コロキウム室(ガロア理論の心・その１)

（体の代数拡大と指標の独立性）

今回から、ガロア理論を考えてみたいと思います。 これまでの リングセオリーシリーズと 代数方程式シリーズの内容を踏まえれば この理論を展開する事は、それほど大変な事ではありませんが、 まだ全くやっていない概念もいくつかありまして、 その中で最も基礎的なものは線形代数です。 実はガロア理論は線形代数の知識を使うと意外なほどにすっきりとします。 もともと線形代数は連立方程式論との関係が深いですから、それも当然かもしれません。 それをわかりやすい形で初めて世の中に伝えたのはEmile-Artin先生です。（この人は大先生）

（定義）
Kを体として、kがKの部分体とは、ｋはKの部分環であってかつｋ内の０でない元が全て unitを成す事をいう。この状態をK／ｋと書いて、Kをｋの拡大体という。

上の定義のK／ｋを「体の拡大」といいます。 最も典型的な体の拡大は複素数体Cと有理数体Qです。 つまりC／Q。 （以下Zと書いたら整数環、Qを有理数体、Rを実数体、Cを複素数体とします。 今まではRと書いたら環を表す事が多かったですが、 これからはAとかBとか書いて環を表します。 この環については断りますが、Z、Q、R、Cについてはいちいち断らない事とします。ご注意）
さて、Ｋ／ｋを体の拡大とします。 ｋ［X]を体ｋ上の多項式環とします。 これは環でしたからこのｋ［X]を係数とする２変数の多項式環、（ｋ［X]）［Y]が作れます。 これをｋ［X、Y]と書いて２変数の多項式環といいます。 帰納的にｎ変数の多項式環を次で定義します。
ｋ［X₁、Ｘ₂、・・・、Ｘ_n］：＝（ ｋ［Ｘ₁、Ｘ₂、・・・、Ｘ_n-1］）［Ｘ_n］
ここで代入原理から、Sをｋの部分体としますと、Sからｋへ内部写像が取れて、 これは環写像ですから、
φ：S［Ｘ₁、Ｘ₂、・・・Ｘ_n］→ｋでφ（Ｘ_i）＝α_iなる代入射が取れます。 （但し１≦ｉ≦ｎで、α_iはＫの元）この代入射φのイメージ、 つまりＩｍ（φ）をＳ（α₁、α₂、・・・α_n）と書いて、Ｓにα_iを添加した体といいます。 もう大分昔のことかもしれませんが、 NO.699　代数方程式の代数的解法（１）で書いたことを 数学的に書き直したものです。 与えられた方程式を代数的に解くとは定義体に累乗根を次々と添加していき、 全ての根がその定義体の拡大体に含まれるように拡大の列が取れることでした。

（ベクトル空間について）
今はリングセオリーではないので、ここではよく使われるベクトル空間の定義を書きます。 後で余裕があるようでしたら環を用いてこのベクトル空間を一般化します。

（定義）
アーベル群Ｖが以下の条件を満たすとき体Ｋ上のベクトル空間という。
まず、写像Ｋ×Ｖ→Ｖが、（ａ、ｍ）→ａｍと定まっていて、∀ａ、ｂ∈Ｋ、∀ｍ、ｎ∈Ｖに対し

1. （ａ＋ｂ）ｍ＝ａｍ＋ｂｍ
2. ａ（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ａｎ
3. （ａｂ）ｍ＝ａ（ｂｎ）
4. １ｍ＝ｍ

（定義）
ｎ個のベクトルａ₁、ａ₂・・ａ_nがＫ上一次独立であるとは、 α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋・・・＋α_nａ_n＝０⇒ α₁＝α₂＝・・・＝α_n＝０に限る事をいい、 ａ₁、ａ₂・・・ａ_nがＫ上一次従属であるとは、 少なくとも１つは０でないα_iがあって、α₁ａ₁＋・・・＋α_nａ_n＝０を満たす事をいう。 但しα_iはＫの元である。

この一次独立や一次従属などは、ベクトル空間の中では最も基本的な言葉です。

（定義）
一次独立なベクトルの最大個数をそのベクトル空間の次元という。 ベクトル空間Ｖの次元がｎであれば、この事をdimＶ＝ｎと書く。

これもやはり大切な概念です。「体Ｋ上」のベクトル空間ということを強調する場合 、Ｖの次元がｎである事を［Ｋ：Ｖ］＝ｎと書きます。 Ｋ／ｋを体の拡大とすれば、写像ｋ×Ｋ→Ｋ、（ｃ、ｘ）→ｃｘをうまく定めれば、 Ｋはｋ上のベクトル空間になります。 そして、［Ｋ：ｋ］でｋ上ベクトル空間Ｋの次元を表す事とします。 この次元を拡大次数といいます。 この場合、スカラーは狭いｋの方から取ってきていることに注意してください。

