コロキウム室(代数方程式の代数的解法・その２)

part 5

ここでは少し気分を変えて、「無限について」少し真剣に考えてみましょう。
実際問題として、この世で無限を「見た」人はいるでしょうか？答えはノーです。 （しかし、３歳の時に全盲になったある人は４次元を見ることができるそうです）
でも、無限を「観た」人達は意外と多いです。 我々も数学をやっている以上、この無限からは逃げることはできません。 無限を考えなければ自然数ですら考えることはできません。 自然数は無限にあるのですから。
無限という概念は実際にいろいろなパラドックスを起こす厄介なものですから、きち んと制御しておかなければなりませんが、よく挙げられるウサギとカメの話で簡単に 説明すると

「ウサギはカメの２倍の速さで走ります。ハンデをつけて、カメがトラックの中間地 点に差しかかったときにウサギが走ることとします。さてウサギがカメのスタート地 点にさしかかった時にはカメはその少し先にいるわけです。そのときのカメの位置を P(1)としましょう。ウサギがP(1）にきた時カメには相当接近していますがまだカメ には追いついていません。カメはP(2)の地点まで進んでいます。（P(1)≠P(2)です） ウサギがP(2)まできたときにはカメはP(2)より先にあるP(3)まで進んでいる。こ のように続いていくと、ウサギはカメに「無限に接近」するがカメに追いつくことは できないことになります」

このように無限という概念（無限大は数ではありません。 従って1/ ∞というのはできません）は意外と扱いが難しいということがわかります。
「理論上無限回の操作を必要とするときどうすればよいか？」
このことについても考えなければならないでしょう。つまり無限集合から、元をすべ て取り出すには一体どうすればよいでしょうか？
NO.704 part３で紹介した選択公理がその答 えを与えますが、まずは選択公理を噛み砕いた形で述べてみましょう。

（選択公理）
φでない集合が「無限個」並んでいるとする。
それぞれはφでないのでそれぞれから 元をいっせいに取り出して、なにか大きい集合をφでないように作れる。

選択公理とは上のことですが、言っていることは至極もっともなことです。 しかし注意深く扱わなければならないところは［集合が無限個ある］と言うところでしょう。
人間ができる事というのはたとえ機械の力を借りても有限までです。
しかし頭の中で考える以上、たとえ集合が無限に多くあっても空集合でなければ、 それらから元を取ってきて１つの集合にまとめてもいいですよという事をこの公理は保証しています。
ただし１つ１つの集合には１，２，３・・・というように番号が付けられるとしましょう。 （写像の言葉で訳すなら自然数との間に全単射があるということです）
この公理は公理と名前がついている以上証明はないようです。
NO.704 part３で紹介した、 Zorn’ｓ　lemmaと整列定理はこの選択公理と同値であることは証明されています。 適当な集合論の本を参考にしてみてください。
この３つ（選択公理、Ｚｏｒｎ's　lemma，整列定理）がもし認められないというこ とになれば、これまで積み重ねられてきた数学が一気に崩壊します。 この前証明されたフェルマー予想ももちろん無効になるし、 受験科目としての数学もなくなります。 世の中から、数学というものが考えられなくなるとまでいうのは言い過ぎかもしれま せんが、もし選択公理がないと、厳密には有限集合しか考えられなくなるので数その ものの体系がなくなってしまうことになりますからね。 もちろん、今話題にしている代数方程式についても処置無しということになります。 だから、やはりこの３つは代数方程式の代数的解法ともかかわってくる話題です。
選択公理が３つの中では比較的わかりやすいと思って、取り上げてみました。 整列定理もわかりやすいのですが、初めての人に説明すると、簡単なことを難しく定式化し ているという印象を与えかねませんから、ここでは取り上げないことにしました。僕 よりうまく説明できる人に譲ります。

part 6

さて、今までのことをまとめておきましょう。
任意次数かつ、任意係数の代数方程式が代数的に解けるとは根の公式を用いて解くことですが、 それを体の言葉で翻訳すると全ての根を含むような体を定義体（Qに係数を全部くっつけた体） をうまく拡大することで作れる。 またそのことと群を考えることは実は同値であり根を含む体の拡大 の列 Q⊂Q(）⊂ Q（a,b,c,)など。
詳しくはNO.699 part１参照）と拡大しきった体 （例えばQ（a,b,c,)など）の自己同型群との間には全単射が存在する。
また選択公理は数学を考える上で欠かすことができない大切なものでした。 ざっとこんな感じです。
NO.706 part４の最後の方で、同値関係には触れないと書きましたが、よく考えた結果、やは り書いておくべきだろうという結論に至りました。ですので、ここでは同値関係につ いて書いた後、群についてすこし理論を展開しておきましょう。

