NO.796 双曲線関数（３）のグラフからわかるように、 定義域をＸ＜０とｘ≧０に分けて考えなければなりません。
を変形することにより、(ｅｘ)２−２ｅｘｙ＋１＝０
ｅｘ＝ｔとすることにより、ｔ２−２ｙｔ＋１＝０
Weekend Mathematics／コロキウム室／2000.4〜6／NO.93
| NO.797 | 2000.4.6. | Junko | 双曲線関数 （４） |
さて、y=cosh x の逆関数を考えます。
NO.796 双曲線関数（３）のグラフからわかるように、
定義域をＸ＜０とｘ≧０に分けて考えなければなりません。
を変形することにより、
(ｅｘ)２−２ｅｘｙ＋１＝０
ｅｘ＝ｔとすることにより、ｔ２−２ｙｔ＋１＝０
解の公式より、
| NO.798 | 2000.4.8. | WAHEI | ガロア理論の心（５） |
（可解群とＳ（ｎ）の不可解性）
まずは次の補題からいきます。
（補題１）
Ｈ、Ｋを群Ｇに部分群とし、ＨＫ＝｛ｈｋ｜ｈ∈Ｈ、ｋ∈Ｋ｝とおく。
このときこのＨＫがＧに部分群であるための必要かつ十分条件はＨＫ＝ＫＨとなることである。
（証明）
ＨＫがＧの部分群であると仮定する。
このときｈｋ∈ＨＫにたいして（ｈｋ）‐＝ｋ‐ｈ‐∈ＨＫであるから、
あるｈ１∈Ｈ、ｋ１∈Ｋが存在して、
ｋ‐ｈ‐＝ｈ１ｋ１＝（ｈｋ）‐とかける。
従ってｈｋ＝ｋ１‐ｈ１‐∈ＫＨである。
つまりＨＫ⊆ＫＨがいえた。
また（ｋｈ）‐＝ｈ‐ｋ‐なので（ｋｈ）‐∈ＨＫ、
よってｋｈ∈ＨＫとなり、ＫＨ⊆ＨＫとなって、ＫＨ＝ＫＨ。
一方ＨＫ＝ＫＨを仮定する。
すると（ｈｋ）（ｈ１ｋ１）‐＝ｈｋｋ１‐ｈ１‐
＝ｈ（ｋｋ１‐ｈ１‐）で、
ｋｋ１‐ｈ１‐∈ＫＨ＝ＨＫなので、
ｋｋ１‐ｈ１‐＝ｈ２ｋ２とかける
（ｈ２∈Ｈ、ｋ２∈Ｋ）。
だからｈ（ｋｋ１‐ｈ１‐）＝ｈ（ｈ２ｋ２）∈ＨＫとなって
ＨＫは確かにＧの部分群。
（証明終わり）
（コロラリー１）
Ｎ、ＨはＧの部分群とする。
もしＮがＧの正規部分群ならば、集合ＮＨは必ずＧの部分群。
（証明）
上の補題と正規部分群の定義に従う。 （証明終わり）
さて、次の定理は群の第二同型定理と呼ばれるものです。
（定理１）
Ｎ、ＨはＧの部分群でＮはＧの正規部分群であると仮定する。
Ｎ∩ＨはＨの正規部分群でＮはＮＨの正規部分群であって、しかもＨ／Ｎ∩Ｈ〜ＮＨ／Ｎである。
（証明）
ＮがＮＨの正規部分群であることは全く自明。
群の準同型写像ｆ：Ｈ→ＮＨ／Ｎをｆ（ｈ）＝ｈＮで定めるとすぐわかるように
Ｋｅｒ（ｆ）＝Ｎ∩Ｎなので前回示したようにこれはＨの正規部分群である。
一方ｎ∈Ｎ、ｈ∈Ｈとすると、（ｎｈ）Ｎ＝（ｈｎ）Ｎ＝ｈＮよりｆは全射である。
よってNO.791 ガロア理論の心（４）
のコロラリー２から、Ｈ／Ｎ∩Ｈ〜ＮＨ／Ｎがいえる。
（証明終わり）
さて、ここからが今回の本題です。可解群を定義しましょう。
（定義１）
Ｇを群とする。
このＧが可解であるとはＧ内の部分群の列、Ｇ＝Ｇ１⊃Ｇ２⊃…⊃Ｇｎ＝｛ｅ｝において、
ＧＬ＋１はＧＬの正規部分群でかつ、
ＧＬ＋１／ＧＬがアーベル群となることを言う。
この定義からすべてのアーベル群は可解であることがわかります。次の補題２が基本的です。
（補題２）
(証明)
Ｇを可解とするとＧの部分群の列Ｇ＝Ｇ１⊃Ｇ２⊃…⊃Ｇｎ＝｛ｅ｝で
上の定義を満たすものが取れる。
ここでＨをＧの部分群とし、Ｈ∩Ｇｄ＝Ｈｄ（１≦ｄ≦ｎ）とすると
Ｈ＝Ｈ１⊃Ｈ２⊃…⊃Ｈｎ＝｛ｅ｝となって可解の定義をみたす。
従ってＧの部分群ＨはＧが可解ならば可解である。
またＧ´ｄ＝ｆ（Ｇｄ）とおくとＧ´内に部分群の列が取れて可解の定義を満たすことは
第二同型定理からわかる。
これで（１）がいえた。
次に（２）を示す。
Ｇ´＝Ｇ／Ｎとおき、ｆ：Ｇ→Ｇ´を自然な写像とする。
まずＧ´内で可解の定義を満たすように部分群の列Ｇ´ｄ（１≦ｄ≦ｎ）が取れるが、
Ｇｄ＝ｆ‐（Ｇ´ｄ）とおくと
