コロキウム室(代数方程式の代数的解法・その１)

part 1

もうすぐ２０００年でいろいろな問題がとり立たされているようですけれど、さしあ たって興味のある問題は代数方程式の代数的解法についてです。
大昔から４次方程式までは根の公式を用いて解けることが知られていました。 根の公式を用いて解くことを代数的に解くといいます。
いわゆる４則演算が定義されている集合を体といいますが、 この体を用いて代数方程式の構造を解明したのがアーベルであり、 演算が１つしか与えられていない集合である群を用いてアーベルと同じ事をしたのがガロアです。
中学で習った２次方程式にはもちろん根の公式があるわけですから、 ２次方程式は代数的に解けることになります。 従って、３次方程式が与えられたとき、もしその３次方程式を２次方程式に帰着させることが できれば解くことができます。 ４次方程式も３次方程式に帰着することで解けますが、 実はこのように次数を下げて根の公式を作れるのは４次までなのです。 ５次方程式になるとどんなに工夫をしても次数を下げることはおろか、 逆に次数が５次より大きくなってしまいます。 ６次方程式になるともっと悲惨なことが起きてくるわけです。
多くの人々が５次以上の方程式を代数的に解こうとしましたが成功しませんでした。 そのように１８００年位までは４次までが代数的に解きうるとされていたのです。 そこで発想を転換しておそらく５次以上の代数方程式には根の公式が存在しないので はと考え出した人が現れだしました。 しかしながらそれを証明することはそれほど容易なことではなく、成功したのはたったの２人でした。 アーベルは代数方程式の根になる数がどのような性質を持つのかを調べ体の概念を発 見します。体の定義を厳密に書いておきましょう。

（定義）
集合Fが体であるとは、F≠φであって、Fには足し算（＋）と掛け算が与えられてい て次の９つの公理を満たすものを言う。

1. a+(b+c)=(a+b)+c
2. Fの中には０が存在してa+0=0+a=aを満たす。
3. a+b=b+a
4. Fの中にはa+x=0を満たすxが存在してこのxを-aと書く。
5. a(bc)=(ab)c
6. ab=ba
7. a(b+c)=ab+ac
8. Fの中には1が存在してa1=1a=aを満たす。
9. Fの0でない任意の元aはax=1を満たすxをFの中にもつ。このｘをa^‐と書く。 （ただし∀a,b,c∈F）

part 2

前回のNO.699 part１では気の赴くままに書いてしまい、 投稿の計画やどこまで語るかの方向性を書くのを忘れてしまいました。
part２ではこれから先進んでいくための多少の道具を用意しつつ 僕がなぜこれを書こうと思ったかの動機を（忘れなければ）書いていこうと思います。
まずは写像と言う概念です。高校では参考書には載っているのをたまに見かけます が、写像は数学を組み立てていく上で決定的な役割を果たします。ここでその定義を 書いておきましょう。

（定義）
AとBをどちらもφでない集合とする。
A×B＝｛（a,b）｜a∈A、ｂ∈B｝としてこれをAとBの直積という。
さて、g：A → B　が「AからBへの写像である」とは次の３つを満たすことをいう。

1. g⊂A×B
2. ∀a∈Aについて（a,b）∈gとなるｂBが必ず存在して、 このｂをg（a）とかいてaのgによる像という。
3. （a,b）∈gかつ（a,b’）∈g⇒ｂ＝ｂ’

