コロキウム室

私も，件のテレビを見た記憶がかすかにあります。
体育館いっぱいに紙を広げて（実際にはそんな大きな紙はないので，つなぎ合わせて） 小学生が，一所懸命挑戦していました。
高さは，NO.687で「浜田さん」が計算されているように，文字通り，幾何級数的に増加します。
実際に折るときに問題になるのは，紙の大きさです。 新聞紙の体積は一定ですから，厚み（高さ）がｋ倍になると，面積はｋ分の１になります。 １：の紙で考えると，２回おる毎に長辺が半分になります。
「浜田さん」が限度と考えておられる１０cmで考えると，８回折ったとき厚みは５ｃｍです。 今，折り曲げて高さが１０cmにするには４０cmの長さが必要と仮定すると（まあ妥当な線？）， もとの紙の長辺は４０cm×２⁴＝６４０cm（６．４m）必要になります。
実際に，新聞紙を折ってみたところ，７回折れて，厚みは約１cmが限界でした。
「浜田さん」の計算結果からは，約２.５cmになるはずですから， 実際の新聞紙の厚みは，０．１mm弱しかないようです。
したがって，高さ１０cmの状態は， 長辺が約９ｍ（６．４×）の紙で１０回折った状態と言うことになります。
もし，２０回折りたければ，どのくらいの紙を用意すればよいか考えてみます。
計算を簡単にするため，紙の厚さを０．１mmとします。
高さは，０．１mm×1000²＝100000mm＝100ｍ　この状態にするには長辺は400ｍ必要。
もとの用紙の長辺は　約１０００倍必要 （正確には５１２ ですが，400ｍの設定もaboutなので）。
400ｍ×1000＝400km　とんでもない数字がでてしまいました。
新聞紙を１００回折った厚みも文字通り天文学的数になりますが， 更に驚くべきは，実際に１００回折るために用意しなければならない紙の大きさでした。
概算で，その長辺は，ｋ×１０³⁸km。 （ｋは折り曲げ限界の高さと長辺の設定による。まあ，大した問題ではないですね。ここまでくると）

ｙ＝ａ^ｘ　(ａ＞０，ａ≠１)という形をしているものを指数関数といいます。
それに対して、ｙ＝ｘ^ｎという形をしているものを整関数といいます。
整関数がどんなにがんばっても(どんなに次数をあげても)、指数関数にはかないません。
それを示すのがこの式です。ａ＞１として、

この極限値はロピタルの定理を適用すればわかります。
分母分子を別々に微分していったときに、分子にある整関数はどんなに次数を高くしても有限である限り、 いずれ有限回で定数になります。
一方、分母にある指数関数は微分するたびにlog ａという定数がつきますが 基本的にａ^ｘのままです。

グラフをかいてみると、整関数の方が優勢のように見えますが、いずれ必ず指数関数に抜かれます。
整関数と指数関数とでは次元が違う？　いやいや次元を超越している？

試しに、底が２の指数関数 ｙ＝２^ｘ と４次関数 ｙ＝ｘ^４ で見てみます。

x=1.23･･･あたりで交差したあとは４次関数 ｙ＝ｘ^４が優勢ですが、 ｘ＝１６で指数関数 ｙ＝２^ｘが再逆転します。

幸運な１０桁の数は３８１６５４７２９０の１個だけです。
解答になりませんが。 　

博識ある読者の皆さん、教えてください。
＜「分数ができない大学生」：岡部恒治等：東京経済新報社＞という本に中に、 こんな一文がありました。

「すべての書籍についてＩＳＢＮコードは、表示されている１０個の数字にそれぞれ左から、 １，２，３，・・・、１０を書けて、それらの１０個の結果の合計を求めると必ず１１の倍数になる。 ただし、Ｘは１０と考える。 このＩＳＢＮコードは、一字だけ誤って読んだときはその誤りが認識できる、 それに関しては１１が素数であることが本質な役割をしている。」