（定義）
α∈Ｋがｋ上代数的（algebraic)であるとは、 ｆ（α）＝０を満たすｋ［Ｘ］の元ｆ（Ｘ）が存在する事をいう。但しｆ（Ｘ）≠０とする。

代数方程式の根になる数を代数的といいますが、 これはその概念を一般の体に拡張したものです。 πとかは代数的でない数として有名です（これを証明したのはエルミートという人）。 代数方程式の根になる数というのはよくよく考えてみますと、 コンパスと定規を用いて作図可能な数という事になります。
例えば などは１辺が１の正方形の対角線になります。 そうすると、代数的でない数はコンパスと定規を使って作図できない数という事です。 古代から角の3等分線は作図できない事が知られていますし、 与えられた円に等しい面積の正方形の作図もできません。これはπが代数的でないからです。
α∈Ｋに対し、写像φ：Ｋ［Ｘ］→Ｋをφ（Ｘ）＝αで定めます。 代入原理からそれは可能でした。
さてこの代入射φのカーネルを考えます。 Ｋｅｒ（φ）＝Ｉとおきます。このときαが代数的⇔Ｉ≠｛０｝です。
なぜなら、αが代数的ならば定義から、ｆ（α）＝０なるｆ（Ｘ）≠０がｋ［Ｘ］から取れて、 このことはｆ（Ｘ）∈Ｉを意味しています。
よってＩ≠｛０｝です。逆にＩ≠｛０｝を仮定しますと、 ０でない元がＩの中にあって、それをｇ（Ｘ）とおくと、カーネルの定義から、 φ（ｇ（Ｘ））＝ｇ（α）＝０ですから、αは代数的です。
Ｋ［Ｘ］はNO.751　リングセオリー（１９）の問題１３で見たようにＰＩＤでした。 ですからＩ＝（ｐ（Ｘ））と書けます。（ｐ（Ｘ）∈Ｋ［Ｘ］です。）
今、ｐ（X）≠０ならばばＫが体である事から、その最高次係数をくくりだして、 ｐ（Ｘ）の最高次係数が１になるようにできます。 （最高次係数が１の多項式をmonicな多項式といいます）かつｐ（Ｘ）の次数を最小に取ります。 このｐ（Ｘ）をαの最小多項式といいます。
実際、ｐ（Ｘ）とは異なるｆ（Ｘ）について、ｆ（α）＝０ならば、ｐ（Ｘ）｜ｆ（Ｘ）となります。 このことからも、最小というイメージがつかめると思います。
それから、ｐ（Ｘ）｜ｆ（Ｘ）は整数環の時と同様に、 ｆ（Ｘ）＝ｐ（Ｘ）ｇ（Ｘ）なるｇ（Ｘ）が取れることを意味します。 また次数の最小性からｐ（Ｘ）が既約であることもわかります。
従って（ｐ（Ｘ））は素イデアルであって、（０）でないから極大イデアルで （なぜならＫ［Ｘ]も、ｋ[Ｘ]もＰＩＤ）よって、ｋ[Ｘ]／Ｉは体となります。 これは第一同型定理からｋ（α）と同型です。つまりｋ[Ｘ]／Ｉ〜ｋ（α）です。
ここで、ｋ[Ｘ]／Ｉの具体的な形について考えてみましょう。
deg(ｐ（Ｘ））＝ｎとおきますと、ｐ（Ｘ）はmonicですから、 ｐ（Ｘ）＝ａ₀＋・・・・＋Ｘⁿと書けます。
∀ｇ（Ｘ）∈ｋ［Ｘ］を取ってきてｐ（Ｘ）で割ります。 すると、
ｇ（Ｘ）＝ｐ（Ｘ）ｑ（Ｘ）＋ｒ（Ｘ）　　 但しｒ（Ｘ）＝０か、deg（ｒ（Ｘ））＜deg（ｐ（Ｘ））
今ｐ（α）＝０を考えれば、ｇ（α）＝ｒ（α）ですから、 ｋ［Ｘ］／Ｉ〜ｋ（α）＝｛ａ₀＋・・・ａ_n-1α^n-1｜ａ_i∈ｋ｝ となっています。 さらに、１、α、α²、・・・α^n-1は一次独立になっています。

（その証明）
ａ₀＋ａ₁α＋・・・＋ａ_n-1α^n-1＝０とすると、 αはｇ（Ｘ）＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋・・・＋ａ_n-1Ｘ^n-1の根ですが、 αの最小多項式はｐ（Ｘ）でその次数はｎですから、 ｎより次数が小さい多項式の根とはなりません。 よって、ｇ（Ｘ）＝０より、ａ₀＝・・・＝ａ_n-1＝０となって、 １、α、・・α^n-1は一次独立です。 そして、［ｋ（α）：ｋ］＝ｎがわかりました。　　　（証明終わり）
つまり、ｋ（α）／ｋですが、その拡大次数はαの最小多項式ｐ（Ｘ）の次数となっている事が わかりました。以上の考察からわかった事をまとめてみれば、次の大切なコロラリーを得ます。