Ｇの部分群の列Ｇｄは可解の定義を満たし、さらにＧｎ＝Ｎである。
Ｎも可解なのでＮの部分群の列Ｎｍ（１≦ｍ≦р）で定義を満たすように取れる
従ってＧ自身可解である。 （証明おわり）
ここでファクターグループがアーベル群になる条件を考えましょう。
ａ、ｂをＧの元として
［ａ、ｂ］：＝ａｂａ‐ｂ‐とし、これをａとｂの交換子といいます。
Ｇの有限個の交換子の積の全体を［Ｇ、Ｇ］と書きますとこれはＧの部分群となり
（証明は簡単なので皆さんに任せたほうがいいでしょう）Ｇの交換子群といいます。
（定理２）
ＨをＧの部分群とする。
ＨがＧの正規部分群でかつＧ／Ｈがアーベル群であるための必要かつ十分条件はＨがＧの交換子群、
［Ｇ、Ｇ］を含むことである。
特に交換子群［Ｇ，Ｇ］は正規部分群である。
（証明）
ＨがＧの正規部分群で、Ｇ／Ｈがアーベル群であると仮定する。
今Ｇ／Ｈの任意の２元Ａ＝ａＨ、Ｂ＝ｂＨを取る。
Ｇ／Ｈがアーベル群である事からＡＢＡ‐Ｂ‐＝Ｈである。
従ってａｂａ‐ｂ‐Ｈ＝Ｈなのでこれはａｂａ‐ｂ‐∈Ｈを示す。
よって［Ｇ、Ｇ］⊆Ｈである。
逆にＨをＧの部分群として、Ｈ⊇［Ｇ、Ｇ］を仮定する。
ａ∈Ｈ、ｔ∈Ｇに対してｔａｔ‐＝ｔａｔ‐ａ‐ａ＝［ｔ、ａ］ａ∈
［Ｇ、Ｇ］ａ⊆Ｈａ＝Ｈで
あるからＨは正規部分群である。
ａｂ＝ｂａ（ａ‐ｂ‐ａｂ）＝ｂａ［ａ‐、ｂ‐］で、
［ａ‐、ｂ‐］∈［Ｇ、Ｇ］⊆Ｈであるから
ａｂＨ＝ｂａ［ａ‐、ｂ‐］Ｈ＝ｂａＨ。
従ってＡ＝ａＨ、Ｂ＝ｂＨとおくとＡＢ＝ａＨｂＨ＝ａｂＨ＝ｂａＨ＝ｂＨａＨ＝ＢＡとなって
Ｇ／Ｈはアーベル群である。 （証明終わり）
一般にいくつかの物を並べ替えるのは２個ずつの並び替えを何回か繰り返して行えばいいわけです。
このあたりまえの事実を数学的に考察しましょう。
３次対称群Ｓ（３）の中には次のような、やや特別な元があります。
それは（１→２、２→３、３→１）です。これを長さ３の巡回置換といいます
よって長さｎの巡回置換というのは１を２に２を３に…ｎ−１をｎにｎを１に置換するもので
ｎ対称群には必ず含まれている事がわかるでしょう。
また長さ２の巡回置換を互換といいます。よって全ての置換は互換の積として書ける訳です。
（補題３）
ｎ≧５としＧはＳ（ｎ）の部分群とする。
ＮはＧの正規部分群でＧ／Ｎはアーベル群であると仮定せよ。
このときＧが長さ３の巡回置換を全て含むならＮも長さ３の巡回置換を全て含む。
（証明）
ｆ：Ｇ→Ｇ／Ｎを自然な写像とする。
文字１≦ａ＜ｂ＜ｃ≦ｎを任意に取り、さらにａ、ｂ、ｃとは異なる２文字ｄ、ｇ（但しｄ≠ｇ）を
１からｎの範囲で取って巡回置換ｓ＝（ｄ→ｂ、ｂ→ｃ、ｃ→ｄ）と
ｔ＝（ａ→ｃ、ｃ→ｇ、ｇ→ａ）とを考えよ。
Ｇ／Ｎはアーベル群なので定理２からｆ（ｔ）‐ｆ（ｓ）‐ｆ（ｔ）ｆ（ｓ）＝ｅである
（ｅはもちろん単位元）。
従って（ａ→ｂ、ｂ→ｃ、ｃ→ａ）＝ｔ‐ｓ‐ｔｓは
ｆのカーネルであるＮに含まれる。
（証明終わり）
次の定理は５次以上の代数方程式には根の公式がないというアーベルの定理と極めて密接に関係しています。
（補題…アーベル）
ｎ≧５ならばＳ（ｎ）は可解でない。
（証明）
ｎが５以上でしかもＳ（ｎ）は可解であると仮定せよ。
Ｇ＝Ｓ（ｎ）とおきＧの部分群の列Ｇｄを可解の定義を満たすように取る。
すると補題３を用いると順番にＧ＝Ｇ１、Ｇ２…Ｇｎは長さ３の巡回置換を全て含むことになるが
最後のＧｎは｛ｅ｝であるからこれは不可能である。 （証明終わり）
（ガロア理論をやりたかった理由）
ようやくガロア理論の心をある程度示す事ができました。
「ガロア理論とは？」と聞くとごくまれに
「ああ、それなら５次以上の方程式が解けないって事でしょう」という返事を受けますが、
それは大変な誤解です。
ガロア理論の真髄は前にも書いた通りですから、
これを読んだ方はキチンと答える事ができるでしょう。