つぎは写像の種類について定義しておきましょう。

（定義）
g：A → Bが単射であるとは∀a,b∈Aについてg(a)=g(b）⇒a=bということ
g：A → Bが全射であるとは∀ｂ∈Bについてｂ＝g(a）となるaがA内に存在すること
g：A → Bが全単射であるとはgが全射かつ単射であるということ

gが単射ならば定義からg(a）≠g(b) ならばa≠ｂということですからつまりAの元とB の元が１つ１つ対応しているということがわかります。
またgが全射ならばBの全ての元はAからやってくる、 つまりBの元は根元（a∈Aのこと）を持つというように解釈できます。
最後にgが全単射の場合を考察しておきましょう。 定義からgは１つ１つ、かつ残りなく対応しているということですので、 実はgが全単射ならばAの元の個数とBの元の個数が等しいということが言えます。
NO.699 part１ではアーベルが体を用いて代数方程式の構造を調べたと言うことを書きました。 なぜこんな写像と言うものを定義したのかピンとこないかもしれません。 しかしある種の写像が全単射であればその写像によって結ばれた２つの集合が数学的に （見掛けは違っていても）全く同等の構造をもつと見なせるのです。
NO.699 part１で５次以上の方程式には根の公式がないことを証明したのは２人いると述べました。 一人はアーベルですが、もう１人はガロアという人です。
ガロアはアーベルが見つけた体をそれよりももっと単純な構造をもつ 「群」という集合に置き換えて方程式の謎を解明しました。 そのときガロアが考え出したアイデアが体と群との間に全単射な写像を定めることだったのです。 しかしながら、そのアイデアはあまりにも時代を先行しすぎていて 当時（1830年ごろ）の人々には全く理解されませんでした。
part3ではこの群の定義をして５次以上の代数方程式には根の公式が存在しないとい うアーベルの定理を紹介したいと思います。

そうそう、僕が投稿しようと思ったきっかけはコロキウム室が大変面白かったこと と、そのコロキウム室に寄せられている話題がどちらかといえば解析系であるなと 思ったからです。またアーベルの定理について何気なく触れられているものの、やは り方程式を解析的に近似を用いて解いているのを見かけました。 方程式を代数的に解くということがどれだけ深い数学を必要とするか、 他の読者の人々にも漠然とでもいいので理解されれば、 僕の意図は相当程度達成されたことになります。

part 3

NO.699 part１ではアーベルのアイデア （方程式が代数的に解けるとは全ての根を含むような 定義体の拡大の列が作れる）をざっと紹介しました。 part3ではまず群を定義して、ガロアのアイデアを述べてみたいと思います。 その後に数学（もちろん高校数学も含 みますが）を根底から支えている、ある３つの公理を紹介したいと思います。

さてと、群ですが、これはもともとコーシーという数学屋さんが作った（らしいので すが）ものですがコーシーが考えていたのは無限集合であって、有限集合で群を打ち 立てたのは本質的にガロアです。 驚くことですがガロアはこのアイデアを牢獄の中で思いついたらしいのです。

（定義）
集合Gが群であるとは、G≠φであって、Gには１つの演算（掛け算と同じ表し方をし ましょう）が与えられていて次の３つを満たすものをいう。

1. a(bc)=(ab)c
2. Gの中には∀a∈Gに対してae=ea=aなる元eが存在する。このeをGの単位元という。
3. ∀a∈Gに対してax=xa=eなるｘがG内に存在する。このxをaの逆元といいa^‐と書く。

1. 群は可換性を必ずしも仮定しないが、もし仮定すると数によく似た性質を持つ
2. Zは数の足し算でアーベル群
3. QとR、それからCも数の足し算でアーベル群となる
4. Q、R、Cは数の掛け算でも実はアーベル群となる

（定義）
ＡとＢを共に体とする。g：Ａ → Ｂが準同型写像であるとは、gは写像で次の３つを 満たすことをいう。

1. g(a+b)=g(a)+g(b)
2. g(ab)=g(a)g(b)
3. g(1)=1 (ただし３において左辺の１はＡの１、右辺の１はＢの１）

（数学を根底から支える重要な３つの公理について） その名前は

1. Ｚｏｒｎの補題（Zorn's lemma）
2. 整列定理（well-ordering-threorem)
3. 選択公理（axiom of choice)

