Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.1〜6／NO.12


コロキウム室


NO.68　　　　 4/1 　　 Junko　　　　 ボ−リング配列の問題（２）

おもしろい問題ですね。さっそくトライ！ 下からせめていくのがコツですね。 

　　　E　I　@　G　　　　　　　　G　I　@　E
　　　  C　H　F　　　　　　　　　　A　H　D
　　　　　D　A　　　　　　　　　　　　F　C　
　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　B

の２つかな？　 もちろん、左右反転させたものは同一と考えて。



NO.69　　　　 4/1 　　水の流れ 星の問題（３）

コロキウム室のNO.21の 問題を娘が見て、今学校でやっている子供がいるよとのこと。 じゃあ−、３本の直線の場合は星形に最大何個の三角形が 作れるのかと聞いてきました。 どなたか、一緒に考えてください、お願いします。　



NO.70　　　　 4/2 　　MK142857 オイラーの多面体の定理（２）

今晩は。 この前は、オイラーの多面体の定理について 教えて下さいまして有り難うございました。 この定理を用いると、 正多面体が５種類しか存在しないことを証明できる ことは知っていたのですが、 他にもいろいろな問題に応用できることが分かりました。 例えば、次の問題でも面白い解法を見つけたので紹介します。
問題の出典は、 「パズルより面白い中学入試の算数」で、 文章の表現は少し変えてあります。

問題　

ｎを自然数とします。 マッチ棒を並べて一辺の長さがマッチ棒のｎ倍の正方形を作り、 その正方形をマッチ棒を用いて、 一辺の長さがマッチ棒一本分の正方形に分割するとき、 必要なマッチ棒の本数をｎで表して下さい。
例えば、ｎ＝１,２,３のときには、 必要なマッチ棒の本数は順に、 ４本、１２本、２４本となります。
　

まず、普通の解き方を書きます。
縦向きのマッチ棒は、１列にｎ本あり、 それがｎ+１列並んでいるため、その数 は、ｎ（ｎ+1）本。 横向きのマッチ棒の本数も同じなので、 合計では、２ｎ（ｎ+1）本となります。

次に、オイラーの多面体の定理に関する知識を 用いた解法を書きます。
与えられた図形の頂点の数と四角形の数はそれぞれ
（ｎ+1）2,ｎ2
となるので、求めるマッチ棒の数をｘとすると、
（ｎ+1）2−ｘ+ｎ2＝1
従って、ｘ＝２ｎ（ｎ+1）となり、 先ほどの結果と一致します。
数学はいろいろな考え方ができておもしろいですね。



　　　　　　

NO.71　　　　 4/2 　　MK142857 オリンピック予選問題

ところで、ずっと前に出題された問題 (1997年日本数学オリンピック予選の問題)のことを すっかりわすれていてごめんなさい。
並んでいる自然数をひとつ毎に消す問題ですが、 僕は、次のように解きました。

１からｎまでの自然数を問題文のように消したとき、 最後に残る数をｆ（ｎ）で表します。 このとき、次の等式が任意の自然数ｎに対して 成立することを示します。

ｆ（２ｎ）＝ｆ（２ｎ−1）＝２ｎ−２ｆ（ｎ）+１

１から２ｎまでの自然数を問題文のように消してゆくときの ことを考えます。 ２ｎが消されたとき、残りの自然数の個数はｎで、 残りの自然数のうち、 右から２番目の数から操作が続けられます。
このため、最後に残る数は、 残りの自然数のうちの右から２ｆ（ｎ）番目の数で、 これは、もともとあった２ｎ個の自然数のうち
左から数えて２ｎ−２ｆ（ｎ）+1番目の数、
つまり２ｎ−２ｆ（ｎ）+1となります。 従って、
ｆ（２ｎ）＝２ｎ−２ｆ（ｎ）+１
が成り立ち、同様に、
ｆ（２ｎ−1）＝２ｎ−２ｆ（ｎ）+1
が成り立つことも確かめられるので、
ｆ（２ｎ）＝ｆ（２ｎ−１）＝２ｎ−２ｆ（ｎ）+1
が成立することがわかります。

　ｆ（７）＝３が与えられているので、
　ｆ（８）＝ｆ（７）＝３

　ｆ（１６）＝１６−２ｆ（８）+1
　　　　　　＝１１
　ｆ（３２）＝３２−２ｆ（１６）+1
　　　　　　＝２１
　ｆ（６３）＝６４−２ｆ（３２）+1
　　　　　　＝４３
　ｆ（１２５）＝１２６−２ｆ（６３）+1
　　　　　　　＝４１
　ｆ（２５０）＝２５０−２ｆ（１２５）+1
　　　　　　　＝１６９
　ｆ（５００）＝５００−２ｆ（２５０）+1
　　　　　　　＝１６３
　ｆ（９９９）＝１０００−２ｆ（５００）+1
　　　　　　　＝６７５
　ｆ（１９９７）＝１９９８−２ｆ（９９９）+1
　　　　　　　　＝６４９
となり、６４９という答えを出しましたが、合っていますか。 また、もっとエレガントに解く方法もあるのでしょうか。