（コロラリー）
α∈Ｋのとき、次は同値である。

1. αがｋ上代数的
2. ｋ（α）は体
3. ［ｋ（α）：ｋ］＜∞

前回からの続きです。

（定義）
K／ｋを体の拡大とし、これが代数的（algebraic）であるとは∀α∈Kがｋ上代数的になっている事 をいう。

さて、ここからが今回の本題です。

（面白そうな方程式）
ｆ（ｘ）＝ｘ³−２∈Ｑ［ｘ］とします。
この根はα、αω、αω²の３つであることはわかると思います。 但しαは２の３乗根、ωは１の立方根です。 従ってω²＋ω＋１＝０を満たします。
さて、定義からこの３つの根はＱ上代数的でかつ、Ｑ（α、αω、αω²）⊆Ｃです。
αの最小多項式をｐ（ｘ）とおきますと前回見たように、 ［ｋ（α）：ｋ］＝deg（ｐ（ｘ））でした。 すなわち拡大次数は最小多項式の次数に等しいのです。
いま、αの最小多項式（もちろんＱ上の）はｘ³−２ですから、 従って［Ｑ（α）：Ｑ］＝３です。
それから同じようにωのＱ上最小多項式はｘ²＋ｘ＋１なので［Ｑ（ω）：Ｑ］＝２です。
ああ、それから、αやωはＱの元ではありませんから、 当然Ｑ（α）⊃ＱとＱ（ω）⊃Ｑが成り立っていますよ。
次に［Ｑ（α、αω、αω²）：Ｑ（ω）］と、 ［Ｑ（α、αω、αω²）：Ｑ（α）］を求めたいのです。 そのためには次の補題が必要でしょう。

（補題１）
Ｑ（α、αω、αω²）＝Ｑ（α、ω）が正しい。

（証明）
まず、Ｑ（α、αω、αω²）⊂Ｑ（α、ω）はいえると思います。
といいますのも、α、ω∈Ｑ（α、ω）ですから、 Ｑ（α、ω）が体である事を考えれば、αω、αω²∈Ｑ（α、ω）だからです。
次に逆の包含関係です。
α、αω∈Ｑ（α、αω、αω²）ですから、 やはりＱ（α、αω、αω²）が体である事を考えると、
α^‐（αω）＝ω∈Ｑ（α、αω、αω²）だからです。
よってＱ（α、αω、αω²）＝Ｑ（α、ω）です。　　（証明終わり）

この補題によると、求めたい物は［Ｑ（α、ω）：Ｑ（ω）］と、 ［Ｑ（α、ω）：Ｑ（α）］に化けました。
ところで、２変数多項式の定義はＡを環とするとＡ［ｘ、ｙ］＝（Ａ［ｘ］）［ｙ］でしたから、 Ｑ（α、ω）＝（Ｑ（α））（ω）です。
ですから［Ｑ（α、ω）：Ｑ（ω）］を求めるにはＱ（ω）上αの最小多項式の次数を 求めれば良いという事になりますね。それをｇ（ｘ）とおきます。
するとα³−２＝０ですから、ｇ（ｘ）｜ｘ³−２となります。
よって適当な多項式ｓ（ｘ）を用いてｘ³−２＝ｇ（ｘ）ｓ（ｘ）です。 ところが左辺は既約な多項式ですから、ｓ（ｘ）定数ということになりdeg(ｇ（ｘ））＝３ である事がわかります。だから［Ｑ（α、ω）：Ｑ（ω）］＝３です。
同じように［Ｑ（α、ω）：Ｑ（α）］を求めます。
Ｑ（α）上ωの最小多項式をｈ（ｘ）とします。 するとｈ（ｘ）｜ｘ²＋ｘ＋１ですから、 ｘ²＋ｘ＋１＝ｈ（ｘ）ｍ（ｘ）と書けます。
左辺は既約ですから、ｍ（ｘ）は定数で、従ってdeg（ｈ（ｘ））＝２ですから、 ［Ｑ（α、ω）：Ｑ（α）］＝２となります。

体の拡大次数ｎの体の拡大Ｋ／ｋを「ｋ→（ｎ）Ｋ」で書くことにします。 つまり矢印の行き先が拡大体となっているように書き、 拡大体と矢印の間に拡大次数を書きます。 すると、今考察したことを下のような図に書く事ができます。

