コロキウム室(リングセオリー・その２)

まずは復習です。
和と積で整数を一般化した代数を可換環といいました。 これにより、体のところで出てきた準同型写像が矛盾なく定義され、 それを特に環写像と言ったのでした。
また、その環写像が全単射のとき、これを環同型といいました。
さらに環の部分環とは単位元を共有し、母体の環の和と積について独立した環を成す のもでした。 ちなみに母体の環が可換環であればその部分環も可換環です。
最近気が付いたことですが、「環というと可換環である」という固い信念を持った人 を見かけます。 しかし環の定義というのはそうではなくて、必ずしも積に対する可換 性を仮定しませんでした。ですから、以前は環と書いたら可換環とするといいました が、やはり厳密に区別する事とします。でも、以下に出てくる環は大体可換環ですか ら、安心してください。

さて、同値関係に関する次の重要な補題を証明しておきましょう。

（分割の補題）
集合Ａ（≠φ）とＡ上の同値関係Ｒについて、次の３つは同値である。

1. Ｃ（a）＝C（b）
2. C（a）∩C（ｂ）≠φ
3. aRｂ

（補題の証明）
３つの事柄が互いに同値であることを言うのは（１）⇒（２）、（２）⇒（３）、 （３）⇒（１）の流れで示せばいいのです。
まずは（１）⇒（２）です。
C（a）＝C（ｂ）ですからC（a）∩C（ｂ）＝C（a）です。 （もちろんC（ｂ）としても構いません）
従いましてRは同値関係ですからaRaです。
よってa∈C（a）なのでC（a）∩C（ｂ）≠φ。
次に（２）⇒（３）です。
C（a）∩C（ｂ）が空集合ではないので何か元が取れます。 それをχとしましょう。
χ∈C（a）かつχ∈C（ｂ）なので、χRaかつχRｂです。 ですからRが同値関係である事を観ればaRｂです。
最後に（３）⇒（１）です。
∀χ∈C(a）を取るとχRaです。仮定からaRｂですのでχRｂです。（Rは同値関係だから）
よってχ∈C（ｂ）でC（a）⊆C（ｂ）です。
今度はC（ｂ）から任意にｙを取ってきます。 するとｙRｂで仮定のaRｂからｂRaなのでｙRa。
よってC（ｂ）⊆C（a）となりますのでC（a）＝C（ｂ）　　　　　　　　　　　（証明終わり）

単純な事実ですがこれは今後の基本的な手法となりますのでキチンと理解してください。

さて、可換環Aが与えられていてそのイデアルΩを考えます。
ΩはAの和で正規部分群でした。前回示したようにR1=R2です。 これからその商集合を考えるとA／R1＝A／R2でこれをA／Ωと書こうということでした。 これをファクターリングと言うのですが、 我々はまだこれが環の構造を持つ事を具体的に記述していませんから、 今のところは単なる商集合です。 何とかしてこれに環構造をもたせたいのですが、手がかりはA／ΩはA／R2と等しいと言う事です。 （もちろんA／Ω＝A／R1とみても構いません）
A／R２の定義はR2による同値類の集合でした。 つまり集合の集合で、数学ではこの「集合の集合」のことを集合族と呼んでいます。 ですからA／R2は集合族なのですが、集合の間に和と積など定義できるのでしょうか？ 集合の積とは一体なんでしょう？ この疑問に答えるためにまずはA／R2の元（これは集合）を具体的に書き出してみる必要があります。
定義から A／Ω＝A／R2＝｛C2（a）｜a∈A｝です。
ところでC2（a）＝｛χ∈A｜a−χ∈Ω｝でした。 このようなχについては a−χ∈ΩですのでΩの元αを用いてa−χ＝αと書けます。 よってχ＝a−α＝a＋（−α）で改めて−αをαとかくと （Ωはイデアルでαはイデアルの元ですから−α∈Ωでこれをαと書くという意味です） χ＝a＋αとなります。 ここでa＋Ω：＝｛a＋α｜α∈Ω｝としますと、χはこのa＋Ωに属しています。 ただし、ここで使った記号「：＝」は左辺を右辺で定義すると言う意味です。 今後良く使いますから覚えておいてください。
わかったことはC2（a）⊆a＋Ωです。
逆の包含関係もいえます。これは皆さんに任せます。確かめてみてください。
つまりA／Ωの元はR2による同値類なのですがこれはa＋Ωという格好をしている事が 明らかになって大分見やすくなりました。 C2（a）のままでは抽象的で良くわからなかったかもしれませんが、 実はそれがa＋Ωとなるように同値関係R2を決めたのです。
代数方程式シリーズで群のレベルでR2に関する同値類がHaとなるのを観ました。 （Hは群Gの部分群）これは演算が積ですがこれを和にすりかえて見ますとH＋aです。 可換環は和でアーベル群ですからH＋a＝a＋Hが成り立ちます。 まさにこれはa＋Ωですね。ですから今まで述べてきた事は本質的に新しい事ではなくて もう我々の知識を有機的に駆使すれば確かめる事ができます。

（明らかになった事）
上で考察したように可換環AのイデアルΩによる商集合の各元というのは同値類です が、それはa＋Ω（∀a∈A)と言う格好をしている事がわかりました。次第にA／Ωの 構造が明らかになってきましたね。
次にやるべき事はこのA／Ωに和と積を定めてやる事です。
ここで注意してほしい事は演算と言うのは環の定義（NO.717 リングセオリー（１）を参照）でも 述べたように直積からそれ自身への写像でした。ですから集合の和と積なんて途方も ないことできっこないなんて絶望する事は全くなくてキチンと定める事ができます。 どのように定めるかと言いますと、次のように定めてはどうでしょうか？