質問１：太郎さんが始めて知る、このＩＳＢＮコードとは何のこと。 また、どんな役割があるの。

質問２：文中にでてくる計算をすると、どうして１１の倍数になるの。

質問３：文中にでてくる、１字だけ誤って読んだとき、その誤りをどうして認識できるの。

以上ですが、よろしくお願いします。

10桁の数字を [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10] とします。

まず、[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10]は10の倍数なので [10]＝０。
[1][2][3][4][5]は５の倍数で０は使っているので [5]＝５。
[1][2],[1][2][3][4],[1][2][3][4][5][6],[1][2][3][4][5][6][7][8]は、 それぞれ偶数の倍数となるので[2],[4],[6],[8]には ２,４,６,８のいずれかが入る。
よって残りの[1],[3],[7],[9]には１,３,７,９のいずれかが入る。

ここで、[4],[8]に注目すると [1][2][3][4]が[4]の倍数になるためには[3][4]が４の倍数になればよい。
ここで[3]は奇数なので[4]＝２or６となる。 ([3]×10≡２（mod４）より)
同様に[1][2][3][4][5][6][7][8]が８の倍数になるためには[6][7][8]が ８の倍数になればよい。
[6]が偶数なので[7][8]＝16or32or72or96となる。 ([6]×100≡０（mod８）、[7]≠５より)
よって[4],[8]＝２or６、[2],[6]＝４or８となる。

次に[6]に注目する。
[1][2][3]が３の倍数であることから[1]＋[2]＋[3]≡０（mod３）となる。
よって[1][2][3][4][5][6]が６の倍数であることから [4]＋[5]＋[6]≡０（mod３）となり [5]＝５なので [4]＋[6]≡１（mod３）となる。
[4],[8]＝２or６、[2],[6]＝４or８より([4],[6])＝(２,８),(６,４)が決まり その決まり方によって[2],[8]も決まる。

ここまでで10桁の数字は [1]４[3]２５８[7]６[9]０ と [1]８[3]６５４[7]２[9]０ の２つにしぼられた。

７の倍数は、下から３桁ごとに区切り奇数番目のものの和と偶数番目のものの 和の差が７の倍数になることから
[1]４[3]２５８[7]６[9]０について考えると [1]４[3]２５８[7]が７の倍数になるには

[1]＋(580＋[7])−(402＋10[3])	≡０（mod７）
178＋[1]−10[3]＋[7]	≡０（mod７）
[1]＋４[3]＋[7]	≡４（mod７）

となればよく、 ([1],[3],[7])＝(１,７,３),(３,７,１),(３,９,７),(７,９,３) が決まる。ここで、

• [8]＝６より[7]＝１or９
• [1]＋[2]＋[3]≡０（mod３）、[2]＝４より [1]＋[3]≡２（mod３）

同様に[1]８[3]６５４[7]２[9]０について考えると

[1]＋(540＋[7])−(806＋10[3])	≡０（mod７）
−266＋[1]−10[3]＋[7]	≡０（mod７）
[1]＋４[3]＋[7]	≡０（mod７）

([1],[3],[7])＝(３,１,７),(７,１,３),(７,３,９),(９,３,７) が決まる。ここで、

• [8]＝２より[7]＝３or７
• [1]＋[2]＋[3]≡０（mod３）、[2]＝８より [1]＋[3]≡１（mod３）

また、１〜９の和が９の倍数であることから[9]に１〜９のどの数字を入れても [1][2][3][4][5][6][7][8][9]は９の倍数となる。

∴幸運の10桁の数字は３８１６５４７２９０のみである。

第４０回数学的な応募問題

太郎さんが勤務している学校には、何組かの双子がいます。 今、全部で２ｎ人のｎ組の双子を一列に並べる方法は何通りあるか、知りたくなりました。 ただし、同じ組の双子は隣り合わないようにします。 そこで、次の問いに答えてください。

問題１：
ｎ＝１，２，３　のときの並び方は何通りあるか。

問題２：
一般に、ａ(n)　通りあったとして、漸化式を導いてください。

問題３：
可能なら、ａ(n)　をｎで表してください。

正直言って、まだ、太郎さんは一般の場合の答は知りません。

第４１回数学的な応募問題

読者の皆さん！まもなく１０００年代最後の年が終わります。そして迎える２０００年。 百年どころか千年に一度の幕が下り、新たに２千年のいつもと違った特別な幕が上がります。 最近、ミレニアム（千年紀）というカタカナをよく耳にします。 そこで、問題です。