Ｑ→（３）Ｑ（α）
↓　　　　　　　↓
（２）　　　　　（２）　
Ｑ（ω）→（３）Ｑ（α、ω）⊂Ｃ

（補題２）
Ｍ→（ａ）Ｎ→（ｂ）Ｋを有限次拡大の体の拡大列とすると、［Ｋ：Ｍ］＝ａｂが正しい。

この補題が言っている事はつまり、［Ｋ：Ｎ］＝ｂ、［Ｎ：Ｍ］＝ａでａとｂが共に有限ならば、 ［Ｋ：Ｍ］＝［Ｋ：Ｎ］［Ｎ：Ｍ］が成り立つといっています。 それを認めるならば［Ｑ（α、ω）：Ｑ］＝２・３＝６となります。
この補題２の証明ですが、ベクトル空間においての基底の概念をまだはっきりと書いていないので、 それを書いてから証明したいと思います。 （ものすごく簡単な証明ですから、基底や次元についての概念をお持ちの方はやってみてください）
Ｑ（α、ω）＝Ｅとおいて、このＥを方程式ｆ（ｘ）＝ｘ³−２の分解体といいます。 分解体上では方程式はバラバラに因数分解していることがわかると思います。
またＡｕｔＥ＝｛σ｜σ：Ｅ→Ｅ環同型｝とおきますと、 写像の合成を演算に群を成しました （NO.706 代数方程式の代数的解法（４）を参照）。 このＡｕｔＥをＥ上の自己同型群といいます。
ガロア理論の本質はこの自己同型群の部分群と中間体の間に一対一の対応があるという事でした （NO.706 代数方程式の代数的解法（４）を参照）すなわち、 今の例では、次の集合AとBの間には一対一の対応があります。

A＝｛K｜Q⊆K⊆Eなる中間体｝
B＝｛H｜H＜AutE｝

但し、H＜AutEとは、HはAutEの部分群であることを意味します。 今後この書き方はよく使いますから覚えておいてください。
さて、具体的な対応のつけ方を語る前に言葉を定義します。
Gal（E／K）：＝｛σ｜σ∈AutEで、∀a∈Kに対してσ（a）＝a｝
つまりKの元を皆固定するE上自己同型群をこのようにGal（E／K）とかきます。
また、Ｅ（H）：＝｛ｘ∈E｜∀σ∈Hに対しσ（ｘ）＝ｘ｝として、これをHに対する不変体といいます。
つまりHの元（これは写像）によって動かないEの元です。
また、Gal（E／K）はAutEの部分群となっていて、またE（H）は上のAの元です。 つまり中間体となっています。

（その証明）
まず、恒等写像１は全ての元を固定するE上自己同型ですから、 １∈Gal（E／K）より、Gal（E／K）≠φです。
次に∀τ、σ∈Gal（E／H）を取ってくると、∀a∈Kに対し、τ（a）＝a、σ（a）＝aで、 従って、a＝σ^‐（a）です。
よって、τσ^‐（a）＝τ（σ^‐（a））＝τ（a）＝aより、 τσ^‐∈Gal（Ｅ／K）ですから、 部分群の定義からGal（Ｅ／K）はＡｕｔＥの部分群です。 従ってGal（E／K）∈B

まや、Ｅ（Ｈ）が中間体である事を言うので、つまりＥの部分体になっている事を言います。
∀σ∈Ｈに対し、σ（１）＝１ですから（なぜならばσは環写像）、 １∈Ｅ（Ｈ）より、Ｅ（Ｈ）≠φ。
∀ａ、ｂ∈Ｅ（Ｈ）に対し
σ（ａｂ）＝σ（a）σ（ｂ）＝aｂ、σ（a＋ｂ）＝σ（a）＋σ（ｂ）＝a＋ｂ、
σ（-a）＝−σ（a）＝−aより、aｂ、a＋ｂ、−a∈E（H)で、
さらに、０≠∀a∈E（H）から取ると、Eが体であることからa^‐が存在して、 aa^‐＝１なので、
σ（aa^‐）＝σ（１）＝１⇔σ（a）σ（a^‐）＝１

よってσ（a）^‐＝σ（a^‐）⇔a^‐＝σ（a^‐）であって、 a^‐∈E（H)となり E（H）はEの部分体ですから、E（H)∈Aです。　　（証明終わり）

このことから、集合AとBの間には次のような対応がついていることがわかりました。

B∋H→E（H)∈A
A∋K→Gal（E／K）∈B
今は方程式ｘ³−２について考えています。
それから、Gal（E／K）を方程式ｘ³−２の分解体EにおけるK上ガロア群といいます。
代数方程式が代数的に解けるためには、 このガロア群が可解である事が必要かつ十分であることが証明されます。
ここで実際にガロア群の計算に入りましょう。