（定義）
Aをφでない集合とする。Rが集合A上の「関係」であるとはRがAとAの直積の部分集合 であることを言う。
つまりR⊆A×Aである。特に（a,b）∈RをaRbとかく。 （∀a,b∈A)

この定義はぱっと見たときにはなんだか難しい定義のように見えるかもしれません。 しかし考えてみれば簡単です。
「関係」という以上２つ以上の物がなければなりません。
従ってAの元のペアーの集合であるA×Aを考えるのです。
そしてA上の関係といったら単にA×Aの部分集合を考えようというのです。
さて、RをA上の関係としましょう。 このRが次の３つを満たすときRをA上の「同値関係」といいます。

1. aRa
2. aRb⇒bRa
3. aRbかつbRc⇒aRc （∀a,b,c∈Aについて）

１は自分は自分と関係があるということでしょう。
２は自分と他人が関係していたら他人と自分が関係しているということです。
３番目は自分と他人が関係していて、他人が第３者と関係していたら 自分もその第３者と関係していると言うことでしょう。
Rを＝に変えてみても上の３つが成り立つことがわかります。 つまり＝は特に複素数 上の同値関係であり最もポピュラーな同値関係といえるでしょう。
≦はどうでしょうか？
これはどうやら２を満たしませんね。２≦３ですが３≦２とはなりません。 よって≦は実数上では同値関係ではありません。
（ところで、複素数では大小関係は特に考えません。 数学Bを参考にしてください。多分載っていると思います）

集合Aに少なくとも１つの同値関係が与えられるとどういう事が起こってくるのか考 察してみましょう。
集合Aを１から３１までの自然数の集合として、これを１ヶ月とおきましょう。 １ヶ月は大体３１日ですからね。
それから、R＝｛（a,b）｜a―bは７の倍数、つまりa―b=7ｎ（nは適当な整数）｝とおきますと、 これはA上の同値関係になります。
試しにやってみましょうか。
まずa―a=0=７×０ですからaRaです。
またaRbとしましょう。 するとRの定義からa―b=7nと書けて両辺に-１を掛けてb―a=7(-n) と書けnが整数なので(-n)も整数。よってbRa。
最後にa―ｂ＝7n,b―c＝７ｍとおくと、 （ただしn,mは整数）２つの式を足すことでｂがキャンセルされてa-b=7(n+m)， よってaRcですから、RはA上の同値関係となります。

ここで１と同値関係で結ばれている元を書き出してみましょう。 まず１R1ですから、１は１と同値です、他には８， １５，２２，２９がA内では挙げられます。なぜかというとそれぞれから１を引いて みてください。７の倍数になっていますから、Rに入っているわけです。
今度は２と同値関係で結ばれているものを書き出すと、２，９，１６，２３，３０です。 同じことを繰り返します。
３と同値な物は３，１０，１７，２４，３１で ４と同値な物は４，１１，１８，２５です。 ５と同値な物は５，１２，１９，２６で６と同値な物は６，１３，２０、２７で ７と同値な物は７、１４，２１，２８です。 ８と同値な物は１と同値な物と同じになりますからまた元に戻ることになり、 ７までで打ち切られることになります。みやすく書くと、

１と同値な物＝｛１，８，１５，２２，２９｝
２と同値な物＝｛２，９，１６，２３，３０｝
３と同値な物＝｛３，１０，１７，２４，３１｝
４と同値な物＝｛４，１１，１８，２５｝
５と同値な物＝｛５，１２，１９，２６｝
６と同値な物＝｛６，１３，２０，２７｝
７と同値な物＝｛７，１４，２１，２８｝