さて僕は専門が可換論（ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ａｌｇｅｂｒａ）なのでガロア理論との関係は
それほど強いとはいえませんが、
代数学を学んだと言えるためにはガロア理論を学んでいなければなりません。
従ってこのガロア理論というのは代数学の代名詞のようなものです。
ですから当然なまやさしい物ではありません。
僕がガロア理論をやりたかったのは、実はそのような事情があったのです。
（本の紹介）
ここで少し本を紹介します。
（代数構造に関する本）
M.F.Atiyah and I.G.Macdonald “Introduction to Commutative Algebra”
D.A.R.Wallace “Groups,Rings and Fields”
P.M.Cohn “An Introduction to Ring Theory”
以上に挙げた本はいずれも優れた本だと思います。
僕自身だいぶ多くを学びました。
リングセオリーシリーズは大体これらの本の内容と同じです。
”Introduction to Commutative Algebra”は今では入手は困難となっていますが、
大学の数学科の図書館に行けばあると思います。
また数学科はどこも事務の方が親切ですから、行けば何かしら対応してくれるはずです。
“Groups,Rings and Fiels“はSpringerから出版されていて、
比較的新しい本ですから容易に手に入れられると思います。
この本は代数構造といわれる群、環、体を懇切丁寧に展開する好著です。
僕が展開したものとはまた一味違った展開の仕方で読んでいて面白いです。
“An Introduction to Ring Theory“は文字どうり「リングセオリー」の入門書です。
高校生が読むのはきついと思いますが、大学の数学科の２年生程度の知識があれば読めると思います。
この本もSpringerが出しています。
（ガロア理論に関する本）
なんと言っても次の本が定番です。
Emile Artin “GALOISSE THEORIE”
実はこの本は日本語でも出版されています。その名も「ガロア理論入門」です。
出版しているのは東京図書です。
この本はＡｒｔｉｎ先生の書いた本で、
線形代数を用いて難解だったガロア理論をわかりやすく展開したすばらしい本だと思います。
さらにすごいのは高校生でも何とか読めるところでしょう。その他には
Joseph Rotman “Galois Theory”
がなかなかいい本だと思います。
現在はＡｒｔｉｎ先生のよりこちらの方がメジャーになりつつあるようです。
この本は問題を多く取り上げて、その問題のなかで定義やら命題を挙げています。
ですからこの本は読者が問題を考えなければ意味がないという事を主張しています。
その意味で極めて教育的な本といえるでしょう
（不親切と思うなかれ。自分でやった方が力は付くんです）。出版はやはりSpringerです。
（発展的な本）
David Eisenbud “Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry”
この本は８００ページに達する分厚い本ですが、
その理由は理論が保証している様々な事柄に対して、
その理論が実際に作用する数学的な対象物の解析が次々と行われているからです。
また面白いのは歴史的な背景もキチンとかかれていて、かつガロア理論にも少し触れられています。
Miles Reid “Undergraduate Commutative Algebra”
この本も幾何学とリングセオリーを組み合わせたいい本だと思います。
Undergraduateと称していますがレベルは大学院並です。
出版しているのはCAMBRIDGE UNIVERSITY PRESSというところです。
この本は最近日本語訳が出たらしいですが、僕はあまり日本語訳は勧めません。