　　　　　　

NO.72　　　　 4/2 　　MK142857 プレゼントの問題（１）

僕は、数学オリンピックに出てみようと思って、 この前、英才セミナーを受けてみました。 その時に出た問題の中で、面白い問題があったので送ります。

問題　

あるパーティーに参加する６人の友達が各自１つずつ 用意したプレゼントを交換し合うことになりました。 このとき、自分自身の用意したプレゼントをもらう人が １人もいないようなプレゼント交換のし方は、 何通りあるでしょうか。



　　　　　　　　　　

NO.73　　　　 4/3 　　Junko　 オイラーの多面体の定理（３）

マッチ棒の数を数える問題ですが、 普通は前者のように考えて答えがでますから、 もうそれ以上、深く考えることはしないですね。
でも別解、違った方向からのアプロ−チを試みるのは 楽しいものです。 それがぴたっとはまる、 ジグソ−パズルの最後の１ピ−スをはめこむように、 と最高の気分ですよね。 数学というものの神秘を感じる瞬間でもあります。
「柔軟性のある応用力をつけるには、 別解をたくさん研究することだ！」 と授業の中で生徒にも言っています。
このマッチ棒の問題にオイラ−の多面体の公式を 当てはめるなんて、アイディアですよね、さすが。



　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

NO.74　　　　 4/3 　　Junko　 プレゼントの問題（２）

Ｎ人でプレゼントを交換し合うとします。
自分自身の用意したプレゼントをもらう人が １人もいないようなプレゼント交換のし方が、 ｆ(Ｎ)通りあるとします。
ｆ(６)の値を求めればいいわけです。
Ｎ＝２から順番に考えてみました。
それぞれの人数で単独の仲間はずれが出ないように チェ−ンを作る（手をつないで輪を作る）にはどうしたらよいか と考えました。





　　　　　　　　　　

NO.75　　　　 4/3 　　みかん　 プレゼントの問題（３）

べつかい、別かい？　別解

６人がプレゼントをする全ての場合は６！＝７２０通り

ゆえに　自分のプレゼントを受け取らない方法は
７２０−（１＋１５＋４０＋１３５＋２６４）＝２６５
であるから、２６５通りとなる。
円順列というようなしゃれたものは使いませんでしたが 同じ結果となりました。
この方法は結局ランクを一つ下げて計算をする方法なので、 数式上の表現が面倒である。
この問題は「５人が交換する方法」を求めることであり、 そして「４人が交換する方法」を求めること・・ ・・。
　 しかし、計算は前のことを使えるので案外簡単でした。



　　　　　　　　　

NO.76　　　　 4/4 　　水の流れ　 プレゼントの問題（４）

ＭＫ１４２８５７さんのプレゼント問題ですが、 これは「完全順列」または、モンモール問題と 言いまして、一般にｎ人の場合のときまで、考えられます。
ご存じとは思いますが、ｎ人について、 １人も自分自身の用意したプレゼントをもらわない方法を、 f(n)とすると、
f(1)=0,f(2)=1で、
漸化式：f(n)=(n-1){f(n-2)+f(n-1)}で、表現できています。
私自身教員７年目のとき、知ってそれ以来、 機会あることに教えています。
だから、f(3)=2(0+1)=2,f(4)=3(1+2)=9,f(5)=4(3+9)=44
f(6)=5(9+44)=265通りです。

また、ｊ人だけが自分のプレゼントをもらう場合も、 考えられます。 (j=0,1,2,3,・・・,n)　だから、 n=6,j=0のときが出題されたことになります。

さらに、ｎ人とも自分自身のプレゼントをもらわない確率 は１／ｅ（ｅは超越数）約３６．８％位（訂正）です。
これは、関数ｅのx乗のマクロニー展開で証明されます。
私の場合は、席替えのとき、少なくとも１人以上の人が、 前と同じ席になる確率は約６３％くらいあるのだから、 我慢しなさい。と言って生徒にはよく話します。



　　　　　　

NO.77　　　　 4/4 　　みかん　 プレゼントの問題（５）

NO.76に、 「また、ｊ人だけが自分のプレゼントをもらう場合も、 考えられます。(j=0,1,2,3,・・・,n) だから、n=6 ,j=0のときが出題されたことになります。」
　 とありますが、それではn とj の入った場合はどうなるのでしょうか。




　　　　　　

NO.78　　　　 4/4 　　Junko　 プレゼントの問題（６）

ｎ人でプレゼントを交換し合うとします。
自分自身の用意したプレゼントをもらう人が １人もいないようなプレゼント交換の仕方が、 ｆ(ｎ)通りあるとします。

またｎ人のうち、ｊ人だけが自分自身のプレゼントを もらう場合の交換の仕方が、ｇ(ｎ，ｊ)通りあるとします。
このｇ(ｎ，ｊ)について考えます。
ｎ人のうち、自分自身のプレゼントを もらうｊ人を選びます。
これが、ｎＣｊ通り。
残った(ｎ−ｊ)人については、 自分自身の用意したプレゼントをもらう人が １人もいないような交換の仕方をするわけですから、
ｆ(ｎ−ｊ)通り
従って、
ｇ(ｎ，ｊ)＝ｎＣｊ×ｆ(ｎ−ｊ) ではないでしょうか。

