Weekend Mathematics／コロキウム室／1997／NO.1
NO.1 6/1 MK142857
数学に興味がある千葉市在住の高校１年生です。
インターネット上で先生のホームページを見て興味を持ちました。
興味ある問題をお送りします。もしよかったら先生の出題例に加えて下さい。
また、僕の問題例にコメントがありましたら、
お忙しいでしょうが返信を下さい。
問題１
48134813,53775377などのように同じ４桁の自然数を２つ並べた形の８桁の自然数の中で、
17447で割り切れる最大の自然数を求めて下さい。
（出典 算数１００の難問、奇問Ｐ２１の類題 １９９３年講談社）
問題２
太郎君は、手に300枚のカードを重ねて持っています。
今から次の操作をします。
まず、一番上のカードを机の上に置きます。
そして、次のカードを持っているカードの一番下に入れます。
同じように、次のカードを机の上に置き、
その次のカードを持っているカードの一番下に入れます。
この操作をずっと繰り返すとき、
太郎君の手に最後まで残るカードは、
初めに持っていたカードの中の上から何番目のカードか答えて下さい。
（出典 算数オリンピック第２回大会問題６の類題）
NO.2 6/2 Junko
私の回答をかきます。
問題１
題意にある８桁の数は下４桁の部分をaとすると、a×10001とかける。
ところで、17447=73×239と因数分解できる。
この73が10001をぴったり割るところがミソ！
10001×a/17447=10001×a/(73×239)=137×a/239となり、
これが割り切れるためには、137と239が互いに素であることから、
aが239の倍数であればよい。
aは４桁の自然数で239の最大の倍数であればよいのだから、9799。
従って答え、97999799。どうでしょう？
この問題で「17447」という数字は必然性のある数字です。
問題の出題者は10001を73が割り切るという性質を使いたいわけですから、
まず73の倍数である必要があります。
そして、10001/73=137と17447/73=239が互いに素でなければなりません。
また、17447は５桁以上（でないと問題がおもしろくない）でなおかつ、
17447/73は４桁の小さい方かできれば３桁以下。
これらを考えると、17447だけではないと思いますがかなり限られてくるし、
もちろん何でもいいわけではありません。
そういう意味で必然性のある数字だというわけです。
出題者の立場にたって考えてみるとまた違った見方ができておもしろいと思います。
次に問題２についてです。
各カ−ドに１から３００までの番号が降ってあるとしましょう。
これと似たような問題が日本数学オリンピック予選の問題に出題されています。
「１からｎまでの整数が並んでいるとき、
２から消し初めてひとつ毎に数字を消してゆき、
端についたら折り返して、逆向きに残っている数字をひとつ毎に消す。
そして端についたら折り返し、以下同様なことを繰り返す。
そして最後に１つだけ残る数が何であるかを考えよう。
例えばｎ＝５なら２，４，３，５と順に数字が消え最後に１が残る。
また、例えばｎ＝７なら消える数字は順に２，４，６，５，１，７で
最後に残るのは３である。さてｎ＝１９９７のとき最後に残る数は何か」
挑戦してみてください。
NO.3 6/7 ちゃんた
今回の問題（１）は、周りに解かせて見たところ、大変好評でした。
とりあえず理工系ということもあり、１０分ほどでみんな正解にたどりつきまし
たが、最初問題を見たときは、面食らってました。
(^_^;; なんだか重箱の隅をつつくような問題ですが、おもしろかったです。(^_^)
NO.4 6/10 BRAINMANIA
もう少しホームページを豊かにしたいのと、
私個人の疑問をかねておたずねしたいことがあります。
１つは「数学の効果」。
何故に数学を習ってゆくのか。
現在の社会の数学の立場など、
思っていることを教えて欲しいのですが…。
私なりには、数学的考察力を鍛えるものだとかなり漠然的ですが考えております。
もう１つが「頭がよいことはどういうことか」。
今手探りで色々調べています。
私としては、頭の良さは大きく分けて３つあると考えられます。
それは「記憶力」と「理解力」と「発想力」と分けています。
他の人はどういう考え方なのか是非とも知りたいと思い、
メールを送ります。
暇があったらメール下さい。では。
NO.5 6/11 MK142857
問題3(オリジナル)
ABを斜辺とする直角三角形ABC（∠B＜45度）を書きます。
直線BAの延長上にＤをとり、
∠ABC=∠ACDとなるようにしたところ、
AB:CD=2:1 となりました。
∠BACの大きさを求めて下さい。
問題２
僕の解答例
まず、持っているカードの枚数が2n（nは自然数）とかけるとき、
最後まで手元に残るカードは、一番下のカードである。--------（＊）
を証明します。
NO.6 6/14 Junko