（おわりに）
ずいぶんと色々な事を述べてきました。
今、我々は結構数学の中心地にいるのかもしれません。
これから先の事柄については僕が語るよりも、皆さんが進む方がいいでしょう。
代数方程式シリーズの終わりにも同じ事を言いましたね（笑）。
いかがでしたか？これを読んだ方は、
読む前とその後では大分世界が広がったのではないでしょうか？
リングセオリーシリーズの方も（２０）をもって内容の方は終了とした方がいいでしょう。
実はUFDという整域があって、その話をやろうかと思ったんですが、
色々と迷った挙句、やめる事にしました。
現在はそれに関する本は多いですからね。
それからNoether環についても「少し難しいかな…」と思ってやはり他の本に譲ることにしました。
| NO.799 | 2000.4.8. | 水の流れ | 春の全国高校野球（２） |
NO.431 春の全国高校野球（１）の続きです。 さて、こんなデータを発表しようと思っていたとき、
「誰かに解かせたくなる算数・数学の本：秋山仁（幻冬舎文庫）」の本を読んでいたら、
交通事故、天災など、まれにしか起こらない偶然の出来事は
「ポアソン分布」という特殊な確率分布の状態にしたがって起こるといわれている。 mathematicaで計算はしてみました。 （１）春のセンバツ （２）夏の大会 逆転または勝ち越しが１試合平均は春は０．８７１０回起こり、
夏は０．６６７回起こっています。
比較すると、夏は春より、逆転または勝ち越しが少なかったことを意味しています。
また、夏の方がよりポアソン分布していることが分かりました。 太郎さんは４月に、Ｈ１２年春の全国高校野球の結果を次のように調べました。 平成１２年の春の大会を同じく調べました。ご覧下さい。 さて、高校野球は先取点の入ったテームが勝つとよく言われます。
今回を例にして、分析しました。 ちょっと(かなり？)ずるいかもしれませんが、△ＡＢＥは正三角形だと予想してしまう？ 左図のように、点Ａと点Ｂを中心に半径がＡＢに等しい1/4円をかきます。 太郎さんは、昔、生徒からこんな大学入試問題の質問を受けました。 １からｎまでの数字を書いたカードが１枚ずつある。ただし、ｎ≧３とする。 問題１： 問題２： (1+2+3+･･･+n)･(1+2+3+･･･+n)を展開すれば、
１からｎの任意の２つの積がとりうるすべての場合を網羅していると思います。 期待値Ｅ３(n)も同様です。 kiyoさんのご指摘で、NO.804の計算を見直したところミスがありました。 期待値Ｅ２(n)＝(n+1)(3n2-n-2)/12(n-1)とありますが、
実は(n-1)で約分ができますね。 期待値Ｅ３(n)については、一部係数をかけるのを忘れていました。
同じようにして、夏の甲子園も調べました。
その結果、@は２４試合、Aは１３試合、Bは７試合、Cはなし、Dは４試合 でした。
そこで、丸数字の奇数は２４＋７＋４＝３５
これを４８で割ると３５／４８＝０．７３・・・ で高い確率で勝っています。
これで、夏もジンクスは確かだ言えます。
また、この丸数字の決まったイニングは１回から３回で２０試合
このうち@のチームが１６チームあります。
そして、例として、春のセンバツ野球を資料として挙げてありました。
本と同じ表現を引用します。
たとえば野球の試合を行ったとき
「９回裏までのあいだに逆転または勝ち越しが何回起こるか」と言う頻度が、
”まれにしか起こらないこと”の１例です。
先制点を挙げたチームがそのまま逃げ切ってしまえば、１回も逆転、
勝ち越しがなかったことになる。そこで、例として、春の横浜とＰＬ得点経過でみます。
１回の表の１点は先制点だから、勝ち越しとは言わない。
１回の裏の２点は逆転だからカウントします。
３回の表の２点は勝ち越しではないので、カウントしないが、
３回の裏の１点は勝ち越しだからカウントします。