（例１）
ｍ∈Qとし、√ｍを無理数とします。
ここでｆ（ｘ）＝ｘ²−ｍのQ上ガロア群を求めてみたいと思います。
まずこの方程式の分解体EはもちろんQ（√ｍ）です。
求めるべきはGal（E／Q）＝Gal（Q（√ｍ）／Q）ですね。 ここから少し受験っぽいテクニックを使います。
∀φ∈Gal（E／Q）に対して、今考えなければならない事は無理数である√ｍがどう移るかです。 といいますのもQ上の環写像はすべて恒等写像ですから （NO.751 リングセオリー（１９）の問題を参照）。
ここで、０＝φ（０）＝φ（（√ｍ）²−ｍ）＝φ（√ｍ）²−φ（ｍ）ですから （ここが受験時代に培ったセンスの発揮所です）、 φ（ｍ）＝ｍを考えて（なぜなら、くどいですが、Q上の環写像は恒等写像なので） ｍ＝φ（√ｍ）²です。
従ってφ（√ｍ）＝±√ｍである事がわかります。
ｆ（ｘ）＝０なる方程式の根はもちろん±√ｍですから、φ（√ｍ）はｆ（ｘ）の根です。 ここがポイントです。
つまりここから方程式上のガロア群はその方程式の根の置換を引き起こす事が予想されるのです （それが正しいことをすぐに証明します）。
さて、分解体Ｅ＝Ｑ（√ｍ）の任意の元はａ＋ｂ√ｍという形をしているので（なぜならＱ（√ｍ） は多項式環Ｑ［ｘ］に√ｍを代入したのもだから）、
ａ、ｂ∈Ｑを考えてφ（ａ＋ｂ√ｍ）＝φ（ａ）＋φ（ｂ）φ（√ｍ）＝ａ±ｂ√ｍです。
よってφ（√ｍ）＝√ｍならばφは恒等写像１です。
またφ（√ｍ）＝−√ｍならば、φはＥの元をａ−ｂ√ｍに移す事がわかりました。
従ってGal（Ｅ／Ｑ）＝Gal（Ｑ（√ｍ）／Ｑ）＝｛１、φ｝である事がわかります。
但しφはφ（ａ＋ｂ√ｍ）＝ａ−ｂ√ｍなる環同型です。 この場合は方程式ｆ（ｘ）＝０上のガロア群は位数２の群であることがわかりました。

（方程式上のガロア群の元はその方程式の根を置換する写像となっている事の証明）
Ｋを体としＥをｆ（ｘ）∈Ｋ［ｘ]の分解体とする。
Gal（Ｅ／Ｋ）∋∀φに対して、ｆ（ｘ）＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋・・・ａ_nｘⁿとする。
φはＫの元を固定するＥ上の自己同型なのでこの場合、 ｆ（ｘ）の係数を全て固定するので、
φ（ｆ（ｘ））＝ａ₀＋ａ₁φ（ｘ）＋・・・＋ａ_nφ（ｘ）ⁿだが、
ｆ（ｘ）の根をαとすると、 ｆ（α）＝０なのでφ（ｆ（α））＝ａ₀＋ａ₁φ（α）＋・・・＋ａ_nφ（α）ⁿ＝０。
従ってαがｆ（ｘ）の根ならばφ（α）もｆ（ｘ）の根である。　　（証明終わり）

このことは簡単な事ですが、極めて重要な事です。

（例２） ｆ（ｘ）＝ｘ²＋１を考えて、この方程式のＱ上のガロア群を今度は求めてみましょう。
この方程式の分解体はＱ（ｉ）で、従って求めるべきはGal（Ｑ（i）／Ｑ）です。
Ｑ上の環写像は全て恒等写像です（できる限りこれを確かめて下さい。但し少し高級です）。
ですから例１と同じようにして、Gal（Ｃ／Ｒ）＝｛１、φ｝です。 但しφ（ａ＋ｂi）＝ａ−ｂiです。
このガロア群ではｆ（ｘ）＝０の根±iで、 i→−iと−i→iと根を置換していることに注意してください。
今回はこれくらいにして、次回からいよいよ前半の山である、 「指標の独立性」を考えて見ましょう。

ところで、ぜひ皆さんも適当な方程式を作って定義体 （NO.699　代数方程式の代数的解法（１）参照）に根を添加して図などを書いて「遊んで」みてください。 世界が広がる事を保証いたします。

（群指標とその独立性）

ここではガロアの基本定理を解く鍵となる、指標の独立性を考えます。 そこで群の準同型写像を定めましょう。といっても別に新しい事ではありませんが…

（定義）
AとBを積で群とする。
写像ｆ：A→Bが群の準同型写像であるとは、ｆ（aｂ）＝ｆ（a）ｆ（ｂ）を満たす事を言う。
従ってeをAの単位元、e´をBの単位元とするなら、ｆ（e）＝e´が成り立つ。
一般に演算を保つものを準同型写像と言いました。 ですから、環写像はもちろん準同型写像です。 ここで、体は積でアーベル群を成していましたから、 群Gと体ｋの間に矛盾なく群の準同型写像を定められるはずです。 この群から体に向かう群の準同型写像を体ｋにおける群Gの指標といいます。 定義を厳密に書くと次のようになるでしょう。