となっています。はっと気が付いた人もいるでしょうが、実はこれ曜日になっていま すよね。 上から月曜日で最後が日曜日です。 同値関係を入れることで３１日間に曜日 という構造が入りました。１と２２はもちろん互いに異なった数ですが月曜日という 視点で見れば同一視されます。
このように数学では同値関係で結ばれたものは数学的 に同一視してよいということになります。また１〜７と同値な物をC(1)〜C(7)とかい て１〜７を含む同値類といいます。従って同じ同値類に属する２つの元はお互いに同 値関係で結ばれていることもわかります。

（定義）
RをAの同値関係とする。C(a)＝｛ｘ∈A｜aRx｝をaを含む同値類という。

Ｃ（ａ）がａを含むことは同値関係の定義からaRaですので明らかです。 またカレンダーの例でもわかるように集合ＡはＣ（ａ）によってばらばらに分割されている、つ まりお互いに共通部分のない部分集合に分けられるといえます。従ってカレンダーの 例では
Ａ＝Ｃ（１）∪Ｃ（２）∪Ｃ（３）∪Ｃ（４）∪Ｃ（５）∪Ｃ（６）∪Ｃ（７）
と書けることがわかりました。
ただし「∪」は和集合をあらわします。
よって集合Ａに少なくとも１つの同値関係を与えることと集合Ａを分割することは同値であるとい えます。
Ｃ（ａ）はパズルのピースのようのものと考えてもいいですね。
そのパズルのピースの集合をＡ／Ｒと書いてＡのＲのよる商集合といいます。 つまりＡ／Ｒ＝｛Ｃ（ａ）｜a∈A｝です。
これはパズル（最近は５０００ピースもの凄いのを見かけ ますが）を買ったときのいわば箱で、家に帰ってパズルを組み立てたらAになったと 見ることもできます。
またC(a）の元のことをC(a)の代表元といいます。よってaはC(a)の代表元です。

ここで群の話に戻ります。
集合Aに同値関係を入れることができればAをバラバラに分割できることは上の通りです。 大きいAをただ漠然と考えるよりもその部分集合である同値類C(a)を考えた方が すっきりすることがあります。
Hを群G（ただし有限群）の部分群としましょう。 このHを用いてGに２つの同値関係を入れることができます。
それぞれをR1、R2で表すことにしましょう。
R1＝｛（a,b）｜a^‐b∈H｝
R2＝｛（a,b）｜ab^‐∈H｝　　　（∀a,b∈G)
と定めます。ここでa^‐bはaの逆元とbの積、 ab^‐はaとb^‐の積です。
ここで、R1による同値類とR2による同値類を考えてみましょう。 同値関係が与えられたときは必ずそ の同値類を考えます。定義により、
C1（a）＝｛ｘ∈G｜ｘR1a｝
C2（a）＝｛ｙ∈G｜ｙR2a｝
と書けます。このとき次が成り立ちます。つまり、 C1(a）＝aH、C2（a）＝Ha・・・・・（１）
ただしaH＝｛aｈ｜ｈ∈H｝、Ha＝｛ｈa｜ｈ∈H｝としましょう。
ここで、２つの集合が等しいとは互いの元をすべて共有するということです。 すなわち集合Aと集合Bが等しいとはA⊆BかつB⊆Aということです。 これを基に（１）を証明してみましょう。

（証明）
∀ｘ∈C1（a）を取ってくるとaR１ｘより、a^‐ｘ∈Hなのでｈ∈Hを用いてa^‐ｘ＝ｈ とかける。この両辺の左からaを掛けると

	a（a‐ｘ）＝aｈ
⇔	（aa‐）ｘ＝aｈ
⇔	eｘ＝aｈ
⇔	ｘ＝aｈ

aHの定義からaｈ∈aHで、ｘ＝aｈよりｘ∈aH。 従ってC1(a）⊆aHである。
一方今度はaHから任意に元をとってくる。それをｙとする。 つまりｙ∈aHなので定義からｙ＝aｈと書ける。（ただしｈ∈H）
この両辺の左からa^‐を掛けるとa^‐a＝e に注意してa^‐ｙ＝ｈを得る。 ｈ∈Hよりa^‐ｙ∈HこれはaR1yを表す。
よってｙ∈C1(a）なのでaH⊆C1（a）。つまりaH＝C1(a）
C2(a）＝Haも全く同様にできますので確かめてみてください。