part 4

まずは写像の合成を説明しておきましょう。
f をAからBへの写像、g をBからCへの写像としましょう。
∀a∈Aをf でBへ移します。 するとf(a)∈Bですが、今度はこのf(a)をgでCへ移します。 つまりg(f(a))∈Cとなります。
このg(f(a))を(gf)(a)と書くこと にして、(gf)を写像f とg の合成といいます。
(gf)は明らかにAからCへの写像となります。 ２つの写像において集合Bが共通していることに注目してください。 電車でいえばこのBが連結器の役割をしているといえましょう。 帰納的に（ドミノのように）何個かの集合がありそれぞれの間に少なくとも １つの写像が定められていればそれぞれを合成して最初の集合と最後の集合の間に １つの新しい写像を定めることが出来ます。 ここで、ある重要な群の例を紹介しておきましょう。

（対称群）
Xをφでない集合としましょう。 そしてXとXの間に写像を定めてやればそれが全単射 になるようにできるはずです。
というのもXからX、つまり自分自身への写像ですか ら、当然元の個数だって等しいはずなのでうまく対応をつけてやれば全単射にするこ とが出来るでしょう。
このとき（写像が全単射のとき）逆写像を定めることが出来ます。
ｆをXからXへの全単射としましょう。 ∀a∈Xを取ってｂ＝f(a）とおきます。 ｆの逆写像とはこのｂに対してaを対応させるものです。 つまりｆの逆写像をｆ^‐でかけば、 上のｂ＝f(a)をｆ^‐でXへ移すと
ｆ^‐（ｂ）＝ｆ^‐（ｆ（a））＝a
となるということです。

ここで次の集合を考えましょう。
S(X)＝｛ｆ｜ｆはXからXへの全単射｝
この集合は数の集合ではありません。 そのへんが多少抽象的でわかりにくいと思いますが、S(X）は写像の集合です。
簡単のため、X＝｛１，２，３｝として考えてみましょう。
いま写像ｆは｛１，２，３｝から｛１，２，３｝への全単射な写像です。 このときS(X)を具体的に書き出すことを考えてみましょう。 まず１を１へ、２を２へ、３を３へ移す写像がありますよね。 つまりXのすべての元を固定する写像です。 （この写像を恒等写像といいます）
これを（１ → １、２ → ２、３ → ３）と表すことにしましょう。
次に考えられるのは１を固定して２を３へ、３を２へ移す写像があります。 これを同じように（１ → １、２ → ３、３ → ２）と書きましょう。
さて次はどうすればいいのかな。前の２つの写像では１の行き着いた先が１でした。 （つまり１が固定）そこで今度は１の行き着いた先を２にして考えてみましょう。
すると（１ → ２、２ → ３、３ → １）と （１ → ２、２ → １、３ → ３）の２つが考えられます。
ではつぎは１の行き着いた先を３にして考えてみればよさそうです。
このときは（１ → ３、２ → １、３ → ２）と（１ → ３、２ → ２、３ → １）となります。
これで全部でしょうかね・・・・・うん、全部です。 よってS(X)は今書き出した６つの元で構成されています。