問題１：
Ａ＋ｈａｐｐｙ＋ｎｅｗ−ｙｅａｒ＝２０００

ただし、Ａ，ｈ，ａ，ｐ，ｙ，ｎ，ｅ，ｗ，ｒに異なる０から９までの整数を入れて、 式を成立させてください。 また、頭文字のＡ，ｈ，ｙ，ｎ　には０は入れないでください。 さらに、Ａ，ａ　には異なる数字が入ります。
※ｈａｐｐｙ　<====　５桁の整数
ｎｅｗ　　<====　３桁の整数
ｙｅａｒ　<====　４桁の整数

問題２：
２０００という数字について、次の問に答えてください。
（１）約数は何個ありますか。ただし、１と２０００も含めてください。
（２）（１）の約数の和を求めてください。
（３）（１）の約数の逆数の和を求めてください。
（４）２０００と互いに素な整数は何個ありますか。
（５）（４）の互いに素な整数の和を求めてください。
（６）幾つかの連続する自然数を加えて、ちょうど、２０００にしてください。
（７）８個の異なる整数の立方和がちょうど、２０００にしてください。

ただし、平成１２年にちなんで、一番大きい整数は１２とし、必ず使ってください。 また、一番小さい数は負の整数になっても構わないです。

問題３：
１から１２までの自然数の平方数について、それぞれの和が等しいように、 ２つのグループに分けてください。

問題１
手作業で見つけました。
h=1でしょうね。a=0　か　2？
a=0、y=8　と見当をつけて、探していきました。
Aとwは交換可能ですので、一気に２つ。

A	答 　　　4	5
happy	10338	10338
new	265	264
-year	-8607	-8607
−−−−	−−−−	−−−−
2000	2000	2000

１(２？)組見つけたら満足・・・。
きっと他にもまだあると思うな・・・。

part 1

もうすぐ２０００年でいろいろな問題がとり立たされているようですけれど、さしあ たって興味のある問題は代数方程式の代数的解法についてです。
大昔から４次方程式までは根の公式を用いて解けることが知られていました。 根の公式を用いて解くことを代数的に解くといいます。
いわゆる４則演算が定義されている集合を体といいますが、 この体を用いて代数方程式の構造を解明したのがアーベルであり、 演算が１つしか与えられていない集合である群を用いてアーベルと同じ事をしたのがガロアです。
中学で習った２次方程式にはもちろん根の公式があるわけですから、 ２次方程式は代数的に解けることになります。 従って、３次方程式が与えられたとき、もしその３次方程式を２次方程式に帰着させることが できれば解くことができます。 ４次方程式も３次方程式に帰着することで解けますが、 実はこのように次数を下げて根の公式を作れるのは４次までなのです。 ５次方程式になるとどんなに工夫をしても次数を下げることはおろか、 逆に次数が５次より大きくなってしまいます。 ６次方程式になるともっと悲惨なことが起きてくるわけです。
多くの人々が５次以上の方程式を代数的に解こうとしましたが成功しませんでした。 そのように１８００年位までは４次までが代数的に解きうるとされていたのです。 そこで発想を転換しておそらく５次以上の代数方程式には根の公式が存在しないので はと考え出した人が現れだしました。 しかしながらそれを証明することはそれほど容易なことではなく、成功したのはたったの２人でした。 アーベルは代数方程式の根になる数がどのような性質を持つのかを調べ体の概念を発 見します。体の定義を厳密に書いておきましょう。

（定義）
集合Fが体であるとは、F≠φであって、Fには足し算（＋）と掛け算が与えられてい て次の９つの公理を満たすものを言う。

1. a+(b+c)=(a+b)+c
2. Fの中には０が存在してa+0=0+a=aを満たす。
3. a+b=b+a
4. Fの中にはa+x=0を満たすxが存在してこのxを-aと書く。
5. a(bc)=(ab)c
6. ab=ba
7. a(b+c)=ab+ac
8. Fの中には1が存在してa1=1a=aを満たす。
9. Fの0でない任意の元aはax=1を満たすxをFの中にもつ。このｘをa^‐と書く。 （ただし∀a,b,c∈F）

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