∀a＋Ω、ｂ＋Ω∈A／Ωに対して、
（和）　　（a＋Ω）＋（ｂ＋Ω）：＝（a＋ｂ）＋Ω
（積）　　（a＋Ω）（ｂ＋Ω）：＝（aｂ）＋Ω

このように定めてみますと、これが写像として矛盾なく定義されている事がわかります。 ところで「矛盾なく定義されている」と言う言葉は英語ではwell-defined といいます。 どこかで聞いた言葉ですね。そう、写像の３番目の条件でした。そこで問題です。

（問題１）
上で定めた和と積が写像としてwell-definedである事を確かめてください。
（ヒント：well-definedである事をいうので　 a＋Ω＝a’＋Ω、b＋Ω＝ｂ’＋Ωを仮定して
（a＋ｂ）＋Ω＝（a’＋ｂ’）＋Ω
（aｂ）＋Ω＝（a’ｂ’）＋Ω
を示せば言い訳です。その際a＋Ωやｂ＋Ωなどが同値類であることを考えてみてください）

（問題２）
上で定めた和と積でA／Ωが可換環となることを示してください。ところでA／Ωの単 位元とゼロ元は何ですか？

問題１ができれば問題２は機械的に可換環の定義をチェックするだけです。 もちろん分割の補題を使って構いません。
（ただし分割の補題を必ず自分で１回ぐらいは確か めてください。確かめると言う事は紙と鉛筆で自分の手を動かすと言う事ですよ）
この問題は僕も考えてみます。皆さんも考えてみてください。前にも書きましたが解 けても、解けなくても、また間違えても一向に構いません。自分の考えを表現してく ださい。

次回は一応この問題は認めて先へ進みます。 従ってA／Ωのことを商集合とはいわずファクターリングと言っていいでしょう。 この問題についての僕の考えはその次ぐらいに書きたいと思います。

（環写像のイデアルに対する作用）
ここではイデアルが環写像によってどのように移るのかを考察しましょう。
ｆ：R → Sを環写像とします。またΩをRのイデアルとしましょう。
ｆ（Ω）：＝｛ｆ（a）∈S｜a∈Ω｝とし、これをΩの像と言う事にしますと、 このｆ（Ω）はもはやSのイデアルにはなっていない事がわかります。
なぜならば写像ｆによって可換環Sのスカラーがうまく制御できないのです。 ｆ（Ω）がSのイデアルならば∀α∈Sについて
αa∈ｆ（Ω）（a∈ｆ（Ω））ですが、Rの元が全てSへ移っているとは限らないので これは一般に言えません。
でも簡単な条件を付け加えれば幸いにしてｆ（Ω）をSのイデアルにすることができます。 その条件とは他でもなく環写像が全射になることなのです。 ｆが全射ならばその定義よりIm（ｆ）＝Sですのでスカラーがうまく制御できます。
実際に確かめてみると ∀α∈Sについてｆが全射なのでRの元ｂに対してｆ（ｂ）＝αです。 だから∀a∈ｆ（Ω）をとってくると定義からｃ∈Ωでa＝ｆ（ｃ）と書けて、
αa＝ｆ（ｂ）ｆ（ｃ）＝ｆ（ｂｃ）∈ｆ（Ω）です。（ΩはRのイデアルなのでｂｃ ∈Ωだから）
和の方は普通にできます。それからΩ≠φよりｆ（Ω）≠φです。
以上によって環写像ｆが全射ならばイデアルはイデアルに移る事がわかりました。

（原像について）
ｆ：R → Sが環写像であるならば、Ｉｍ（ｆ）はSの部分環になり、これをイメージ エフと言ったのでした。これに双対する概念として原像の概念があります。 Sの部分集合Kについて、このKの原像を次で定義します。
ｆ‐（K）：＝｛a∈R｜ｆ（a）∈K｝
つまり移してKに入るRの元の集合で、これは明らかにRの部分集合です。 ここで書いたｆ‐は逆写像とは意味が違います。注意してください。
さて、やりたい事はSのイデアルΩの原像がRのイデアルになっている事です。 定義からｆ‐（Ω）＝｛a∈R｜ｆ（a）∈Ω｝です。
まずこれが空でないことを確かめます。０∈Rで環写像の性質からｆ（０）＝０でΩ はイデアルですからイデアルの基本性質より０∈Ω。 よって０∈ｆ‐（Ω）ですから、ｆ‐（Ω）は空ではありません。
また∀ａ、ｂ∈ｆ‐（Ω）を取ってくると定義からｆ（ａ）、ｆ（ｂ）∈ΩでΩはイ デアルよりｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）＝ｆ（ａ＋ｂ）∈Ωです。（環写像の定義はバンバン 使って構いません）従ってａ＋ｂ∈ｆ‐（Ω）です。
一方、∀α∈Ｒ、∀ａ∈ｆ‐（Ω）に対してｆ（αａ）＝ｆ（α）ｆ（ａ） であって、αが任意なのでｆ（α）もＳの任意の元、またｆ（ａ）∈Ωであり、Ωは Ｓのイデアルですから、ｆ（α）ｆ（ａ）∈Ω。よってαａ∈ｆ‐（Ω）。
∴ｆ‐（Ω）はＲのイデアルになっている事がわかりました。この事については環写 像ｆが全射である必要はありません。単に環写像であればいいのです。そうすればイ デアルの原像はイデアルになります。