さて、S(X)から２つの元ｆ、gを取ってきましょう。 S(X)の定義からこの２の写像は 全単射ですが、その合成(gf)を考えてみましょう。
ｆもgも全単射なのでその合成も全単射なのではと予想できますが、実際に証明してみましょう。 示すべきは(gf)が単射かつ全射ということです。
∀a、ｂ∈Xについて (gf)(a)=(gf)(b)とすると合成の定義からg(f(a))=g(f(b))となりg は全単射なので単 射、従ってf(a)=f(b)よってｆはやはり単射だからa=bとなり(gf) は単射。
また、∀ｃ∈Xに対してgが全射なのでg(d)=cとなるｄが存在し、さらにｆが全射なのでdに対 しｄ＝f(e)なるeが存在している。 よって(gf)は全射でもある。
以上のことからf,gが全単射なら(gf)も全単射であることがわかりました。つまり(gf)∈S(X)です。
また恒等写像はS(X)内に必ず存在していますので、S(X)≠φです。
ところで、ＡからＢへの２つの写像f,gが与えられたとき写像が等しいということ、 つまりf=gを∀ａ∈Ａに対してg(a)=f(a)で定義しましょう。すると
(f(gh))(a)=f(gh(a))=f(g(h(a)))
((fg)h)(a)=(fg)(h(a))=f(g(h(a))) (∀f,g,h∈S(X), ∀a∈Ｘ）
ですから、f(gh)=(fg)hがS(X)内で成立しています。
また恒等写像を１で書くことに すると（これは数の１とは違います。写像です）
∀ａ∈Ｘについて １（ａ）＝aですから（恒等写像は全ての元を固定するので）
(f1)(a)=f(1(a))=f(a)
(1f)(a)=1(f(a))=f(a)
となり、１f＝f１＝fが成り立ちます。
また∀ｆ∈S(X)は全単射なので逆写像があり、 その定義から（ｆｆ^‐）（a）＝１（a）、（ｆ^‐f）（a）＝１（a）ですので、
ｆｆ^‐＝ｆ^‐ｆ＝１が成り立ちます。

ここまでで不思議なことがわかりました。 すなわちS(X)は写像の合成を演算にして群になるのです。
NO.704 part３では群は数や行列と似ていると書きましたが、ここでその数の 領域を１歩踏み出したことになります。 つまり演算とは必ずしも数や行列の演算ばかりではないということです。 また群の例も実に多種多様であることを予感させます。 （さらにS(X)は元の個数が有限な群、有限群であることにも注目してください） こういうところに数学の自由さを感じるのは僕だけでしょうか？
とにかく、S(X)は写像の合成を演算にして群を成し、S(X)のことをX上の対称群といいます。 特にX=｛１，２，３、・・・・n｝としたときのS(X)をn次対称群といいます。
しかるに、例で説明したX=｛１，２，３｝の場合はS(X)は３次の対称群です。 ところで３次の場合その元の個数は６個、つまり３！個です。
この事は一般化できて、実はn次対称群の元の個数はn！個です。 高校では順列というのやると思います。n個の物を並べ替える方法は確かn！通りありました。 これはS(X)の元の個数にほかなりません。 つまり（３次対称群のところで気が付いたかもしれませんが）S(X)の元を１ つ取ってくることと、１からnまでの順列を１つ定めることは同値なのです。 （同値とは同じ事という意味です）

対称群の説明がだいぶ長くなってしまいました。 ガロアはNO.699 part１で説明した 方程式の根を含む体の拡大列とこの対称群とを NO.704 part３で説明した同型写像で結びつけることに成功しました。 （もちろん当時はまだまだ数学が創世記にあったため、ガロア自身今とはだいぶ違う表現をしていますが） ここで部分群について説明しておかなければいけません。

（定義）
Gを群とする。H⊆GがGの部分群であるとはH≠φであって、∀a,ｂ∈Ｈ⇒ab^-∈Ｈであ ることをいう。

実に簡単な定義ですが、数学ではたいていの群が何か大きい群の部分群として現れる ので、この定義は重要です。
注意してほしいのはa,bをＨから取ってきたら、ab∈Ｈではなくて、 ab^‐∈Ｈ（aとｂの逆元の積）を定義としてあるところです。 この定義さえ満たせば、ＨはＧの演算で群になります。 （つまり群の定義を満たします）これはぜひ確かめてみてください。