（定義）

G´＝｛σ｜σ：G→ｋで群の準同型写像｝として、 ∀α∈Gに対しσ（α）≠０を仮定する。このσを体ｋにおける群Gの指標という。

今は演算は積としていますから、σ（α）＝０では意味を成さない事に注意してください。
さて、次に書くのが有名な指標の独立性です。

（定理）…指標の独立性

σ_１……σ_ｎ∈G´を相異なる群指標とする。 （つまり写像として異なっている）このとき
α_１σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｘ）＝０　　 （∀α_i∈ｋ、∀ｘ∈G）ならば、α_１＝…＝α_ｎ＝０が正しい （但し１≦i≦n）

つまり指標によって移されたGの元は体ｋ上で１次独立になっているということです。 この証明はArtin先生のうまい方法に従いましょう。

（Artin先生の証明）

ｎに対する帰納法で示す。
ｎ＝１の時はα_１σ_１（ｘ）＝０で、 σ_１（ｘ）≠０であり、 体は全て整域なのでα_１＝０であるから成り立つ。
だからｎ＞１として、ｎ−１まで定理の主張が正しいとする。
今ｙをGから任意にとってｘとの積ｙｘを考えると群は演算が備わっているので 当然このｙｘもGの任意の元である。
そこで、ｘをｙｘに置き換える。すると、
α_１σ_１（ｙｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｙｘ）＝０ であって、今σ達は群の準同型なので、
α_１σ_１（ｙ）σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｙ）σ_ｎ（ｘ）＝０となる。この式を（１）とおく。
さて、ここで元の式、つまり
α_１σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｘ）＝０の両辺にσ_ｎ（ｙ）をかける。 すると、
α_１σ_ｎ（ｙ）σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｙ）σ_ｎ（ｘ）＝０ となり（なぜならσは準同型写像なので）この式を（２）とおく。
さて、ここで（１）−（２）を実行する。すると、ｎ番目の項が打ち消される。
α_１σ_１（ｘ）（σ_１（ｙ）−σ_ｎ（ｙ））＋…＋α_ｎ−１σ_ｎ−１（ｘ） （σ_ｎ−１（ｙ）−σ_ｎ（ｙ））＝０
従って帰納法の仮定により特にα_１（σ_１（ｙ）−σ_ｎ（ｙ））＝０としてよい。
今はｎ＞１なので、 σ_１（ｙ）とσ_ｎ（ｙ）は等しくないから、 α_１＝０である。
よって以下同じようにα_２＝α_３＝…＝α_ｎ−１＝０なので、α_ｎ＝０ となる。　　　　（証明終わり）

どうでしょうか？いつ考えてみても非の打ち所のない完璧な証明です。 この指標の独立性のコロラリーとして、次の補題を得ます。

（補題１）

体KとLに対してσ_１、σ_２、…、σ_ｎ：K→Lを相異なる環写像とすると、
α_１σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｘ）＝０ならば、 α_１＝α_２＝…＝α_ｎ＝０である。
（但し∀α_i∈K、∀ｘ∈Gで１≦ｉ≦ｎ）

この補題はＤｅｄｅｋｉｎｄ（デデキント）の補題と言われています。 （スペリングは自信ありません）証明はもう済んでいます。なぜなら環写像は群の準同型となるからです。
さて、僕自身も大分忘れかけていますから、復習をしながら進んでいきましょう。
方程式上の分解体をＥとし、その自己同型群ＡｕｔＥを考えます。 ＧをＡｕｔＥの部分群とし、Ｅ（Ｇ）はＧの元（写像）で動かないＥの元の集合で、 Ｇに対する不変体と言いました。 またこのＥ（Ｇ）はＥの部分体になっている事はすぐにわかります。 ですから、体の拡大Ｅ／Ｅ（Ｇ）を得ます。ではこの拡大次数はどうなっているでしょうか？ つまり、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］を求めたいのです。

（補題２）

Ｇ＝｛σ_１、σ_２、…σ_ｎ｝とおく。すると、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］≧ｎが正しい。

この補題がいっている事を整理してみますと、ＡｕｔＥの部分群Ｇが上のようにｎ個の元から成っていれば、 体の拡大Ｅ／Ｅ（Ｇ）の拡大次数は少なくともｎよりは大きい、 つまり、｜Ｇ｜より大きいと言っています。本当でしょうか？