（まとめてみると）

1. ｆ：Ｒ → Ｓが環写像でかつ全射ならばＲのイデアルの像はＳのイデアルとなっている。
2. ｆ：Ｒ → Ｓが環写像であればＳのイデアルの原像はＲのイデアルとなっている。

（問題１）
可換環ＲのいくつかのイデアルＡ，Ｂ，・・・・Ｃについて、その共通部分Ａ∩Ｂ∩ ・・・・∩ＣはＲのイデアルであることを確かめてください。

これは定義に従ってやっていけば、比較的簡単にできると思います。

（問題２）
可換環Ｒのいくつかの元ａ₁、ａ₂、・・・・・ａ_nについて
（ａ₁、ａ₂、・・・・・ａ_n）：＝ ｛a₁α₁＋a₂α₂＋・・・・＋a_nα_n｜α_k∈R、１≦ｋ≦n｝ はRのイデアルであることを確かめてください。
この問題もイデアルの定義をチェックするだけですが、なかなか豊富な理論体系が含 まれています。
この（ａ₁、ａ₂、・・・・・ａ_n）を ａ₁、ａ₂、・・・・・ａ_nで生成されるイデアルといいます。 そしてａ₁、ａ₂、・・・・・ａ_naを生成元というのです。 特に１つの元で生成されるイデアルを単項イデアルといいます。つまり単項イデアルとは
（a）：＝｛aα｜α∈R、a∈R｝です。
すぐわかりますが生成元はそれらが生成するイデアルに含まれています。 また有限個の生成元で生成されているイデアルを有限生成イデアルといいます。 イデアルが有限生成である環と言うのは比較的扱いが簡単で現在でも活発に研究されています。

（定義）
全てのイデアルが単項イデアルである可換環を単項イデアル環という。

任意のイデアルが単項ならばその環は驚くほど整った環です。 後で「単項イデアル整域」という可換環を考えますが、この定義はそれの一歩前です。 じつは整数環は単項イデアル環です。 これについての詳しい記述は次回、環の元の種類を定義しつつ考えてみましょう。

（Zornの補題と整列定理）
少し予定を変更してZorn補題について考えてみましょう。 これは補題という名がついていますが、もう公理として追加すべき物です。 代数方程式シリーズで選択公理について考えてみました。 じつはあれと、このZornの補題というのは同値なのです。 しかしこのZornの補題というのは選択公理よりも多少くどい言い回しをしなければなりま せんから、単純な選択公理と同値であることに不思議さを感じるかもしれません。 でも、本質を捉えていれば簡単な事です。まずはいくつかの言葉を定義します。

（定義１）
Aを空でない集合とする。「≦」がA上の順序であるとは、以下の３つを満たす事を言う。

1. ∀a∈Aに対してa≦a
2. ∀a、ｂ∈Aに対してa≦ｂかつｂ≦aならばa＝ｂ
3. ∀a、ｂ、ｃ∈Aに対してa≦ｂ、ｂ≦ｃならばa≦ｃ

（定義２）
集合Aが順序集合であるとは上の順序が少なくとも１つ定められている集合をいう。

（定義３）
集合Aが全順序集合であるとは∀a、ｂ∈Aについてa≦ｂまたはｂ≦aが成り立つ順序 集合を言う。

（定義４）
順序集合Aの部分集合BについてBの任意の元ｂについてあるAの元aが存在し、ｂ≦aと なっているときBは上に有界であるという。
また、Bの元ｙに対し、このｙを真に上から押さえ込むBの元が存在しないとき、この ｙをBの極大元という。

（定義５）
順序集合Aの部分集合CがchainであるとはCが全順序集合である事をいう。

（Zornの補題）
順序集合A内のあらゆるchainが上に有界であるならば、Aは少なくとも１つの極大元を持つ。

（整列定理）
Sを空でない集合とする。このときSにうまく順序を定めればSを整列集合にすること ができる。但し、整列集合とは全順序集合でかつ最小元をもつものである。

（群の作用について）

今後のリングセオリーの準備として、群の作用について考えましょう。 まず、Gと書いたら群とします。（可換性は今は仮定しません）

（定義）
集合X≠φに群Gが作用するとは次の２つを満たす写像ｍ：G×X→Xが与えられていることを言う。

1. ｍ（a、ｍ（ｂ、ｘ））＝ｍ（aｂ、ｘ）
2. ｍ（e、ｘ）＝ｘ

この事をGのXに対する左作用といいます。 右作用もあるのですが、多くの場合、左作用を右作用に変換する事は容易ですから 今は左作用の事を単に作用といいます。もし集合XがGと等しければ、 作用というのは単にG上の演算です。 （演算とはそのようなものでした。 NO.717 リングセオリー（１） の環の定義を見てください）この事から演算の書き方を真似してみれば、（１）はa（ｂｘ）＝（aｂ）ｘを表していて、（２）はeｘ＝ｘを表しています。 またもちろん、aｂはG内での積です。 一般論ではよくわからないと思うので、例を紹介します。

（例１）
∀a∈G、∀ｘ∈Xに対してaｘ＝ｘと定めると群Gは集合Xへ作用します。 これはあたりまえですね。でも確かめてみましょう。
a（ｂｘ）＝a（ｘ）＝aｘ＝ｘ
（aｂ）ｘ＝ｘ
よって、a（ｂｘ）＝（aｂ）ｘなので定義の（１）はOK。
定義の（２）ももちろんOK。
この作用を自明な作用（Trivial-Action)といいます。この作用はXの元を不変にする作用ですね。
以下、GはXへ作用している、つまりこのような写像が少なくとも１つは与えられているとしましょう。