牢屋のなかで、ガロアは実に画期的なことを考えます。 S(X)において、Ｘをn次方程式の根を含む体とし、S(X)の元を同型写像として考えます。 そのときのS(X)を体上の自己同型群といい、ＡｕｔＸと書きます。 （AutXが群になることは証明したので認めてよいでしょう）
そのときこのＡｕｔＸの部分群とＸの中間体（体拡大の列に含まれ る体で拡大しきった体Ｘと最小の体も中間体とする）との間に全単射な写像を定めら れることを、ガロアは示しました。
これはすごいことを言っています。つまり、もし ＡｕｔＸが有限群ならば、その部分群はもちろん有限個しかないわけでその部分群た ちと、体拡大の中間体が１つずつ、しかも残りなく対応しているというのですから、 ＡｕｔＸが有限群である以上、それに対応している中間体も有限個しかないというこ とになります。もっというと例えばＡｕｔＸの部分群が８個あれば、それに対する中 間体も８個あるということです。ここで、Ｈを群Ｇの部分群とすると、｛ｅ｝とＧ自 身もＧの部分群になっていることは定義から明らかでしょう。ただし｛ｅ｝は単位元 だけからなるＧの部分集合です。
ガロア理論（ガロアが牢屋の中で考えた理論）の本質は上に述べたことです。すなわ ち、体上自己同型群の部分群と体拡大の中間体の間に全単射が存在する。

（アーベルの考えた事との関係）
５次以上の方程式には根の公式がないというのがアーベルの定理です。 言葉で書いて しまえばこれだけのことですが、体の概念がなく、群もいわゆる無限群しかなかった 時代にアーベルとガロアは時代を先行しすぎていたことは否めないでしょう。
アーベルの定理の証明は基本的に背理法です。（高校でやるかと思います）つまり、 ５次以上の方程式が根の公式を持ったとします。するとその方程式は代数的に解ける ことになりますのでうまく全ての根を含む定義体の拡大体を作れることになります が、この議論を進めていくと明らかな矛盾が生じることになるのです。（いまは全て の体をＣの部分体としましょう）
しかし、この証明を完全な形で述べるにはまだまだ 準備不足で、ここでは到底述べることはできません。不本意ですが、この詳しい証明 はあとで時間が許せばやりたいと思います。
ガロアの理論によると、このアーベルの定理を群の言葉を使って翻訳できるというこ とです。群のほうが体よりは単純な構造を持ちますので、群の言葉を使ってアーベル の定理を表現した方がわかりやすいと思うかもしれません。しかし数学のみならず、 理論の世界では単純化するのが結構難しい場合もあります。この例も恐らくそうかも しれません。
実は本当に申し訳ないことに群の言葉を使ったアーベルの定理はまだ準 備不足のためやはり述べられません。ざっと、準備すべきものを挙げるとすれば、同 値関係、正規部分群、可解群、ガロア群などを挙げることができます。しかし、これ らの概念は正直に言えば、わかりやすく書くことが非常に困難であり、方程式を代数 的に解くことの数学的雰囲気を味わってもらうためには必ずしも必要でない記述をし なければなりませんから、これ以上深入りしないことにします。
さて、いろいろと不備があるかもしれませんが、なんとかガロア理論の入り口までた どり着けました。大急ぎでたどり着いた感がありますので、忘れ物が多いですが、後 で補うべきところをじっくり考えて、次回以降に付け足します。

NO.706 part４にある

（定義）
Gを群とする。H⊆GがGの部分群であるとはH≠φであって、∀a,ｂ∈Ｈ⇒ab^-∈Ｈであ ることをいう。

について考えてみます。

２．単位元について
∀a∈Ｈについて、aa⁻∈Ｈ、つまり e∈Ｈ

３．逆元の存在について
e∈Ｈですから、∀a∈Ｈについて、ea⁻∈Ｈ、つまり a⁻∈Ｈ

１．結合律について
∀a,b∈Ｈについて、b⁻∈Ｈなので、 a(b⁻)⁻∈Ｈ、つまり ab∈Ｈ
従って、集合Ｈはこの演算について閉じていることになります。
集合Ｈはもちろん集合Ｇの部分集合ですから、結合律が成り立ちます。

従って、Ｈは群をなすことがわかります。
逆はもちろんです。