６回の表の２点は勝ち越しではないので、カウントしないが、
８回の裏の１点は勝ち越しだからカウントします。
以上、逆転または勝ち越しが回数として３回をカウントします。
この点＜水の流れ＞と回数の解釈が異なります。
この数え方でみると、本の中では、春のセンバツ
（良く読むと１９９４年のセンバツの資料のようです）の結果は
逆転・勝ち越しが起こる確率 理論値 実際の試合数
０回 ０．５４８３×３１ １７．０１２８ １７
１回 ０．３２９３×３１ １０．２０８３ １０
２回 ０．０９８８×３１ ３．０６２８ ３
３回 ０．０１９７×３１ ０．６１０７ １
上の表のようでした。では、どのようにしてポアソン分布を利用して求めたか書きます。
ちょっと、数学の専門的な式になりますが、ポアソン分布の確率密度関数は
です。
ここで、ｘは逆転または勝ち越しの回数を代入、ｍはデータの平均値で、この場合は
ｍ＝（１×１０＋２×３＋３×１）／３１＝０．６１３…
これは、この年のセンバツでは、逆転または勝ち越しが１試合平均０．６１３回
起こったことを意味しています。
太郎さんの持っている９９年度の春、夏の逆転または勝ち越し回数を言いますから、
逆転・勝ち越しが起った回数 １９９９年度春のセンバツ １９９９年度夏の大会
０ 回 １３試合 ２４試合
１ 回 １０試合 １７試合
２ 回 ７試合 ６試合
３ 回 １試合 １試合
誰かポアソン分布をしているか調べてください。お願いします。
＜参考文献：「誰かに解かせたくなる算数・数学の本：秋山仁（幻冬舎文庫）＞
NO.800
2000.4.8. Junko 春の全国高校野球（３）
ｍ＝（１×１０＋２×７＋３×１）／３１＝０．８７１０…
逆転・勝ち越しが起こる確率 理論値 実際の試合数
０回 ０．４１８５×３１ １２．９７４９ １３
１回 ０．３６４５×３１ １１．３００８ １０
２回 ０．１５８８×３１ ４．９２１３ ７
３回 ０．０４６１×３１ １．４２８８ １
ｍ＝（１×１７＋２×６＋３×１）／３１＝０．６６６７…
逆転・勝ち越しが起こる確率 理論値 実際の試合数
０回 ０．５１３４×４８ ２４．６４４０ ２４
１回 ０．３４２３×４８ １６．４２９３ １７
２回 ０．１１４１×４８ ５．４７６４ ６
３回 ０．０２５４×４８ １．２１７０ １
これによれば春の大会は、１３，１１，５，１、
夏の大会が２５，１６，５，１です。
いい線いっているように思います。
NO.801
2000.4.8. 水の流れ 春の全国高校野球（４）
（NO.431 春の全国高校野球（１））
春の全国高校野球は神奈川県の東海大学相模高校が、初優勝しました。 おめでとうございます。
また、ファンにとって、逆転につぐ逆転の試合は忘れられない感動を与えます。
（１）先取点が入って、同点にされてもそのまま終わった試合を@
（２）先取点が入って、逆転して（同点になっても）終わった試合をA
（３）先取点が入って、逆転されても再逆転して終わった試合をB
以下、この逆転の回数で、C、D、Eと分類していきます。
だから、丸数字が奇数の場合は先取点の入ったテームが勝ち。
丸数字が偶数の場合は先取点の入ったテームの負け。
となります。当然、丸数字の多い方が面白い試合で楽しむことができたことになります。
決勝戦までの３１試合をこのように分析しました。その結果、
@は１６試合
Aは４試合
Bは６試合
Cは２試合
Dは３試合 でした。
そこで、丸数字の奇数は１６＋６＋３＝２５
これを３１で割ると２５／３１＝０．８１・・・ で高い確率で勝っています。
これで、ジンクスは確かだ言えます。
また、この丸数字の決まったイニングは１回から３回で１７試合 このうち@のチームが１４チームあります。
４回から６回で５試合、７回から９回で８試合、延長戦の場合が１試合でした。
ここで、前回と同じく、野球の試合を行ったとき「９回裏までのあいだに逆転または勝ち越しが何回起こるか」と言う頻度が、
