Gal（E／K）≠φです。
次に∀τ、σ∈Gal（E／H）を取ってくると、∀a∈Kに対し、τ（a）＝a、σ（a）＝aで、 従って、a＝σ^‐（a）です。
よって、τσ^‐（a）＝τ（σ^‐（a））＝τ（a）＝aより、 τσ^‐∈Gal（Ｅ／K）ですから、 部分群の定義からGal（Ｅ／K）はＡｕｔＥの部分群です。 従ってGal（E／K）∈B

まや、Ｅ（Ｈ）が中間体である事を言うので、つまりＥの部分体になっている事を言います。
∀σ∈Ｈに対し、σ（１）＝１ですから（なぜならばσは環写像）、 １∈Ｅ（Ｈ）より、Ｅ（Ｈ）≠φ。
∀ａ、ｂ∈Ｅ（Ｈ）に対し
σ（ａｂ）＝σ（a）σ（ｂ）＝aｂ、σ（a＋ｂ）＝σ（a）＋σ（ｂ）＝a＋ｂ、
σ（-a）＝−σ（a）＝−aより、aｂ、a＋ｂ、−a∈E（H)で、
さらに、０≠∀a∈E（H）から取ると、Eが体であることからa^‐が存在して、 aa^‐＝１なので、
σ（aa^‐）＝σ（１）＝１⇔σ（a）σ（a^‐）＝１

よってσ（a）^‐＝σ（a^‐）⇔a^‐＝σ（a^‐）であって、 a^‐∈E（H)となり E（H）はEの部分体ですから、E（H)∈Aです。　　（証明終わり）

このことから、集合AとBの間には次のような対応がついていることがわかりました。

B∋H→E（H)∈A
A∋K→Gal（E／K）∈B
今は方程式ｘ³−２について考えています。
それから、Gal（E／K）を方程式ｘ³−２の分解体EにおけるK上ガロア群といいます。
代数方程式が代数的に解けるためには、 このガロア群が可解である事が必要かつ十分であることが証明されます。
ここで実際にガロア群の計算に入りましょう。

（例１）
ｍ∈Qとし、√ｍを無理数とします。
ここでｆ（ｘ）＝ｘ²−ｍのQ上ガロア群を求めてみたいと思います。
まずこの方程式の分解体EはもちろんQ（√ｍ）です。
求めるべきはGal（E／Q）＝Gal（Q（√ｍ）／Q）ですね。 ここから少し受験っぽいテクニックを使います。
∀φ∈Gal（E／Q）に対して、今考えなければならない事は無理数である√ｍがどう移るかです。 といいますのもQ上の環写像はすべて恒等写像ですから （NO.751 リングセオリー（１９）の問題を参照）。
ここで、０＝φ（０）＝φ（（√ｍ）²−ｍ）＝φ（√ｍ）²−φ（ｍ）ですから （ここが受験時代に培ったセンスの発揮所です）、 φ（ｍ）＝ｍを考えて（なぜなら、くどいですが、Q上の環写像は恒等写像なので） ｍ＝φ（√ｍ）²です。
従ってφ（√ｍ）＝±√ｍである事がわかります。
ｆ（ｘ）＝０なる方程式の根はもちろん±√ｍですから、φ（√ｍ）はｆ（ｘ）の根です。 ここがポイントです。
つまりここから方程式上のガロア群はその方程式の根の置換を引き起こす事が予想されるのです （それが正しいことをすぐに証明します）。
さて、分解体Ｅ＝Ｑ（√ｍ）の任意の元はａ＋ｂ√ｍという形をしているので（なぜならＱ（√ｍ） は多項式環Ｑ［ｘ］に√ｍを代入したのもだから）、
ａ、ｂ∈Ｑを考えてφ（ａ＋ｂ√ｍ）＝φ（ａ）＋φ（ｂ）φ（√ｍ）＝ａ±ｂ√ｍです。
よってφ（√ｍ）＝√ｍならばφは恒等写像１です。
またφ（√ｍ）＝−√ｍならば、φはＥの元をａ−ｂ√ｍに移す事がわかりました。
従ってGal（Ｅ／Ｑ）＝Gal（Ｑ（√ｍ）／Ｑ）＝｛１、φ｝である事がわかります。
但しφはφ（ａ＋ｂ√ｍ）＝ａ−ｂ√ｍなる環同型です。 この場合は方程式ｆ（ｘ）＝０上のガロア群は位数２の群であることがわかりました。

（方程式上のガロア群の元はその方程式の根を置換する写像となっている事の証明）
Ｋを体としＥをｆ（ｘ）∈Ｋ［ｘ]の分解体とする。
Gal（Ｅ／Ｋ）∋∀φに対して、ｆ（ｘ）＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋・・・ａ_nｘⁿとする。
φはＫの元を固定するＥ上の自己同型なのでこの場合、 ｆ（ｘ）の係数を全て固定するので、
φ（ｆ（ｘ））＝ａ₀＋ａ₁φ（ｘ）＋・・・＋ａ_nφ（ｘ）ⁿだが、
ｆ（ｘ）の根をαとすると、 ｆ（α）＝０なのでφ（ｆ（α））＝ａ₀＋ａ₁φ（α）＋・・・＋ａ_nφ（α）ⁿ＝０。
従ってαがｆ（ｘ）の根ならばφ（α）もｆ（ｘ）の根である。　　（証明終わり）