（例２）
a∈Gとし、写像La：X→XをLa（ｘ）＝axで定めます。
するとLaは全単射です。（Laというのはaを左から掛けるということです。LはLeftの頭文字です）
まず、aｘ＝aｙとしますと、両辺左からa^‐をかけることでｘ＝ｙだから、Laは単射です。
かつ、La（a^‐ｘ）＝a（a^‐ｘ）＝（aa^‐）ｘ＝eｘ＝ｘなのでLaは全射です。
従ってこのLaは全単射です。
NO.706 代数方程式の代数的解法（４） で対称群S（X)について考えてみました。 LaはXからX、つまり自分自身への全単射なのでLa∈S（X)がわかりました。

さて、この作用を用いて集合X上に同値関係を定める事ができます。
〜：＝｛（ｘ、ｙ）｜ｘ＝aｙとなるGの元aが存在する｝
このようにX上に関係を定めますとこれはX上の同値関係となるのです。
実際にやってみますと、まず、e∈Gでｘ＝eｘよりｘ〜ｘ。
また、x〜ｙならば、定義からあるGの元aが取れてｘ＝aｙ。
よって両辺左からa^‐を掛けてa^‐ｘ＝ｙ。
もちろんGは群だからa^‐∈Gであり、よってｙ〜ｘ。
最後に、ｘ〜ｙ、ｙ〜ｚとすると、ｘ＝aｙ、ｙ＝ｂｚと書ける。
（但しa、ｂ∈G）すると、ｘ＝a（ｂｚ）＝（aｂ）ｚ。よってｘ〜ｚ。

（定義）
この〜に関するｘ∈Xを含む同値類C（ｘ）は明らかに ｛aｘ｜a∈G｝で、これをｘのG-軌道（G-orbit of x）という。
また、ｘ∈Xについて、
N（ｘ）：＝｛a∈G｜ｘ＝aｘ、ｘ∈X｝をｘにおける等方群（isotropy group of x）という。

このN（ｘ）はGの部分群になっている事がわかります。
まず、eｘ＝ｘですからe∈N(ｘ）。よってN(x)≠φ。
また、∀a、ｂ∈N(x)を取ってくるとXの元を不変にするので、 ｘ＝aｘ、ｙ＝ｂｙ（ｘ、ｙ∈X）であって、ｙ＝ｂｙに注目すると、 両辺左からｂ^‐を掛けてｂ^‐ｙ＝ｙ。
ですから、ｂ^‐もXの元ｙを不変にしている事がわかり従って、 ｂ^‐∈N(x)である事がわかります。示したい事はaｂ^‐∈N(x)です。 （なぜなら、これが部分群の定義でしたから）
つまり、aｂ^‐をXの元に作用させたときXの元を不変にすることを言えばいいわけです。
ｘ∈N(x)にたいして、（aｂ^‐）ｘ＝a（ｂ^‐ｘ）＝aｘ＝ｘ。
よって、aｂ^‐もXの元を不変にしていることがわかり、aｂ^‐∈N(x)です。 よってN(x)はGの部分群です。
また、G-軌道についてですが、これは軌道というイメージがなかなか湧かないかもしれません。 G-軌道は同値類なので集合を分割します。 やはりこれが基本の考え方であると思います。次の例を考えてみましょう。 ただし、線形代数の基礎知識を仮定させていただきますので、 もしわからなければ、飛ばしてください。

（例３）
GL（ｎ、R）をｎ次で成分を実数とする正則行列の集合とします。 正則行列とはいわゆる逆行列を持つ行列です。
これは行列の掛け算で群を成します。 このGL（ｎ、R)はｎ次元の数ベクトル空間Rⁿにｍ（A、ｘ）＝Axで作用します。
（A∈GL(ｎ、R)、ｘ∈Rⁿ）この作用の軌道はＲⁿ−｛０｝と｛０｝の２つです。

（証明）
まず、GL(ｎ、R)が群をなすことは簡単ですので、皆さんに任せましょう。 （これは高校生諸君でもできると思いますので、トライしてみてください）
また、A０＝０ですから、０を含む軌道は｛０｝です。
またｘを０でないベクトルとしますと、ｘ＝ｘ₁として、 Rⁿの基底（これは座標を一般化した概念です） ｘ₁、ｘ₂、・・・・ｘ_nを作ることができますが、 これらを列ベクトルとして並べた行列はGL(ｎ、R）の元ですので、それを改めてAと書きます。
つまりA＝（ｘ₁、ｘ₂、・・・・ｘ_n）です。
さて、基本ベクトルα₁を第一成分が１であとは皆０のｎ次のベクトルとします。 （２次元の場合の基本ベクトルは（１、０）と（０、１）でこれは数学Bの教科書に 載っているかもしれません）
これは行列Aの第1列の成分をいっせいに取り出すベクトルで あることが計算からわかります。すなわち、Aα₁＝ｘ₁＝ｘです。
よって軌道の定義からα₁の軌道は０でないベクトルｘを全て含んでいますのでRⁿ−｛０｝です。　
（証明終わり）

この例でも分割の補題が正しい事がわかりますね。 もちろんRⁿー｛０｝と｛０｝の和集合はＲnそのものですからこの例の作用による同値関係は Ｒⁿを２つのＧ−軌道（すなわち同値類）に分割している事がわかりました。 このように軌道に分割することを軌道分解といいます。