（補題の証明）
背理法で示す。すなわち［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝ｒ＜ｎとして矛盾を導く。
［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝ｒで、これはＥ（Ｇ）上のベクトル空間Ｅの次元を表していて、 次元とは一次独立なベクトルの最大個数であった。 これらのベクトルをベクトル空間Ｅの基底という。 従って基底の個数とベクトル空間の次元は一致する。
さて、Ｅの基底は今ｒ個あるのでその基底を１組持ってくることができ （基底の取り方は一意的ではありません。よく知る2次元の平面で考えるとわかります）、 それらを｛ω_１、ω_２、…ω_ｒ｝とする。（基底はこのように集合の形で書く）
ここで次の連立方程式を考える。

σ１（ω１）ｘ１＋σ２（ω１）ｘ２＋…＋σｎ（ω１）ｘｎ＝０

　　　　　　　　……………

σ１（ωｒ）ｘ１＋σ２（ωｒ）ｘ２＋…＋σｎ（ωｒ）ｘｎ＝０

σ１（ａ１ω１）ｘ１＋…＋σｎ（ａ１ω１）ｘｎ＝０

　　　　　　　　………

σ１（ａｒωｒ)ｘ１＋…＋σｎ（ａｒωｒ）ｘｎ＝０

さて、ガロア理論の本質というのは分解体上の自己同型群の部分群と分解体以下の中間体との間に 一対一対応があるということでした。 実はこれはどんな体拡大に関してもいえるわけではありません。 今まで取り上げた例は全てある特殊な拡大になっていたのです。

（定義）…ガロア拡大

Ｋ／Ｆを体の拡大とする。 この拡大がガロアである（またはガロア拡大である）とは、Ｆ＝Ｋ（Ｇ）となるＡｕｔＫの部分群Ｇが取れることを言う。

今まで考えてきた事によるとＡｕｔＫの部分群としてＧａｌ（Ｋ／Ｆ）が取れていたわけです。 さらに上で示した補題２を芸術にまで昇華した定理として次を挙げる事ができます。

（ガロアの定理）

補題２と同じ仮定でＧが有限群ならば、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝｜Ｇ｜が成り立つ。

（証明）

補題２より、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］≧ｎ＝｜Ｇ｜は言えている。 示すべきは［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］≦ｎである。
これを示すにはα_１、α_２、…α_ｎ−１∈Ｅが常に一次従属である事を言えばいい。
Ｇ＝｛σ_１、σ_２、…σ_ｎ｝とする。 ここで補題２と同じ方針で非自明解をもつ連立方程式を作ることを考える。 そこでつぎの方程式を考えるとうまくいく。

σ１−（α１）ｘ１＋…＋σ１−（αｎ＋１）ｘｎ＋１＝０

　　　　　　………

σｎ−（α１）ｘ１＋…＋σｎ−（αｎ＋１）ｘｎ＋１＝０

　となる。

ここでｘ_１≠０より、σ_１（ｘ_１）≠０であって、 よってこれはα_１、α_２、…α_ｎ＋１が一次従属である事を示している。
従って［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝｜Ｇ｜を得る。 （証明終わり）

この等式、つまりＧが有限群ならば、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝｜Ｇ｜は有名なオイラーの公式と同等に美しい公式として知られ、 大学の学部のレベルで理解できる数学としては最も綺麗な公式とされています。
このガロアの定理のコロラリーとして、次を得ます。

（コロラリー）

Ｇａｌ（Ｅ／Ｅ（Ｇ））＝Ｇ

この等式も実に綺麗です。全く感動物ですね！

（補題）

Ｇ_１、Ｇ_２＜ＡｕｔＥを２つとも有限部分群とする。 このときＧ_１＝Ｇ_２⇔Ｅ（Ｇ_１）＝Ｅ（Ｇ_２）

（証明）

まず⇒は全く自明。問題は逆方向です。 Ｇ_１＝Ｇａｌ（Ｅ／Ｅ（Ｇ_１））＝Ｇａｌ（Ｅ／Ｅ（Ｇ_２））＝Ｇ_２ 従ってＧ_１＝Ｇ_２を得ます。これはすぐ上のコロラリーを使えば割りと簡単ですね。　　（証明終わり）

これによるとガロアの理論（すなわち分解体上自己同型群の部分群と中間体の間に一対一対応が存在）において、 ＡｕｔＥの部分群Ｇは拡大Ｅ／Ｆに対して唯１つ定まり、 Ｇ＝Ｇａｌ（Ｅ／Ｆ）であると言っています。

それでは、いよいよガロアの基本定理を料理しましょう。

（ガロアの基本定理の前半…Fundamental Galois Theorem Stage 1）

Ｋ／Ｆを有限次のガロア拡大とする。 このときＫ／Ｆの中間体の集合ＡとＧ＝Ｇａｌ（Ｋ／Ｆ）の部分群の集合Ｂの間には 次のような一対一対応がつく。

ｍ：Ａ→Ｂ
ｎ：Ｂ→Ａ

でｎ（ｍ（Ａ））＝Ａ（つまり写像ｎとｍの合成がＡ上の恒等写像）かつ、 ｍ（ｎ（Ｂ））＝Ｂ（つまり写像ｍとｎの合成がＢ上の恒等写像）
ガロアの基本定理というのはこの前半と後半を合わせた物ですが、 後半の証明は次回に回して（申し訳ありませんがベクトル空間の基本概念も次回に回します）、 今回はこの前半の証明をやって終わりましょう。