特に、ｇ(ｎ，０)＝ｎＣ０×ｆ(ｎ−０)
　　　　　　　　＝ｆ(ｎ)
となります。



　　　　　　

NO.79　　　　 4/6 　　Junko　 プレゼントの問題（７）

ところで、
漸化式：f(n)=(n-1){f(n-2)+f(n-1)} で表現できるのはなぜなのでしょうか？
さらに、これを解いて一般項を求められるのでしょうか？



　　　　　　

NO.80　　　　 4/6 　　水の流れ　 愛(?)のある問題

iは虚数単位とします。
iをi乗したら、いくつになりますか。 れっきとした実数となるよ。



　　　　　　

NO.81　　　　 4/8 　　水の流れ　 プレゼントの問題（８）

小島先生　こんにちわ
ｇ（ｎ、ｊ）の値を表にしました。 ２０年前、この表を作って、有頂天になって、 黒板に書いた思いでがあります。

モンモールの三角形
ｎ＼ｊ０１２３４５６７計
１０１      １
２１０１     ２
３２３０１    ６
４９８６０１   ２４
５４４４５２０１００１  １２０
６２６５２６４１３５４０１５０１ ７２０
７１８５４１８５５９２４３１５７０２１０１５０４０
８         

ｇ（ｎ，０）とｇ（ｎ，１） との差が ご覧のように常に１のように思います。
さらに、その大小が交互にきています。 ｇ（ｎ，ｎ）＝１ ，ｇ（ｎ，ｎ−１）＝０，ｇ（ｎ，ｊ）＝ｎＣｊ×ｇ（ｎ−ｊ，０）
などの性質があるよと言ってあります。
だから、パスカルの三角形にちなんで、 モンモールの三角形と言ったものです。 実に、懐かしい。



　　　　　　

NO.82　　　　 4/9 　　MK142857　 プレゼントの問題（９）

今晩は。僕の解き方を紹介します。

友達の人数がｎ人のときのプレゼント交換のし方の数をｆ(ｎ)で表します。
ｎ＝１のときには、題意を満たすプレゼント交換はできないので、ｆ(１)＝０。
また、ｎ＝２のときには、２人の友達が互いに他のプレゼントをもらう場合しかないので、ｆ(２)＝１。

次に友達の人数が(ｎ＋２)人のときについて考えます。
(ｎ＋２)人の友達をそれぞれ
Ａ１、Ａ２、Ａ３・・・・ Ａｎ＋２で表します。
Ａ１がＡ２のプレゼントをもらう場合の数の ｎ＋１倍がｆ(ｎ＋２)となるので Ａ１がＡ２のプレゼントをもらう場合を考えます。

１、２より、
ｆ(ｎ＋２)＝（ｎ＋1）{ ｆ(ｎ＋１)+ ｆ(ｎ)｝・・・・（１）
が成り立ちます。
（１）と、ｆ(１)＝０, ｆ(２)＝１を用いてｆ(６)を求めることもできますが、 もう少し計算を簡単にすることを考えます。

（１）の両辺から（ｎ＋２）ｆ(ｎ＋１)引くと、
ｆ(ｎ＋２)−（ｎ＋２）ｆ(ｎ＋１)＝−｛ｆ(ｎ＋１)−（ｎ＋1）ｆ(ｎ)｝
また、ｆ(２)−２ｆ(１)＝１
これより、数列｛ ｆ(ｎ＋１)−（ｎ＋1）ｆ(ｎ)｝は、
初項が１、項比が−１の等比数列となり、
ｆ(ｎ＋１)−（ｎ＋1）ｆ(ｎ)＝（−１）（ｎ−１）
即ち、 ｆ(ｎ＋１)＝（ｎ＋1）ｆ(ｎ)＋（−1）（ｎ−１）
従って、数列はｆ(ｎ)漸化式
ｆ(１)＝０、ｆ(ｎ＋１)＝（ｎ＋1）ｆ(ｎ)＋（−1）（ｎ−１）・・・（２）
によって定まる数列とも言えるわけで、 この式を利用した方が、計算が簡単になります。
また、最近分かったことですが、ｎの値を限りなく大きくしていくと、 ｎ人がプレゼント交換をしたときに全員が 他の人のプレゼントをもらう確率は限りなく １／e＝0,367879441・・・に近づきます。

完全順列に関する面白い問題をもう一つ作ったので紹介します。

問題

A君は、あるテストの問題を考えています。 その問題は、５つの空欄のあ る文章の空欄に入る語句を５つの選択肢の中から選んで答える問題です。 問題には、同じ語句を二度以上用いてはならない、 と書いてあるため、５つの空欄には、 全て異なる語句が入ることになります。 A君は、ちっとも勉強していなかったため、 直感で答えを書くしかありませんが、次の２つの方法のうち、 どちらの書き方をした方が得でしょうか。

  1. ５つの空欄に全て同じ選択肢を書く。
  2. ５つの空欄に全て異なる選択肢を書く。
　



　　　　　　
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