コロキウム室

Ｇａｌｏｉｓ　Ｔｈｅｏｒｙの扉を開く前に、 これまでの事を整理してもらうために問題をいくつか用意しました。
そのいくつかは代数方程式シリーズ、 これまでのリングセオリーシリーズから そのまま抜粋したものです。

（問題１）
体の定義を自分の言葉で書いてください。

（問題２）
代数方程式が代数的に解けるとはどういうことですか？

（問題３）
群の定義を自分の言葉で書いてください。

（問題４）
部分群とは何ですか？

（問題５）
２つの合同な正三角形Ｓの各頂点に１，２，３と番号を付けます。 この２つの正三角形Ｓを重ね合わせる操作をＳからＳへの写像と見なして、 その操作の集合は写像の合成を演算として群をなすことを確かめて下さい。

（問題６）
問題５で得られた群と３次対称群を比較してください。

（問題７）
次の命題について、自分なりに考えた事をレポートにまとめてください。
「群とは図形の対称性を記述するものである」

（問題８）
環の定義を自分の言葉で書いてください。

（問題９）
ｆ：Ｒ→Ｓが環同型であれば、その逆写像ｆ‐：Ｓ→Ｒも環同型であることを確かめて下さい。 （これは少し高級です）

（問題１０）
Ｑを有理数の全体とします。このとき写像ｆ：Ｑ→Ｑが環写像ならばｆはＱ上の恒等写像である事を示してください。 （これも少し高級。）

（問題１１）
Ｒを可換環としＡとＢをＲの２つのイデアルとしますと、 その共通部分Ａ∩ＢもＲのイデアルであることを確かめて下さい。

（問題１２）
Ｒを可換環としＸをその空でない部分集合とします。
このときＡ：＝｛ａ∈Ｒ｜∀ｘ∈Ｘに対しｘａ＝０｝はＲのイデアルであることを確かめて下さい。

（問題１３）
ｋを体とします。このときｋ［Ｘ]はＰＩＤである事を証明してください。

（問題１４）
代入原理について思った事をレポートに書いてみてください。

（問題１５）
Ｒを可換環とします。 ａ∈Ｒがベキ零元（nilpotent element)であるとはある正の数ｎについて ａⁿ＝０となるものを言いますが、これはＺＤである事をうまくｎを取る事で証明してください。

（問題１６）
Ｒを可換環とします。ＳがＲの積閉集合であるとはＳは空でないＲの部分集合で
∀ｓ、ｓ’∈Ｓ⇒ｓｓ’∈Ｓでかつ１∈Ｓを満たす事を言います。
このときＲとＳの直積集合Ｒ×Ｓに関係〜を次で定めます。
（ａ、ｓ）〜（ａ’、ｓ’）⇔ｔ（ｓａ’−ｓ’ａ）＝０　（ｔはあるＳの元）
この〜はＲ×Ｓ上の同値関係である事を確かめて下さい。 （計算力が必要です）

（問題１７）
Zを整数環とします。
ｐを素数とするとき、ファクターリングZ／（ｐ）は体である事を示してください。

（問題１８）
RとSを可換環とし、ｆ：R→Sを環写像とします。
このときΩがSの素イデアルならばそのｆによる原像ｆ‐（Ω）はRの素イデアルであること を示してください。

ざっと１８問ありますが、僕は与えられた問題を正確に早くこなす能力だけが 数学の能力であるとは思っていませんから、 自分のペースでやってくださって全く結構です。
また別に問題１から順を追って進まなくてもいいようにしてあります。 自分が興味を持った問題からやってもいいし、最初からやってももちろん構いません