（前半の証明）
ｍ（ｎ（B））＝Bはつまり、∀G∈Bに対してｍｎ（G）＝GということなのでＧａｌ（Ｋ／Ｋ（Ｇ））＝Ｇであって、 ガロアの定理とそのコロラリーから成立している。（うまい対応がすでについていましたね）
ｎ（ｍ（Ａ））＝Ａが問題である。
これは∀Ｅ∈Ａに対してｎｍ（Ｅ）＝Ｅということなので、Ｋ（Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ））＝Ｅを示せばいい （なぜならば、不変体というのは分解体の中間体でしたから）。
ここでＫ（Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ））⊇Ｅは明らかである （不変体とガロア群の定義からこれは明らかとしていいと思うのです。 でも腑に落ちない方はきちんと納得がいくまで考えてください）。
従ってＫ（Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ））⊆Ｅを示せばいい。
便宜上、Ｈ＝Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ）とおき、またＥ^´＝Ｋ（Ｈ）とおく。
ガロアの定理とそのコロラリーからＫ／Ｋ（Ｈ）は有限次ガロア拡大であって、 従って［Ｋ：Ｋ（Ｈ）］＝｜Ｈ｜が成り立つ。
ここで体の拡大次数の関係式［Ｋ：Ｆ］＝［Ｋ：Ｅ´］［Ｅ´：Ｆ］
（これはNO.771　ガロア理論の心（２）で書いたと思うのですが、その証明はまだやっていませんでした。 次回にやりたいと思います）と、 群の指数と位数の関係式
｜Ｇ｜＝｜Ｈ｜［Ｇ：Ｈ］ （これは代数方程式シリーズでやりました。 ここで紛らわしくて恐縮ですが［Ｇ：Ｈ］は体の拡大次数ではなく、 群ＧのＨに関する指数です） はガロアの理論によると対応しているから （ここが本質的です。すなわち体の拡大次数と群の指数は対応しているのです）、次を得る。
［Ｅ´：Ｆ］＝［Ｋ：Ｆ］／［Ｋ：Ｅ´］＝｜Ｇ｜／｜Ｈ｜＝［Ｇ：Ｈ］
従って［Ｅ´：Ｆ］＝［Ｇ：Ｈ］＝ｒとおいてＧを同値類に分解する。 （この話は全て代数方程式シリーズに書いてあります。忘れた方はもう一度見直してみてください）
Ｇ＝ａ_１Ｈ∪ａ_２Ｈ∪…∪ａ_ｒＨ
ここでａ_iは全てＧの元であって、よって写像である事に注意する。 （１≦i≦ｒ）このａ_i達をＥ上へ制限する。 但し、写像の制限とは、写像ｆ：Ａ→Ｂがあって、ＣをＡの部分集合とすれば、 ｆ｜_Ｃ；Ｃ→Ｂとして、写像ｆをＣへ制限するという。 すなわちＡの部分集合Ｃの元をｆでＢへ移す事をいう。
さて、ａ_１｜_Ｅ、ａ_２｜_Ｅ、…ａ_ｒ｜_Ｅ　：Ｅ→Ｋ相異なる。
なぜならば、ａ_i（α）＝ａ_ｊ（α）が∀Ｅについて成り立つなら、 ａ_ｊ⁻ａ_iはＥの元を固定するＫ上自己同型なので、 ａ_ｊ⁻ａ_i∈Ｈとなって これはＧ上の同値関係Ｒ_１１となっている （代数方程式シリーズ参照）ので、 ａ_ｊとａ_iは同じ同値類に属している（分割の補題より）から、 ｉ＝ｊとなる。従ってガロアの定理から ［Ｅ：Ｆ］≧ｒ＝［Ｅ´：Ｆ］であるからＥ＝Ｅ´がわかる。　　　　（証明終わり）

正直にいうと、今回の内容はかなり高度です。 さすがにガロアの理論と言われるだけあるでしょう。 もちろん一回読んだだけでは意味がさっぱりわからないと思っております。 何回も自分がわかるまで読んでみるといいでしょう。 ですから何も僕のやり方でなくともいいわけです。
ベクトル空間の内容はともかくとして、それ以外は全て今まででやってきた事ですから、 わからなくとも悲観する事をせずに、 特に代数方程式シリーズを読み直してみるといいでしょう。 次回にこのガロアの基本定理の後半を示して、ベクトル空間の基本性質を簡単に紹介して可解群に入りたいと思っております。