さて、（１）がいえました。
Gはその部分群Hを用いることでaHまたはHaという形の同値類に分割できると いうわけです。 カレンダーの例と同様に
G＝aH∪ｂH∪ｃH∪・・・・・∪ｄH　（あるいはG＝Ha∪Hb∪Hｃ∪・・・・・∪Hd)
と書けることがいえました。 この２つの分解は一般には一致しません。 （実はHが正規部分群という種類の部分群のとき２つの分解は一致して、そのときの分解を固有の 分解とか言うのですが、ここではこれ以上は立ち入らないことにします）
aHという形の集合は実にシンプルで考えやすい集合です。 このように抽象的な群もその部分群を用いて同値関係を定め同値類に分解してやると 結構シンプルな構造に置き換えることができます。
物事をその内部構造から解明していくという方法は数学では よく使う手段です。part6をまとめてみると、

１、集合上に同値関係を定めることにより見かけの違うものを同一視してまとめるこ とができ（例えばカレンダーと曜日）物事がすっきりする。

２、有限群Gの部分群を用いることでG上に同値関係を定める事ができGの内部構造を 具体的にaHまたはHa（a∈G)の和集合として書き出すことができる。

このようにいえるでしょう。次回はこの続きを考えてみましょう。

part 7

ここではNO.709 part6の続きを少し考えてみましょう。
Gを有限群、Hをその部分群とします。前回考えたようにこのHを用いてGをaH（または Ha）の和集合として表すことができます。
G＝aH∪ｂH∪ｃH∪・・・・・・・∪ｄH　・・・・・・（１）
としましょう。ただしa、ｂ、ｃ、ｄはすべてGの元です。
ここで集合Ａの元の個数を｜A｜（これは個数なので当然０以上の整数です）で書くことにします。 例えば３次対称群S(3)の場合、｜S(3)｜＝６です。（ｎ次対称群をＳ（ｎ）と書きます）この とき次が成り立ちます。
｜aH｜＝｜H｜
なぜかというと、まず集合の元の個数が等しいということはNO.702 part２でも考えたように その２つの集合の間に全単射があるということですのでaHとHの間にうまく全単射な 写像を定めることを考えます。
ｆをHからaHへの写像としましょう。
∀ｈ∈Hを取ってｆ（ｈ）＝aｈと定めてはどうでしょうか？
aHの形は前回紹介したようにGの元aとHの元との積で考えていますのでｆ（ｈ）はaHの元です。 またその他の写像の定義を満た していますのでこのｆは写像になることはOKです。
またこれが単射になることは、 aｈ＝aｋとすると、（ｈ、ｋ∈H)両辺左からa‐を掛けることでｈ＝ｋとなるので単射です。
また全射になることは∀aｈ∈aHに対してｈ∈Ｈがその根元になっているの事に従います。
よってｆは全単射ですから｜ａＨ｜＝｜Ｈ｜が示されました。
｜Ｈａ｜＝｜Ｈ｜も同様です。
ここで（１）を考えます。
（１）の場合、ａＨ、ｂＨ，ｃＨ，・・・・ｄＨは全てそれぞれの共通部分がφですから （NO.709 part6のカレンダーの例を参照）
｜Ｇ｜＝｜ａＨ｜＋｜ｂＨ｜＋｜ｃＨ｜＋・・・・・＋｜ｄＨ｜　・・・・・・（２）
となっていることがわかります。
注意してほしいところは一般に集合ＡとＢにおいて
Ａ∩Ｂ≠φならば｜Ａ∪Ｂ｜＝｜Ａ｜＋｜Ｂ｜は成り立ちません。 （∩は共通部分という意味です）
このときはＡとＢでダブっているところを考えないといけないからです。
さて（２）を考えます。
ａＨ、ｂＨ，ｃＨ、・・・ｄＨはそれぞれがパズルのピース でしたから （NO.709 part6参照）それらの個数は｜Ｇ／Ｒ１｜個だけあります。
（これもNO.709 part6参照。 同値関係Ｒ１による同値類がａＨでした。ただしａはＧの任意の元）
かつ先ほど証明したように｜ａＨ｜＝｜Ｈ｜でしたから、
｜Ｇ｜＝｜Ｇ／Ｒ１｜×｜Ｈ｜・・・・・（３）
が成り立つことがわかります。
｜Ｇ／Ｒ１｜は正の整数なので（３）の意味すること は｜Ｇ｜は｜Ｈ｜の倍数であるということです。
つまり｜Ｈ｜は｜Ｇ｜を割り切ると いうのです(｜H｜は｜G｜の約数ということです）。
これはなかなか面白いことを言っています。 部分群の定義を見たときは、意味不明な定義でしたがその元の個数を 考えるとそれは母体であるＧの元の個数を割り切っているということですから、これ は神秘的です。 （特に群の元の個数をその群の位数ということにしましょう）
例を挙げてみましょう。
｜G｜＝ｐ　（ただしｐは素数）
とします。このとき、Gの部分群Hの位数はGの位数の約数となっていますから、いまG の位数が素数である以上Hの位数は１かｐです。
（約数が１かそれ自身ない数を素数といい、２以上とします。 １は素数の定義は満たしますが、素因数分解の一意性を守 るために素数にはしないことにします）
さて、位数１の部分群て何でしょうか？
部分群の定義のところで（NO.706 part４）述べたように、 どんな群も少なくとも２つは部分群を持ちます。 ｛e｝とGでした。
従って位数１の部分群は｛e｝です。そうすると、位数 ｐの部分群はG自身ということになります。
このように位数が素数の群は部分群を ｛e｝とGの２つしか持たないことがわかります。

