コロキウム室(ゼーター関数物語・その１)

NO.336　　　　'99 2/15 　　 水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（１）
　　

「数学の知性」Ｗ．ダンハム著：中村由子訳（現代数学社） 読んで、これからゼター関数ζ（２）物語を投稿します。

「時は、１７世紀後半ヨーロッパ大陸のフランスのパリにドイツの外交官 として、派遣されていたライプニッツ（１６４６〜１７１６）がいました。
幸運なことに、当時ドイツの科学者ホイエンス（１６２９〜１６９５）は パリに在住していました。このホイエンスに数学の勉強を教わっていました。
さて、このときの問題です。
みなさんは三角数をご存じですか？１，３，６，１０，・・・ と三角形になるように配置したときの数字です。
では、その三角数の逆数の和を求めてください。
すなわち、Ｓ＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋・・・・ のＳの値を求めてください。」

＜注：　実は、この解法がライプニッツのパリ在住４年間（１６７２〜１６７６） の数学的洞察力を開花させるきっかけとなったものです。＞

NO.338　　　　'99 2/16 　　 みや　　 　　　 ゼーター関数物語（２）
　　

NO.339　　　　'99 2/16 　　 水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（３）
　　

ゼター関数ζ（２）物語を第２夜を送ります。
「１７世紀後半、１６８４年、ライプニッツは学術誌 「Ａｃｔａ　Ｅｒｕｄｉｔｏｒｕｍ］に 素晴らしき微分学を発表しました。
ライプニッツは１７１６年亡くなりましたが、 この後継者である二人のスイス人の兄弟はヨーロッパ中に微分を広め、 定着させる大きな力になりました。
兄ヤコブ・ベルヌーイ（１６５４〜１７０５）は確率論で知られています。
弟ヨハン・ベルヌーイ（１６６７〜１７４８）は兄ヤコブが１６８９年 発表した「無限級数に関する論文」の中に ”調和級数は無限大に発散する”ことを証明しています。
ここで、問題です。

調和級数　１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・・・は無限大に発散する。

皆さんは、これを現代風にでも結構ですので、証明してください。
後で、ヤコブ著「ｔｒａｃｔａｔｕｓ」（１７１３年） の中での発散の証明を書きます。今日はここまです。

NO.343　　　　'99 2/18 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（４）
　　

NO.344　　　　'99 2/19 　　 水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（５）
　　

「ゼター関数ζ（２）物語第３夜の始まり、始まり。
見事に、調和数列　１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・ が無限大に発散する証明が終わりました。
ところが、弟ヨハン・ベルヌーイは兄ヤコブ著「tractatus」の中で、 ライプニッツの収束する級数
１／２＋１／６＋１／１２＋１／２０＋・・・＝１
を利用して、こんな風に書いています。

＜証明＞　最初の項を省いて、調和数列を
Ａ＝１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・　　とおく。
さらに、後に参照するために、分子が１，２，３，４，・・・ となるよう変換しておきます。
すると、 Ａ＝１／２＋２／６＋３／１２＋４／２０＋５／３０＋・・・
ライプニッツの収束する級数をＣとおき、それから順次
１／２、１／６、１／１２、１／２０、・・・ を省きながら一連の級数を作ります。

Ｃ＝１／２＋１／６＋１／１２＋１／２０＋１／３０＋・・・＝１
Ｄ＝１／６＋１／１２＋１／２０＋１／３０＋・・・＝Ｃ−１／２＝１／２
Ｅ＝１／１２＋１／２０＋１／３０＋・・・＝Ｄ−１／６＝１／２−１／６＝１／３
Ｆ＝１／２０＋１／３０＋・・・＝Ｅ−１／１２＝１／３−１／１２＝１／４
Ｇ＝１／３０＋・・・＝Ｆ−１／２０＝１／４−１／２０＝１／５
・・・

ここで、ヨハンは上の整然と並んだ式の式を左から順に縦に足してみます。
すると

Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋・・・

＝１／２＋（１／６＋１／６）＋（１／１２＋１／１２＋１／１２）＋　（１／２０＋１／２０＋１／２０＋１／２０）＋・・・
＝１／２＋２／６＋３／１２＋４／２０＋・・・
＝Ａ

Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋・・・＝１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・
　　　　　　　　　　　　　＝１＋Ａ

NO.346　　　　'99 2/19 　　 みや 　　　 ゼーター関数物語（６）
　　

調和級数が発散することの証明です。

この証明はあっているかどうか自信はありません。 シグマから積分に変形しているあたりが怪しいです。

NO.348　　　　'99 2/20 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（７）
　　

NO.350　　　　'99 2/21 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（８）
　　

NO.351　　　　'99 2/21 　　 水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（９）
　　

「ゼーター関数ζ（２）物語第４夜の始まり、始まり。
昨夜、こんな問題を出したままでしたね。
『任意の整数をｋとして、
　１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／２^ｋ＞（ｋ＋１）／２』
皆さん、ニコル・オレスムと同じ証明になるでしょうか？ もし、そうなら数学的真理の普遍性を実感します。 実は、ニコル・オレスムの証明と同じことが、６世紀後でも、 「Junko」さんが NO.343で証明しています。 数学的真理の神秘に驚いています。

さて、ヨハン・ベルヌーイはもう１人の数学者イタリアの ピエトロ・メンゴーリにも先を越されています。 メンゴーリの証明は１６４７年、ベルヌーイの証明の４０年 ほど先立つものでした。
これは実にシンプルな証明ですが、まず最初に前提になる定理が出てきます。