こんにちは。問題２についての児島さんの解答はすばらしいですね。
感動もんです。
私のようにあくせくやるのは答えにたどりついたとしても
あまり美しくはないですものね。脱帽です。
さて、オリジナル問題の方ですけれども、これも立派！
変な言い方かもしれないけれどちゃんと問題になっています。
特に幾何の問題を作るのはむずかしいと思います。
条件を設定し変数を動かしたときに、
こういう状況を作り出したいという風に問題を作っていくわけですが、
条件を過不足なくそろえることなど大変な面があります。
いろいろな意味でよくできていると思います。回答例を２つかきます。
１．
２．三角関数の知識を使います。
１の解法は中学校程度の知識で解けますよね。
でも２：１（またはＳＱＲ（３）：１または１：ＳＲＱ（３）など）
という特殊な場合でしか解けません。
２の解法は三角関数に関する知識が必要ですが、
一般的な比率でも、
（三角関数表や計算機による近似ですが、）求めることができます。
三角関数の応用としてもいい問題だと思います。
また、問題が作れたら見せてください。
NO.7 6/17 Junko NO.4の発言を受けて
むずかしい質問を投げかけられてしまったので、
いろいろと思い巡らせてはいたのですが、
なかなかペンをとれず（キ−ボ−ドをたたけず）に今に至っています。
どちらにしても大したことはかけませんが、私の思うところをかいてみます。
数学について、数学をやる人は数学自体が社会にどう貢献するかとか、
何のために勉強するかなどとは考えていないと思います。
未知のものに惹かれる、真理探究の精神だと思います。
私は大学時代、あまりまじめな大学生ではなかったですけれど、
でも数学を学ぶことはそれ自体でとてもおもしろかったです。
数学には「美」を感じるし、感動もします。
数学科というのは大抵の大学では理科系に位置しますが、
他の理科系の学科とは随分違うと思います。
（アメリカだったかな？文化系の哲学科の横に数学科なんて大学もあるようです。）
数学は理論を構築していく学問だと思います。
それを表記するのに数式を用いています。
自然科学の分野は、まず、自然現象ありきですよね。
どんなに素晴らしい理論をうちたてても、実験結果や現実と合わなければ、
認めてもらえない。
でも、数学はちがいます。
数学では、確かに具体的なモデルがあった方がわかりやすいし、イメ−ジもわきます。
でも、具体例は必ずしも必要ではないです。
ｎ次元で考えるなんてこともそうです。
数学は物事を抽象化する学問だと思います。
先ほど、数学をやる人は社会との関わりは考えていないと書きましたが、
今の時代はそれでは通用しないと思います。
古くは、ノ−ベルがダイナマイトを作った、
アインシュタインが相対性理論をうちたてた、
彼らはそれらが多くの人間を殺傷する結果になるとは夢にも思わなかったでしょう。
医学の分野における様々な問題、脳死、移植、生殖に関することなど、
例をあげたらきりがないです
。現在、自然科学（数学も含めて）に関わる人間は、真理探究だと言って、
社会性を無視することはできないと思います。
人間としての倫理観をしっかりもっていないといけないと思います。
さて、教育の面で数学をとらえるとどうか？
生徒たちに、数学っておもしろいでしょう、
と言ってもわかってはもらえません。
解ければ楽しい、ということはあるでしょう。
しかし、純粋に数学のおもしろさを伝えるのは至難の技で日々格闘しています。
数学は何のために勉強するか、
この質問に対する答えはきわめて難しいです。
もちろん、実生活に役立たせるためというのがあるでしょう。
でも、高校生にそれをいうと、
「先生、微分知らなくても買い物はできるよ。」と生徒達は言います。
私はそうは思わないけれど、
彼らにとって実生活と数学はなかなか結びつかないのでしょう。
私は、数学に限らず高校で勉強する内容は
自分の人間性を豊かにするために学ぶのだと生徒には言っています。
（どこまで伝わっているかわかりませんけれど・・・）
もちろん、もっと専門的に勉強したい科目があればそれを勉強するのは
当然ですけれど、受験科目にないものはやらない、なんてことにもなりかねません。
自分の可能性を閉ざさず、広げるためにいろいろなことを学ぶのだと
、私は言いたいです。
数学について言えば、
先程もかきましたが１つには物事を抽象化するということを学ぶ、
ということだと思います。
（もちろん自然科学を志す人にとっては数学は言語ですから、
当然語学学習は最低限必要です。）
わけのわからないことをかきました。２件めについてはまた改めて。
NO.8 6/18 みかん
現在の数学は、分かりきったこと正しいこと即ち、
公理を基盤に理論的を構築していくものである、それゆえにこそ、
出来上がった理論は「正しい」のです。
ですから、自然現象の説明や日常の物事を理解する手助けには
必ずしもならないのは道理だと思います。
なぜなら、自然現象や日常の出来事には不可解なもの