（線形代数について）
いくつかの連立方程式というのはベクトルと行列を用いて表現する事ができます。例えば

３a＋８ｂ＝２３
９a＋２ｂ＝３３

（環の言葉）

可換環の定義を良く見てみますと、体の定義に似ている事がわかります。 NO.699 代数方程式の代数的解法（１） で体の定義を天下り的に書いておきましたが、 我々は環の概念を学んだので、環、特に可換環の定義を用いて、 もっと体に定義を簡単にする事ができそうです。 しかし今は我々は実数や有理数、複素数の全体くらいしか体の例を知りませんから、 慎重に事を進めなければなりません。 どういうことかといいますと、環とは写像として和と積が定まった空でない集合で、 いくつかの公理を満たすものでした。 可換環の定義に体の９番目の条件、つまり、 「０でない任意の元aはaｘ＝１を満たし、このｘも可換環の元でｘ＝a^‐とかく」 を付け加えたものを体の一般的な定義とします。 うっかりすると、どこがどう変化したのかわからないかもしれません。 最大の変化は２つの演算である和と積を写像を用いて一般化したところです。 今から可換環の言葉を用いて体を定義していきます。以下Rを可換環とします。

（定義１）

a∈RがNZD（Non-Zero-Divisor)であるとは、
Rの元ｘに対し、もしaｘ＝０となっていたら、ｘ＝０となるものをいう。
従ってa∈RがZD（Zero-Divisor)であるとはRの０でない元ｘに対しaｘ＝０となるものをいう。

（定義２）

a∈RがRのuniｔであるとは、
a≠０であって、aｘ＝１なるｘがR内に存在する事を言う。このｘをa^‐と書く。

少し横文字が出てきましたが、別に何でもありません。 Zeroは０ですし、Nonは否定を表す接頭語です。Divisorは割るものという意味です。 ですからNZDとは０を割っていないということです。 ZDとは０を割っているということです。
整数環を思い出してください。 ０にはどんな元をかけても０ですね。つまり、整数環Zでは０はZDとなっています。
一般の可換環でも０は定義からZDです。よってどんな環も０を持つ以上、 少なくとも１つはZDを持ちます。
また、unit（ユニットと読みます）はNZDである事がわかります。やっておきましょう。
a∈RをRのunitとして、これがZDであると仮定しましょう。
すると０≠ｘ∈Rがあって、aｘ＝０ですがaはunitだから、a^‐を両辺の左から掛けて 、ｘ＝０を得ますが、これはｘ≠０に矛盾します。よってunitはNZDです。

（補題）
a∈RをNZDとする。
このとき、aｘ＝aｙならばｘ＝ｙである。但しｘ、ｙ∈R

つまりaがNZDならば、あたかも数のようにaをキャンセルしてよいということです。
確かめてみますと、
aｘ＝aｙなのでa（ｘ−ｙ）＝０でaはNZDよりｘ−ｙ＝０。従ってｘ＝ｙ
さて整数環では０でない全ての元がNZDである事がわかると思います。これを一般化します。

(定義３）
ZDが０だけの可換環を整域（integral domain)という。
すなわち、Rが整域ならば、
aｂ＝０ならば、a＝０またはｂ＝０が成り立つ。（a、ｂ∈R)

従って、すでに考察したように整数環Zは整域です。またRのunitの集合をU（R)で表します。 つまり、
U(R)：＝｛a∈R｜aはRのunit｝ です。

（命題）
U(R)はRの積でアーベル群をなす。

これはいい演習になると思うので、丁寧に解いてみてください。

さて、体を定義し直しましょう。

（体の定義）
集合Fが体であるとは、Fは可換環であって、U(F)＝F−｛０｝が成り立つものをいう。

つまり、０でない全ての元がunitとなっている可換環を体というのです。 これはNO.699 代数方程式の代数的解法（１） で書いた体を一般化したものです。 もう忘れかかっていますが、たしかあの時は数の和と積で議論していたと思います。 でも今はそれよりも明らかに広い領域にいるわけですね。だって、和と積が写像ですものねえ。
注意してほしい事は、これは体の抽象的定義ではありません。 代数学ではこれが体の一般的な定義です。 体を議論していくとGalois　Theoryにたどり着く事があります。 代数方程式シリーズでも少し紹介しましたが、 分解体（拡大しきった体）の自己同型群の部分群と中間体の間に全単射な写像が存在するという 途方もなく綺麗な理論です。 その理論の中では「５次以上の代数方程式には根の公式が存在しない」という アーベルの定理も１つのコロラリーに集約され、 それは方程式の分解体の自己同型群を構造解析することで証明されます。

（再びガロアのこと）
ガロアについてはいろいろな本が出ているので、読んでみればいいと思います。
群を打ち立てたのはこのガロアですが、彼が考えたのは方程式の根の置換の集合でした。 代数方程式シリーズで集合X上の対称群S(X)について考えました。 特に例として３次の対称群をやったわけですが、 例えばある３次方程式の相異なる３つの根をα、β、γとします。 根の置換の集合というのはこの３つの根にそれぞれ１、２、３と番号をふって、 これを置き換えていく事です。つまり３次対称群そのものです。 実はｎ次の代数方程式の根の置換の集合をその方程式のガロア群といい、S(n)と同型です。 ｎ≦４ならばS(n)か可解群でｎ≧５ならばS(n)は可解群でないことがわかるのですが、 この話はまた後でやりましょう。
ガロアは１８１１年に生まれて、１８３０年頃に没しました。 わずか2０年足らずの人生でしたが、彼は写像を用いて見かけは異なる集合を 数学的に同一視するという同型の考え方を人類史上初めて行った人で、 これが現代代数学の曙です。つまり、かれは群論を創っただけでなく、 代数学の基本概念を創ったのです。 今は２０００年ですから、彼が没して２００年近くになりますが、 今でも（当時と比べて格段に進歩したとはいえ）ガロアの同型の考えは数学の根幹を成しています。
ここで、次の有名な命題を証明しておきましょう。