前の結果を使いながら、NO.750 無限級数の和（２）でやったのと同じ要領でやっていけば、 順に次数を上げていくことができそうです。

まずは３次式

次は４次式

この調子でいくと、ｎ次式について一般形も導けそうですね。

「Mathematica」で分子の次数を上げていきました。
１４次まで上げましたが、１０次までの分を載せます。

(ただし、ｎ＝０，１，２，３，・・・で、Ａ_０＝ｅなる)
ｆ_０(x)＝ｅ^ｘとおくと、ｆ’_０(x)＝ｅ^ｘ で ｆ’_０(１)＝ｅ
ｆ_１(x)＝ｘ ｆ’_０(x)＝ｘｅ^ｘとおくと、 ｆ’_１(x)＝(１＋ｘ)ｅ^ｘ で ｆ’_１(１)＝２ｅ
ｆ_２(x)＝ｘ ｆ’_１(x)＝(ｘ＋ｘ^２)ｅ^ｘとおくと、 ｆ’_２(x)＝(１＋３ｘ＋ｘ^２)ｅ^ｘ で ｆ’_２(１)＝５ｅ
ｆ_３(x)＝ｘ ｆ’_２(x)＝(ｘ＋３ｘ^２＋ｘ^３)ｅ^ｘとおくと、 ｆ’_３(x)＝(１＋７ｘ＋６ｘ^２＋ｘ^３)ｅ^ｘ で ｆ’_３(１)＝１５ｅ
ｆ_４(x)＝ｘ ｆ’_３(x)＝(ｘ＋7ｘ^２＋6ｘ^３＋ｘ^４)ｅ^ｘとおくと、 ｆ’_４(x)＝(１＋15ｘ＋25ｘ^２＋10ｘ^３＋ｘ^４)ｅ^ｘ で ｆ’_４(1)＝５２ｅ
・・・・・　これを同じように繰り返していきますと、
ｆ_ｎ＋１(x)＝ｘ ｆ’_ｎ(x)となり、
　 求める極限値は　　Ａ_ｎ＋１＝ｆ’_ｎ＋１(１)　として表される。
さらに、ｆ’_ｎ(ｘ)の係数を表にします。

Ｊ／Ｍ	１	２	３	４	５	６	７	計
０	１							１
１	１	１						２
２	１	３	１					５
３	１	７	６	１				１５
４	１	１５	２５	１０	１			５２
５	１	３１	９０	６５	１５	１		２０３
６	１	６３	３０１	３５０	１４０	２１	１	８７７

これこそが第２種スターリング数の表そのものです。

ｎ個の異なる要素を持つ集合を空でないｋ個の部分集合に分ける方法は何通りありますか

NO.752 無限級数の和（３）の続きです。
Ａ_０＝ｅ、Ａ_１＝２ｅ、Ａ_２＝５ｅ、 Ａ_３＝１５ｅ、Ａ_４＝５２ｅをふまえて、

これに沿って、Ａ_６を求めてみます。

Ａ６	＝Ａ５＋６Ａ４＋１５Ａ３ ＋２０Ａ２＋１５Ａ１＋６Ａ０＋Ａ−１
	＝２０３＋６×５２＋１５×１５＋２０×５＋１５×２＋６＋１
	＝８７７

調子にのって、もう１つ

Ａ７	＝Ａ６＋７Ａ５＋２１Ａ４＋３５Ａ３ ＋３５Ａ２＋２１Ａ１＋７Ａ０＋Ａ−１
	＝８７７＋７×２０３＋２１×５２＋３５×１５＋３５×５＋２１×２＋７＋１
	＝４１４０

二項展開のような感じで計算できます。
これは、NO.753 無限級数の和（４）で 「水の流れ」さんが計算してくださった結果と一致しています。

今月の問題３５「三角の問題」の発展問題です。

「三角の問題」の図で∠r＝θ₁ 、∠ｑ＝θ₂ 、 ∠ｐ＝θ₃とします。
次にその三つの正方形の左側にｎ−３個の正方形を同じように繋げます。
すると全部でｎ個の正方形が繋がった形になるので、右からｍ番目の 正方形にある角度をθ_mとします。
説明が不適当かと思いますが、 つまり tanθ_m＝1／ｍということです。

この問題には今までコロキウム室で使ってきた関数や定数を使った とても不思議で面白い結果が待っています。
そのためにゼータ関数、ガンマ関数、オイラー数γ(=0,577…)の復習と、 複素平面におけるａrg（偏角）の理解をしておいて下さい。