以上のように、対称群を考えることで群を抽象的に（自由に）定義することが可能に なり、さらに部分群を追求することで群の構造が次第に明らかになりつつあります。
NO.699 part１で定義した体も「環」と「イデアル」を用いることで抽象的定義が可能となり さらに発展することになります。 （環とはいわゆる整数を一般化したものです）
そうして発展した群と体を考えることでアーベルの定理が完全に証明されることとなり、 近代代数学が幕を開けます。現在でもガロア理論は活発に発展していて、幾何学との 融合なども試みられているし、ガロア理論の先には代数的整数論、類体論などが待っ ています。
この「代数方程式の代数的解法」シリーズはNO.706 part４ までで本当に大まかにですが、ガロア理論の入り口まで述べ、 その後、群についてやや深く説明しておきました。
また選択公理やその他の２つの公理も、高校ではもちろん、大学でもあまり深 くやっていないようですので、書いておきました。 （これをやらずに数学をやることは実はできないのです）
ところで、群の理論にもまだまだ先があります。 群は幾何学でもよく現れる概念で、数学の基本パターンの１つでもあります。 このシリーズを通読し代数について興味を持たれた方がもしいらしたら、 それ相応の本を読んで自らこの先へと進んでくだされば、誠にありがたいと思います。

番外編

代数方程式シリーズを見直したときに、いろいろな大切なことをうっかり忘れている ところがあり、それについて少し付け加えてみます。
Gを群とし、a、ｂ、ｘ、ｙをGの元としましょう。このとき次が成り立ちます。

1. aｘ＝aｙ⇒ｘ＝ｙ
2. ｘｂ＝ｙｂ⇒ｘ＝ｙ
3. aa＝a⇒a＝e　　（eは単位元）
4. aｂ＝e⇒a＝ｂ^‐またはｂ＝a^‐
5. （aｂ）^‐＝ｂ^‐a^‐
6. e^‐＝e
7. （a^‐）^‐＝a

∀a∈Gについてaa＝eを満たせばGはアーベル群である。

この証明も上の７つの性質と群の定義からすぐに出てきます。 確かめておいてください。
またNO.710 part7でGを有限群とし、Hをその部分群としたときに
｜G｜＝｜G／R１｜×｜H｜・・・・・（１）
　 が成り立つ事を証明しましたが、もしそうならば
｜G｜＝｜G／R2｜×｜H｜・・・・・・（２）
も正しいのではないか？ と思われた方もいらっしゃると思います。 実は全くその通りです。
つまり｜G／R1｜＝｜G／R2｜が成り立ちます。証明しておきましょう。