（命題）
有限整域は体である。

（証明）
有限整域というのは元の個数が有限個の整域のことです。 さて、有限整域をRとしましょう。条件から｜R｜＜∞です。
ここで写像ｆ：R→Rを、ｆ（ｘ）＝aｘで定めます。 ただし、a≠０とします。すると、Rは整域なので、aはNZDである事がわかります。
従ってキャンセルの補題からこの写像ｆは単射である事がわかります。
かつ全射である事はRが有限集合である事からわかります。 （ｆはRからRへの写像でRは有限集合ですから単射ならば全射でもあります）
従ってこのｆは全単射ですから、aｘ＝１と対応をつけられ、Rは体である事がわかります。　　　（証明終わり）

（定義４）
全てのイデアルが単項イデアルである整域を単項イデアル整域 （Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　Ideal　Ｄｏｍａｉｎ）という。

単項イデアル整域のことをＰＩＤという事にしましょう。（英訳の頭文字３つです）
０∈Ｒで｛０｝を作りますと、これはＲのイデアルですが、（０）に等しい事もわかります。 復習ですが、ａ∈Ｒについてａが生成するイデアルを（ａ）とかいたのでした。
ちなみに（ａ）＝｛ａｘ｜ｘ∈Ｒ｝です。
ところで整数環Ｚを考えますと、Ｚ＝（１）であることがわかります。
つまりＺは１で生成されるイデアルに等しいのです。なぜなら１∈（１）だからです。

（補題）
整数環ＺはＰＩＤである。
これを証明する前に、整数についての基本性質をおさらいしておきましょう。
任意の整数は０でない整数で割り算をすると、一般に余りが出ます。 （割り切れる事ももちろんありますが、その場合でも余りは０であるとします） 式で書けば次のように書けるでしょう。
∀a∈Z、０≠ｂ∈Zに対して a＝ｂｑ＋ｒ と書けて、０≦ｒ＜ｂと制限すればこのｒとｑは一意的に決まり、 ｑをaをｂで割ったときの商、ｒをその余りといいました。
ポイントはｒの範囲です。この制限がなければ商が一通りに決まりません。 例えば１７という整数を３で割った場合、１７＝３・５＋２となり、 余りｒの範囲が効いている以上、これ以外に１７を表現する手はありません。 恐らく以上の話は数学Aか数学�Tの教科書に出ているかもしれません。 この整数の基本性質を用いて補題を証明しましょう。

（補題の証明）
まず、ΩをZの任意のイデアルとしましょう。 Ω＝｛０｝の時はこれは（０）に等しいのですから問題なく単項イデアルです。
Ω≠｛０｝としますと、Ωの中には０でない整数ｂがあります。 このｂが負の整数である場合もありえますが、 Ωはイデアルですからｂ＜０の場合は−１をｂにかけることで−ｂ∈Ωですから、 Ωの中には正の整数が存在している事がわかります。
そこでΩに含まれる正の整数の中で最小のものを改めてｂと書きます。 するとΩ＝（ｂ）となっている事がわかるのです。 なぜならば、ｂ∈Ωなので（ｂ）⊆Ωは自明です。
一方∀a∈Ωを取ってきてｂ≠０ですからｂで割り算を実行します。 すると上に述べた整数の性質からa＝ｂｑ＋ｒ（但し０≦ｒ＜ｂ）です。
今ｒ≠０とすると（もしｒ＝０ならば証明は終わります）a−ｂｑ＝ｒで a、ｂ∈Ωですからイデアルの基本性質よりa−ｂｑ∈Ω、つまりｒ∈Ωとなりますが、 ｒ＜ｂですからｂの最小性に反します。 （Ωに含まれる最小の整数をｂとしているのでそれより小さいｒが含まれるのは矛盾です）
よってｒ＝０となり、a＝ｂｑ∈（ｂ）。従ってΩ⊆（ｂ）
∴Ω＝（ｂ）　　　　　　　　　　（証明終わり）

この補題の証明は理論の良い練習になると思うので自分でも手を動かしてみてください。
次回は埋め込みの原理といわれる手法について紹介して、 多項式環（Ｔｈｅ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）に入りましょう。