第４夜の問題です。皆さん、解いてみてください。
『任意の整数をｋとして、
　１／(ｋ−１)＋１／ｋ＋１／(ｋ＋１)＋＞３／ｋ　である』
この定理は３個の連続する整数の逆数を足したとき、 その和は真ん中の数の逆数の３倍より大きいという問題です。
これが、メンゴーリが１６４７年に行った短い証明の 中で調和級数への挑戦に必要な定理でした。」

NO.355　　　　'99 2/22 　　 みや　 　　　 ゼーター関数物語（１０）
　　

NO.356　　　　'99 2/22 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（１１）
　　

NO.357　　　　'99 2/23 　　 水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（１２）
　　

「ゼーター関数ζ（２）物語第５夜の始まり、始まり。
さて、前提になる定理も無事証明出来ました。 ここで、１６４７年に行ったメンゴーリの証明を紹介します。

といった具合に続いていきます。
メンゴーリの論証の美しさは自己複製していくところにあります。 ステップごとに先行条件の定理を適用し、 新たに同じような調和数列に出会うことになりますが、 そのときは１増えているというわけです。
上に揚げた不等式を見ると、Ｈは１より大きく、 ２より大きく、３より大きくなっていて、 実際にこの手順を繰り返していｋｒば、たとえどんな有限数を 設定してもＨはそれをしのぐ数であることが分かります。
そういうわけで、ヨハンの偉大なる定理は証明方法は異なるにしてもオレスム、 メンゴーリの後塵を拝していたわけです。

さて、【数学の知性】という本から離れますが、 よく見かける次の無限級数の値を覚えていても有意義なことです。
『次の無限級数の値を証明してみてください。 ＜今夜の問題ではありませんが＞

それでは、物語にもどります。 ヤコブはまた「ｔｒａｃｔａｔｕｓ」において、 この調和級数を前提に 整数を２乗したものの逆数の和にも触れています。すなわち、

では、今夜の問題です。 ヤコブはこの級数が２より小さいことは分かっていました。

『　１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・＜２　を証明しましょう。』

この値は１７３４年、他でもないヨハン・ベルヌーイのもとで数学を学んだ一人の 若者によって解決されることになります。 この続きは、明日の夜お話しましょう。お楽しみに！　」　終わり

NO.361　　　　'99 2/24 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（１３）
　　

NO.357

NO.363　　　　'99 2/24 　　 月の光 　　　 ゼーター関数物語（１４）
　　

NO.357の(1)(3)の証明です。

NO.364　　　　'99 2/24 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（１５）
　　

NO.357の(1)だけなら、 NO.363におけるlog(1+x)のテイラ−展開において、
x=1を代入することで得ることができますね。

NO.365　　　　'99 2/24 　　 みや 　　　 ゼーター関数物語（１６）
　　

NO.367　　　　'99 2/25 　　 月の光 　　　 ゼーター関数物語（１７）
　　

NO.368　　　　'99 2/25 　　 水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（１８）
　　

「ゼーター関数ζ（２）物語第６夜の始まり、始まり。
昨晩、こんな証明を出しましたね。皆さんは容易に証明できましたね。
『　１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・＜２　を証明しましょう。』
この結果、一般に数列ａ(n)について、単調増加で上に有界な数列は 収束しますから、ヤコブは何らかの有限な数に収束することを示しましたが、 ベルヌーイ兄弟にはその和の正確な値を出すことはできませんでした。
ヤコブは”今もって私たちの必死の探求の目をかいくぐっている、 その答えを教えてくれる人があるならば、私たちは多いに感謝する・・・” と言い訳をしています。
ベルヌーイ兄弟は何もアイデアももっていませんでした。 それどころか、かのライプニッツ その人さえ明らかに手に負えない問題だったのです。
この級数、１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・の正確な和を求める問題は大変 難解で、捕まえどころのない数値を出すためにはベルヌーイ兄弟以上の 天才的能力が必要でした。
面白いことに、この問題は１７３４年、他でもないヨハン・ベルヌーイのもとで 数学を学んだ一人の若者によって解決されました。
その生徒こそ、偉大なるレオンハルト・オイラーその人でした。
この驚異的な人物は１７０７年、スイスのバーゼルに生まれました。 当然ながら、幼いときからのその天才ぶりを発揮し、 牧師である父親は息子をあの高名なヨハン・ベル ヌーイのもとで学べるように奔走したのでした。 １７２７年、オイラーはロシアのセントペテルスブルグ大学に 医学と生理学のポストに就きました。 その後、１７３３年、ついにオイラー にも数学教授の椅子が巡ってきました。 不幸なことに１７３０年代の中頃から右目の視力が 落ち始め、まもなくまったくみえなくなってしましました。
オイラーがセントペテルスブルグ大学での初年度、 １７３４年に発表したのがゼーター関数
ζ（２）＝１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・の値でした。
　このとき、彼はこう語っています。 ”・・・私は予想もしなかったエレガントな式を発見した。 ・・・それもπを用いてのものである。

オイラーの偉大なところは同じ式を２種類の方法で表現して、 結びつけるところにあります。
どこまでも異なる２つの見地から１つの目標を見出していく能力が、 彼の最も深遠で美しい論証を特徴づけています。
さて、ここで、第６夜の問題です。
手始めに、次の無限級数と無限積が等しいことを証明する必要があります。

ただし、右辺はすべての素数ｐにわたる無限積を表します。 この感覚をつけておかないと、随所にでてきます。
今夜はこれで終わりです。ちなみに、上のことが分かった人はNO.359の 「素数の逆数の総和」の証明は容易にできるでしょう。

NO.369　　　　'99 2/25 　　 みや 　　　 ゼーター関数物語（１９）
　　

NO.373　　　　'99 3/1 　　 Junko 　　　 ゼーター関数物語（２０）