（証明）
示すべきはG／R1とG／R2の間に全単射が存在することである。
ｆ：G／R1 → G／R2 をｆ（aH）＝Ha^‐で定義する。
これが写像であることを示す。
まず写像の定義１と２ （NO.702 part２参照）を満たすことは自明であるから、 （なぜか考えてみてください。でもあたりまえですよね） 調べるのは定義の３、すなわちwell-defined性である。
定義に従い、aH＝ｂHとおく。（∀a、ｂ∈G）
ところでe∈Hであるから、 ae＝a∈aH＝ｂHなのでa＝ｂｈ（ｈ∈H）とかける。
よってHa^‐＝H（ｂｈ）^‐＝H（ｈ^‐ｂ^‐）＝（Hｈ^‐）ｂ^‐⊆Hｂ^‐ （なぜならばHｈ^‐⊆Hなので）従ってHa^‐⊆Hb^‐がいえた。
Hｂ^‐⊆Ha^‐も同様にして示せる。 （ｂ∈aHからｂ＝aｈとおいて同じようにすればよい）つまりHb^‐＝Ha^‐。
すなわち根元が同じなら行き先も同じなのでｆは well-definedである。よってｆは写像になっている。
次にこれが全単射であることを示す。
まず単射であることは、Ha^‐＝Hｂ^‐とおくと、やはりe∈Hであるから、
a^‐∈Ha^‐＝Hｂ^‐よりa^‐＝ｈｂ^‐（ｈ∈H）とかける。
よって （a^‐）^‐＝（ｈｂ^‐）^‐ ＝（ｂ^‐）^‐ｈ^‐＝ｂｈ^‐＝a（両辺の逆元を取った）
よってa＝ｂｈ^‐∈ｂHであるから、aH⊆ｂH。
ｂH⊆aHも同様。従ってｆは単射。
ｆが全射であることは∀A∈G／R2を取ってくると、A＝Ha（∀a∈G）とかけるがG／R1 の中にa^‐Hが存在しｆ（a^‐H）＝H（a^‐）^‐＝Haとなっている。
ゆえにｆは全射でもある。これで題意は満たされた。

これ以外にも様々な証明が可能です。 しかし最も定義に則した証明はこれでしょう。 実はうまい道具を用意してもっとテクニカルに証明することができるのですが。 まあこれで、｜G／R1｜＝｜G／R2｜が示されました。
これの言っていることはつまり、Ｇの部分群を用いて定義される同値関係は２つあったけれども それぞれによる同値類の個数、つまり商集合の個数は一致しているよということです。 ユーモラスな言い方をすると（僕はこっちのほうが好きですけれど）パズルのピースの個数は一致す るということでしょう。 （この表現についてはNO.709 part6を参照）
さて（１）と（２）から、｜Ｈ｜≠０ですので（どんな群も｛ｅ｝とＧ自身を部分群 に持つので）これで割り算すると、（実数を０で割ることはできません。知らない方 がいましたら、自分で納得のいくまで考えてください。これは重要なことです）
｜Ｇ｜／｜Ｈ｜＝｜Ｇ／Ｒ１｜＝｜Ｇ／Ｒ２｜がわかります。 この｜Ｇ／Ｒ１｜（＝｜Ｇ／Ｒ２｜）を[G:H]と書いて、ＧのＨに関する「指数」といいます。 （この指数というのはNO.699 part１で すこし触れた複素数Ｃは代数的閉体であることの代数的証明 で登場します。）

NO.711 番外編にある、

∀a∈Gについてaa＝eを満たせばGはアーベル群である。

の証明です。

∀a∈Gについてaa＝e ですから、a=a^- です。
従って、∀a,b∈Gについて,a=a^-,b=b^-より、

ab	=a-･b-
	=(ba)-
	=ba　　･･･ba∈G　より ba=(ba)-なので

よって任意の元に対して可換であることから、ア−ベル群である。

NO.704 代数方程式の代数的解法（３） の中にある

（定義）
ＡとＢを共に体とする。g：Ａ → Ｂが準同型写像であるとは、gは写像で次の３つを 満たすことをいう。

1. g(a+b)=g(a)+g(b)
2. g(ab)=g(a)g(b)
3. g(1)=1 (ただし３において左辺の１はＡの１、右辺の１はＢの１）

同様に「１」において、a=0 とすると、
g(0+b)=g(0)+g(b)
g(b)=g(0)+g(b)
この式から、g(0)がＢにおいて加法での単位元の役割を果たしていることがわかります。
従って、g(0)=0（左辺の０はＡでの０、右辺の０はＢでの０です。）