（まだ未知なるもの）をも含めて出来上がっているからです。
このことにより数学が全てのものを理解する道具となり得ない所以でもあり、
数学が役に立たないと言われても、
数学者は憤然として誇り高く、
論理をを積み上げ理論体系を作っていくのだと思います。
NO.9 6/19 BRAINMANIA
メール有り難うございました。
大変興味深く拝見させていただきました。
そこで私なりの数学についての考えをお伝えします。
物事を論理立てて思考を巡らす練習に、
数学が役立っていると私は思います。
量子脳理論をうち立てたロジャー・ペンローズ博士も
脳を考えるのに数学をフィールドに選びました。
それほど数学は論理立てて考えるのにふさわしい領域だと思います。
社会に出たら一部を除き、三角関数とか、対数なんてのは使いません。
しかし、学生時代にそれらの問題を解くのに使った考え方や、
解くための進め方、その解き方がいかに正しいかを説明する能力などは、
社会人になっても使われることでしょう。
ただし、そのとき培った能力は、自然と自分の能力に備わってしまっているので、
数学の効果をいまいち意識しずらいのでしょう。
だから、小島先生も生徒に数学を教えるときには、
このことを強調されたらいかがでしょうか。
工学部は、数学の知識をいかに社会に役立てていけるかを
研究するところと思います。
全くむだと思える虚数も、
計算方法によっては交流電流を検討するのに役立っています
（ほかに色々ありますが、勉強していないので…）
問２として「頭がよいとはどういうことか」を取り上げました。
私なりの考えをすこし、お伝えします。
頭がよい、という定義について、
大きく分けて３種類あると考えました。
１つが「記憶力」。まあ、これは学校の勉強で覚えるようなもの
（大化改新は６４５年なんか）。
２つ目が「発想力」。
これは知識を組み合わせて何かに役立てようとすること。
３つ目が「想像力」。
無から有を作り出す、というのが相応しいでしょう。
「発想力」と「想像力」は同じものだとも考えられますが、
私はあえて２つに分けました。
説明は後回しということで、では。
NO.10 6/23 MK142857
小島淳子 先生、こんにちは。
新作オリジナル問題を作りましたので、送ります。
問題４
f(x)=x2-4x+6とするとき、
次の方程式はいくつの実数解を持ちますか。
f(f(f(f(f(x)))))=2
問題５
次の２つの条件を同時に満たす最小の自然数を求めて下さい。
条件１ 各位の数が皆等しい。
条件２ １から９までの９つの自然数のうち、
ある１つを除いた８つの自然数の公倍数である。
NO.11 6/24 Junko
今回の問題もなかなかいいですねえ。
どうやって、問題を発案するのかコツを教えてもらいたいなあ。
さっそく、解いてみました。
問題４
実数解は１つ、２ですね。
この方程式は３２次方程式で解の２は３２重解ですね。
直線y=x上の点（２，２）にy=f(x)のグラフ、
放物線の頂点を持ってきたというところがポイントですよね。
さて、この問題を発展させて
（数学をやる人はすぐ一般化したがる習性があるんです。）
「f(x)=x2-4x+6とするとき、次の方程式はいくつの実数解を持ちますか。
f(f(f(f(f(x)))))=a 」とすると、どうでしょう。
a=2のケ−スはいいですよね。
@a<2の場合
y=f(x)のグラフとy=aのグラフは交点を持ちませんから実数解は存在しない。
Aa>2の場合
y=f(x)のグラフとy=aのグラフは交点を２つ持ちます。
つまり実数解は２つあるわけで、
これをα1、β1とすると
（α1＜β1）
α1＜２、２＜β1となる。
次にf(f(f(f(x))))=α1、
f(f(f(f(x))))=β1
なる２つの方程式を考えると、
前者はα1＜２より、@と同様実数解はない。
後者は２＜β1１より実数解を２つ持つ。
これらをα2、β2 とすると
（α2＜β2）
α2＜２、２＜β2となる。
と、いうように５回繰り返す。
従って、最終的には実数解はα5、β5 の２つとなる。
問題５
これは、前回のWeekend Mathematics ５ カ−ドの問題
(ブラウザのBackボタンで戻ってきてね。)の応用問題として最適！
さて、ずらずらと並ぶ数字ですが、
NO.12 6/24 K.Y.
問題４について僕も考えてみました。
f･f･f･f･f(X)=f5 (X)とかく？
まあ、かくとして
f1 (X)=x2-4x+6
f2 (X)= (f1 (X))2-4( f1 (X))+6
f3 (X)= (f2 (X))2-4( f2 (X))+6
…
fn (X)= (fn-1 (X))2-4( fn-1 (X))+6
ここで、fn (X)=2とすると、…@
(fn-1 (X))2-4( fn-1 (X))+6=2より、
fn-1 (X)=2…A
@Aより、fn (X)= fn-1 (X)
従って、f5 (X)= f (X)=2
x=2（重解）
戻る