”まれにしか起こらないこと”の１例です。
先制点を挙げたチームがそのまま逃げ切ってしまえば、１回も逆転、勝ち越しがなかったことになる。
そこで、例として、平成１２年春の鳥羽高校と長野商との得点経過でみます。
得点掲示 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 計
鳥 羽 １ ０ ３ ０ １ ２ ０ １ ０ ８
長野商 ２ ０ ０ ３ ０ ０ ０ １ × ６
１回の表の１点は先制点だから、勝ち越しとは言わない。１回の裏の２点は逆転だからカウント１します。
３回の表の３点は再逆転だからカウント２します。
４回の裏の３点は再々逆転だからカウント３します。
５回の表の１点は同点で勝ち越しではないので、カウントはしない。
６回の表の２点は勝ち越しだから、カウント４します
以上、逆転または勝ち越しが回数として４回をカウントします。
この試合が一番動きの激しい試合であったことを意味しています。
表にします。２０００年夏の大会も準備します。
逆転・勝ち越しが起った回数 ２０００年春のセンバツ ２０００年夏の大会
０ 回 １６試合 試合
１ 回 ７試合 試合
２ 回 ５試合 試合
３ 回 ２試合 試合
４ 回 １試合 試合
上の表がポアソン分布をしているかをみてみます。
ちょっと、数学の専門的な式になりますが、ポアソン分布の確率密度関数は
です。
ここで、ｘは逆転または勝ち越しの回数を代入、ｍはデータの平均値で、この場合は
ｍ＝（１×７＋２×５＋３×２＋４×１）／３１＝２７／３１＝０．８７１…
これは、この年のセンバツでは、逆転または勝ち越しが１試合平均０．８７１回起こったことを意味しています。
逆転・勝ち越しが起こる確率 理論値 実際の試合数
０回 ０．４１８５×３１ １２．９７４９ １６
１回 ０．３６４５×３１ １１．３００８ ７
２回 ０．１５８８×３１ ４．９２１３ ５
３回 ０．０４６１×３１ １．４２８８ ２
４回 ０．０１００×３１ ０．３１１０２ １
太郎さんは、この２０００年夏も調べてみます。
NO.802
2000.4.11. Junko どんな三角形？（３）
２つの1/4円がぶつかった点をＦとします。
△ＡＢＦは正三角形ですから、内角はすべて６０゜です。
次に△ＢＣＦに注目すると、ＢＣ＝ＢＦより二等辺三角形であることがわかります。
∠ＣＢＦ＝３０゜ですから、∠ＢＣＦ＝７５゜となります。
従って∠ＦＣＤ＝１５゜となり、実は点Ｆは問題にある点Ｅと一致することがわかります。
つまり△ＡＢＥは正三角形だというわけです。
ですから問題にある△ＡＤＥは二等辺三角形です。
NO.803
2000.4.18. 水の流れ 積の期待値（１）
このｎ枚のカードから無作為に同時に２枚のカードを取り出すとき、
書かれた数の積の期待値Ｅ２（ｎ）をｎで表せ。
また、ｎ→∞ のときの、Ｅ２（ｎ）／ｎ２ → ？ を求めよ。
このｎ枚のカードから無作為に同時に３枚のカードを取り出すとき、
書かれた数の積の期待値Ｅ３（ｎ）をｎで表せ。
また、ｎ→∞ のときの、Ｅ３（ｎ）／ｎ３ → ？ を求めよ。
と、質問を受けました。随分、悩んだ思い出があります。皆さん！考えてください。
NO.804
2000.4.21. Junko 積の期待値（２）
ただし、同じ数を２枚ひくことはありえませんから、12+22+32+･･･+n2を引かねばなりません。
また、1×2と、2×1は同じことですから、２で割ります。
更に、それぞれの確率は皆同じで、1/nＣ2ですから、期待値Ｅ２（ｎ）は
NO.805
2000.4.26. Junko 積の期待値（３）
改めて計算し直しててみます。
従って、Ｅ２(n)＝(n+1)(3n+2)/12
極限の方は影響ありません。
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