（多項式環の原理）
Rを毎度のごとく可換環とします。 SがR上X（大文字です）を不定元とする1変数の多項式環であるとは、 RはSの部分環であってX∈Sであり、かつ∀ｈ∈Sを取ると、 ｈは、
ｈ＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋ａ₂Ｘ²＋ａ₃Ｘ³＋ ・・・・・＋ａ_nＸⁿという形に 一通りに書ける事をいいます。
但しａ_k∈R（０≦ｋ≦ｎ）で、ｎは正の整数としかつ有限であるとします。
つまり、Rの元を係数とする多項式ですが、Xのことを変数と読んでいないことに注意してください。 ここでは不定元という事にします。 しかし慣れてきたら変数といいましょう。 またSをR上の多項式環と見た場合、Rの元のことを定数といいます。 ここでSの和と積を観ておきましょう。
∀ｆ、ｇ∈Sに対して、
ｆ＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋・・・・＋ａ_nＸⁿ， ｇ＝ｂ₀＋ｂ₁Ｘ＋・・・・＋ｂ_kＸ^kとします。
このｆとｇに対して和は係数ごとに足せばいいのです。
問題は積でこれが多少ごちゃごちゃしています。
（積）　ｆ・ｇ：＝ΣＣ_wＸ^w　 （但しＣ_w＝Σａ_iｂ_j　でi＋ｊ＝ｗで０≦i≦ｎ、０≦ｊ≦ｋ、０≦ｗ≦ｎ＋ｋ）
シグマが２つもあってこの式のままだと良くわからないかもしれませんので、 自分で適当に３次か４次くらいの多項式を作って検証してみてください。 高校以来なじみの実数上の多項式の積に一致している事がわかると思います。
またＸ⁰＝１と定めこれがＳの単位元です。 （ＲはＳの部分環ですからもちろんこの１はＲの１でもあります）
この和と積でＳは環となり、Ｓの事をＲ［X］と書きます。
また表現の一意性からΣａ_kＸ^k＝０⇔ａ_k＝０（∀ｋについて） となり ０の表現はR［X］の中ではこれしかありません。
このことからｆ＝Σａ_kＸ^k≠０ならば、 ｆ＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋・・・・＋ａ_nＸⁿ≠０ですから 一番右側のａ_n≠０です。
このときｆを次数ｎの多項式といいその最高次係数ａ_nをその多項式の主係数といます。
またｎ＝deg（ｆ）と書きます。（degはdegreeの略で次数という意味です）
人それぞれの趣味にもよると思うのですが０の次数を−∞と定義する方もいらっしゃいます。
でもリングセオリーシリーズでは０の次数は定義しない事とします。
さて、次の重要な命題を考えてみましょう。

（命題１）
Rが整域ならばdeg（ｆｇ）＝deg（ｆ）＋deg（ｇ）

（証明）
経験から明らかかもしれません。でもキチンと一度くらいはやっておきましょう。
ｆ＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋・・・・＋ａ_nＸⁿ， ｇ＝ｂ₀＋ｂ₁Ｘ＋・・・・＋ｂ_kＸ^kとおきます。
最高次係数は共に０でないとし、従ってdeg（ｆ）＝ｎ、deg（ｇ）＝ｋとします。
示すべきはdeg（ｆｇ）＝ｎ＋ｋです。積の定義に従ってｆとｇを掛け合わせます。すると、
ｆｇ＝ａ₀ｂ₀＋（ａ₁ｂ₀＋ａ₀ｂ₁）Ｘ＋ （ａ₂ｂ₀＋ａ₁ｂ₁＋ａ₀ｂ₂）Ｘ2＋・・・・＋ａ_nｂ_kＸ^n+k
いまａ_n≠０、ｂ_k≠０でＲは整域ですから、ａ_nｂ_k≠０
よってｆｇはn＋ｋ次の多項式ということですから、題意は満たされました。　　　（証明終わり）

さて、次の命題も大事です。

（命題２）
U（R)＝U（R［X］）が正しい。（但しRは整域とする）

（証明）
RはR［X］の部分環ですからU（R)⊆U（R［X］）は成り立つと思います。
問題は逆の包含関係です。 ∀ｆ∈U（R［X］）としますとunitの定義からあるｇがR［X］の中に存在してｆｇ＝１です。
この両辺にdegreeを取りますと、
deg（ｆ）＋deg（ｇ）＝０です（定数のdegreeは０ですから１のdegreeは０）
さてdeg（ｆ）とdeg（ｇ）は共に正の整数ですからこの等式を満たすには deg（ｆ）＝deg（ｇ）＝０です。
よってｆとｇは次数が０ですから定数で従ってRの元です。
そしてｆｇ＝１を満たすというのですから、ｆ∈U(R)です。　　　　（証明終わり）

上に述べた２つの命題はRが整域でないと成り立たない事に注意してください。 （その理由を考えてみてください）

（埋め込みの原理）
RとSを可換環として、環写像ｍ：R→Sを考えます。 もしｍが単射であるならば次が成り立つ事が知られています。

（定理・・・埋め込み）
単射な環写像ｍ：R→Sが与えられた場合、Sからある環Cへ向かって環同型ｇが ｇｍ＝εなるように与えられる。
但しεは内部写像（inclusion map)であって、これによってRをCの部分環とみなすことができる。
まずは用語の解説です。
内部写像というのは集合Aとその部分集合Bがあって、ε：B→Aでε（a）＝aなる写像のことです。
つまりBの元としてのaをAの元としてのaに移す写像です。
よくよく考えてみますと内部写像を１つ考える事と集合の部分集合を考える事は同値です。
また上の定理の文章のなかにｇｍ＝εと書いてありますが、 ｇｍというのは写像の合成で、これはRからCへの写像ですね。
この定理を埋め込みの原理というのですが、 驚くべき事を言っていると思いませんか？ といいますのも環写像ｍが単射というだけでRがSへ埋め込まれる（つまりRがSの部分環と見なされる） といっているのですから。
注意してほしい事はこの原理はSと環Cが環同型ｇで結ばれているので S〜CでSが可換な環ですからCも可換環であることがわかります。
またRがCの部分環と見なされているのですから、 当然そのCと同型なSの部分環とも見なされているということです。
この埋め込みの原理は認めて使う事にします。
次回は多項式環の言葉を考えます。