このことは簡単な事ですが、極めて重要な事です。

（例２） ｆ（ｘ）＝ｘ²＋１を考えて、この方程式のＱ上のガロア群を今度は求めてみましょう。
この方程式の分解体はＱ（ｉ）で、従って求めるべきはGal（Ｑ（i）／Ｑ）です。
Ｑ上の環写像は全て恒等写像です（できる限りこれを確かめて下さい。但し少し高級です）。
ですから例１と同じようにして、Gal（Ｃ／Ｒ）＝｛１、φ｝です。 但しφ（ａ＋ｂi）＝ａ−ｂiです。
このガロア群ではｆ（ｘ）＝０の根±iで、 i→−iと−i→iと根を置換していることに注意してください。
今回はこれくらいにして、次回からいよいよ前半の山である、 「指標の独立性」を考えて見ましょう。

ところで、ぜひ皆さんも適当な方程式を作って定義体 （NO.699　代数方程式の代数的解法（１）参照）に根を添加して図などを書いて「遊んで」みてください。 世界が広がる事を保証いたします。

第４７回数学的な応募問題

太郎さんは、数式ソフト「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｖｅｒｓｉｎ４」をＷＯＬＦＲＡＭ社から、 購入しました。
分からないままに、使っていましたところ、次のような無限積を求めてくれません。
しかし、ｎ=10、100、1000、10000、・・・・とすると極限値を求めてくれます。
太郎さんは、この値がある極限値に収束していると思っています。
真の値に至るまでの過程を皆さん、教えてください。

問題：

の極限値を求めたいのですが、 とりあえず、「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」にやらせてみましたところ、以下のようになりました。

皆さんは、ｎの階乗はｎ！＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)・・・３×２×１ということをご存じです。
では、ｘの階乗関数はｘ^[k]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)・・・(ｘ−ｋ＋１) と表される関数をいいます。
例えば、
ｘ^［１］＝ｘ，ｘ^［２]＝ｘ(ｘ−１)， ｘ^［３]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)、ｘ^［４]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)(ｘ−３)、 ｘ^［５]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２))(ｘ−３)（ｘ−４)、・・・・・・です。
ここで、問題です。
ｘ^２＝S(2,1)ｘ^［１］＋S(2,2)ｘ^［２] となる 係数S(2,1)、S(2,2)を求めてください。
さらに、ｘ^３＝S(3,1)ｘ^［１］＋S(3,2)ｘ^［２]＋ S(3,3)ｘ^［３]となる係数S(3,1)、S(3,2)、S(3,3)を求めてください。
そして、 一般に、ｘ^ｎ＝S(ｎ,1)ｘ^［１］＋S(ｎ,2)ｘ^［２]＋ S(ｎ,3)ｘ^［３]＋・・・＋S(ｎ,ｎ)ｘ^［ｎ]となる 係数S(ｎ,1)、S(ｎ,2)、S(ｎ,3)、・・・、S(ｎ,ｎ)を求めてください。
係数S(ｎ,1)、S(ｎ,2)、S(ｎ,3)、・・・、S(ｎ,ｎ)　を連続組立除法で解いてみてください。 ちょっとした発見ができますよ。

「Triangle of Stirling numbers of 2nd kind」　の求め方は、 大別して以下の４通りがあるようです。

1. 今回の階乗関数を使うもの。（これには２通りがあるようです。）
2. 指数関数を使うもの。
3. 漸化式、２次のマトリックスを使ってプログラムによるもの。 （私も組んでみました。）
4. Junko先生が導いておられたサンメンションによるもの。

　Formula:    S2(n,k) = k*S2(n-1,k)+S2(n-1,k-1), n>1. S2(1,k) = 0, k>1.
　               S2(1,1)=1.
　               E.g.f. m-th column: ((exp(x)-1)^m)/m!.
　               S2(n,k) = (1/k!) * Sum_{i=0..k} (-1)^(k-i)*C(k,i)*i^n.
　Example:   1; 1,1; 1,3,1; 1,7,6,1; 1,15,25,10,1; ...
　Program:   (PARI) S2(n,k) =
　              if(k<1|k>n,0,if(n==1,1,k*S2(n-1,k)+S2(n-1,k-1)));
                printp(matrix(9,9,n,k,S2(n,k)))

最近 Weekend Mathematics から遠ざかっていたのですけど， 久しぶりに覗いてみると「無限級数の和」という興味深いテーマがあって 楽しんでしまいました．
よく考えると，以前(といってもすごーく前ですが) 私が投稿した NO.106 プレゼントの問題（１５） の h(m) が Junko先生の NO.757 無限級数の和（８）における A_m-1に相当していますね．
「プレゼントの問題」 と「無限級数の和」の一連のお話は 何か関係があるのかもしれませんね．

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