第１０回・数学オリンピック予選において次のような問題が出題されています。

一歩で１段、２段、または３段を登れる人が、７段の石段を登る。 何通りの登り方があるか。 ただし途中で下りたり、足踏みしたりはしないものとする。

今後の理論のために必要な事を多少準備します。

（準同型定理）
ｆ：R→Sを環写像とします。ΩをRのイデアルとし、Ker(ｆ）⊇Ωを仮定します。 また、ε：R→R／Ωをε（a）＝a＋Ωで定めますと、これは環写像で、かつ全射でした。 （NO.749 リングセオリー（１８）参照）
このとき、環写像ｇ：R／Ω→Sがｇε＝ｆを満たすように一意的に決まります。

（証明）
まず、上のように定めた写像ｇがwell-definedなことは、 a＋Ω＝ｂ＋Ω を仮定すれば、a−ｂ∈Ωですから、Ω⊆Ker(ｆ）を考えれば、a−ｂ∈Ker(f)で、 よってｆ（a−ｂ）＝０。
ｆが環写像である事を考えれば、ｆ（a）−ｆ（ｂ）＝０ですので、 ｆ（a）＝ｆ（ｂ）。
これはｇがwell-definedである事を示します。
また、このｇが一意的に決まる事は、ｇと同じ性質を満たすｇ’が存在したとして ｇ＝ｇ’を示せばいいのです。しかし、これはｆが与えられている以上、自明です。
最後に、ｇが環写像である事を観ておきましょう。
ｇ（（a＋Ω）＋（ｂ＋Ω））＝ｇ（（a＋ｂ）＋Ω） ＝ｆ（a＋ｂ）＝ｆ（a）＋ｆ（ｂ）＝ｇ（a＋Ω）＋ｇ（ｂ＋Ω）より、和はOK。
ｇ（（a＋Ω）（ｂ＋Ω））＝ｇ（（aｂ）＋Ω）＝ｆ（aｂ） ＝ｆ（a）ｆ（ｂ）＝ｇ（a＋Ω）ｇ（ｂ＋Ω）より、積もOK.
ですから、１も１へ移ります。よって、ｇは環写像です。　　　（証明終わり）

この結果を準同型定理といいます。この定理から、直ちに次の、極めて有意義な結果を得ます。

（第一同型定理）
上と同じ仮定の元に、ｆ：R→Sが全射ならば、R／Ω〜Sが正しい。

（証明）
準同型定理から、環写像ｇ：R／Ω→Sがｇε＝ｆを満たすように一意的に取れます。 このｇが全単射である事を示せばいいことになります。
まず、これが全射であることは、ｆが全射である事に従います。 （これについては下の補題を見てください）
また、単射である事は、Ker(g)＝｛０｝を示せばよいので、∀a＋Ω∈Ker(ｇ）を取りますと、 カーネルの定義からｇ（a＋Ω）＝０．
ところで、ｇ（a＋Ω）＝ｆ（a）なので、０＝ｆ（a）で、 環写像の性質からa＝０。よって、Ker（ｇ）＝｛０｝がわかります。　　　（証明終わり）

この他にも第２、第３同型定理がありますが、 それらはこの第一同型定理から芋ずる式にでてきますので、 ここでは特にやりませんけども、機会があれば、そのつど紹介しましょう。

（補題）
ｆ：A→Bとｇ：B→Cをそれぞれ写像とします。
すると、Bが共通ですのでその合成ｇｆが作れます。このとき、次が成り立ちます。
ｇｆが全射ならば、ｇが全射。

（証明）
ｇｆが全射なので、Cの任意の元に対して、Aの元が対応します。 Aの元はｆによってBへ移されていますから、結局ｇが全射という事になります。 （証明終わり）
また、次も成り立ちます。

（補題２）
上と同じｆとｇについて、その合成ｇｆが単射ならば、ｆが単射。
これについては簡単ですので確かめてみてください

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