（多項式環の言葉）

Rを可換環とし、R［X]を考えます。 その元はRの元を係数とする多項式でした。 ここで注意ですが、Rの元も多項式です。
∀a∈Rに対して、a＝a＋０X＋・・・＋０Xⁿと書けるからです。 つまり０を補うことでRの元も多項式と見なします。
また、R［X]の元を普通の多項式のようにｆ（X）とかきます。 ｆ［X]のXにはRの元を代入できます。
これはあたりまえであると思うかもしれませんが、実は代入するという行為は あたりまえの事ではなく、極めて高度なことです。まずはその事から始めましょう。

（代入原理）
Rを可換環、R［X]をR上の多項式環とする。 Tを任意の可換環とし、α：R→Tを環写像とする。
このとき、環写像φｔ：Ｒ［Ｘ]→Ｔ（但し∀ｔ∈Ｔ）が次の２つの性質を満たすように 一意的に決まる。

1. φｔ（Ｘ）＝ｔ
2. φｔ（ａ）＝α（ａ）　（∀ａ∈Ｒ）

（ユークリッドの補題）
∀ｆ、ｇ∈ｋ［X]とする。ただしｇ≠０とする。
このときｆ＝ｇｑ＋ｒとなるｑ、ｒがｒ＝０か、 そうでなければdeg（ｇ）＞deg（ｒ）が成り立つような範囲でｋ［X］内に一意的に決まる。

整数環はPIDである事を証明したときにこれとよく似た性質を使いました。 そのときは整数の基本定理とか書きましたが、実はあれもユークリッドの補題というのです。
ユークリッドとは人の名前で平面幾何学を創始した人です。 高校で多項式の割り算を学んだ方も多いと思いますが 、まさにこのようになっていましたね。 でもその証明は教科書に載っているか僕は忘れてしまったので、考えてみましょう。

（証明）
ｆ＝ａ₀＋ａ₁Ｘ＋・・・・＋ａ_nＸⁿ
ｇ＝ｂ₀＋ｂ₁Ｘ＋・・・・＋ｂ_wＸ^w
とし、共に０のならば面白くないのでａ_n≠０、ｂ_w≠０とします。
従ってdeg（ｆ）＝ｎ、deg（ｇ）＝ｗです。
ｎ＜ｗとなっている場合はｑ＝０、ｒ＝ｆと取ればいいことがわかります。 すなわち自明なケースですね。
またdeg（ｆ）＝deg（ｇ）＝０ならばｆ、ｇは定数多項式ですから、 ｒ＝０、ｑ＝ａ₀・ｂ₀^‐と取ればいいことがわかります。
以下deg（ｆ）≠０かつdeg（ｇ）≠０としさらにdeg（ｆ）≧deg（ｇ）を仮定して議論を進めます。
ｎについての帰納法で示してみましょう。
ｎ＝０のときは仮定から問題ありません。
次数ｎ−１以下の全ての多項式についてユークリッドの補題が正しいと仮定してみます。 方針としては次数ｎ−１の多項式をｆ、ｇを用いて構成して、 帰納法の仮定を使えばできそうな気がします。
そこでｈ＝ｆ−ａ_n・ｂ_w^‐・ｇ・Ｘ^n-w　　 （ｂ_w^‐は見ずらくて恐縮ですが、ｂ_wの逆元です）
なる多項式ｈを創ってやればdeg（ｈ）＝ｎ−１である事がわかります。 （実際にｆとｇを代入してみてください。）
よって帰納法の仮定がこのhに使えて、 ｈ＝ｇｑ＋ｒ　なるｑ、ｒが一意的に取れます。（但しｒ＝０　or deg（ｒ）＜deg（ｇ））
この式に上のhを代入しますと、 ｆ−ａ_n・ｂ_w^‐・ｇ・Ｘ^n-w＝ｇｑ＋ｒ
よって、ｆ＝ｇ（ａ_n／ｂ_w・Ｘ^n-w＋ｑ）＋ｒ　となり、 次数ｎのｆについても正しいことがわかり、 よってユークリッドの補題が成り立つ事がわかります。 （証明終わり）

このユークリッドの補題からすぐに次のコロラリーが導かれます。

（コロラリー）
ｆ（X）∈k［X］、α∈ｋとする。 もしもｆ（α）＝０ならば（X−α）はｆ（X）を割り切る。

これは剰余の定理とか言われています。（この名前についてはあんまり自信がありません）
さて、既約多項式の定義をしましょう。

(定義）
ｆ（X）∈ｋ［X］が既約（irreducible)であるとは

1. ｆ（X）は定数でなく、（つまりｋの元でなく、従って０でない）
2. ｆ（X）＝ｇ（X）ｈ（ｘ）と分解できたら、ｇ（X）∈ｋか、 またはｈ（X）∈ｋ（但しｇ（X）、ｈ（X）∈ｋ［X］）

（例）
Rを実数の集合とし、R［X]を考えます。
すると、Ｘ²＋Ｘ＋１は既約です。
またＸ²＋１も既約です。
しかし複素数Ｃ上の多項式環Ｃ［Ｘ]では （Ｘ＋i)（Ｘ−i）と分解できて、既約ではありません。
この例からもわかると思いますが、規約性はその環によるのです。

既約な多項式は整数では素数と同じ概念です。 このことからも、任意の多項式は既約な多項式の積として、 順序とunit倍を無視すれば一意的に書けるのです。 これを因数分解の原理といいます。

次回はまた別の話をしましょう。