コロキウム室

(一部訂正4/4 Junko)

その値を具体的に求めてみましょう。

実際、a=0.498060･･･,b=-0.154738･･･となるので

第４９回数学的な応募問題

太郎さんは、子供が中学時代のとき、
「正方形ＡＢＣＤについて、∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ＝１５゜のとき、 図のような三角形ＡＥＤはどんな三角形であるか、調べて、それを証明しなさい。」
と、質問を受けました。随分、悩んだ思い出があります。皆さん！考えてください。
太郎さんは、早速、図のような点Ｅを描いて考えてみようと思っています。

（群の準同型定理とガロアの基本定理の後半）

Ａｒｔｉｎ先生にガロア理論を語ってもらう前に色々準備する事があります。
Aを集合としてRをその同値関係としましょう。 このとき商集合A／Rを作ることができました。
また写像ｆ：A→A／Rをｆ（a）＝C（a）で定めればこれは全射でした。 これを自然な写像といいます(natural map)。
一般に写像ｇ：A→Bを用いて集合A上に同値関係を定める事ができます。
Ｒ_ｇ：＝｛（a、ｂ）∈A×A｜ｇ（a）＝ｇ（ｂ）｝とすると、 これは明らかにA上の同値関係で、自然な写像ｆ：A→A／Rについては〜＝Rが成り立ちます。

（定理１）
Ａを空でない集合、ＲをＡ上の同値関係とし、ｆ：Ａ→Ａ／Ｒを自然な写像とする。
また写像ｇ：Ａ→Ｂ（Ｂ≠φ）は次の性質を満たすと仮定する。
ａ、ｂ∈Ａに対し、ａＲｂならばｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）…（１）
このとき写像ｈ：Ａ／Ｒ→Ｂがｇ＝ｈｆを満たすように一意的に定まる。

（証明）
まずｈがｗｅｌｌ‐ｄｅｆｉｎｅｄであることを示しましょう。
ｆが全射なのでＡ／Ｒの任意の元についてＡの元が必ず対応しています。 ですからＡ／Ｒから元Ｃ（ａ）を取れて、Ｃ（ａ）＝Ｃ（ｂ）を仮定しましょう。 すると分割の補題からａＲｂですので、（１）の条件からｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）です。 ですからｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（Ｃ（ｂ））であってｈはｗｅｌｌ-Ｄｅｆｉｎｅｄであることがわかりました。
またこのｈが一意的に決まることを示しましょう。
それにはｈと同じ性質を満たすｈ´が存在したならｈ＝ｈ´である事を言えばいいですね。
∀Ｃ（ａ）∈Ａ／Ｒに対しｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（ｆ（ａ））＝ｈ´（Ｃ（ａ））。 よってｈ＝ｈ´です。従ってｈはｇ＝ｈｆを満たすように一意的に取れました。　　　　　（証明終わり）

（補題１）
上のｈに対しては次が正しい。すなわちｈが単射⇔Ｒ＝Ｒ_ｇ

（証明）
まずｈを単射と仮定してＲ＝Ｒ_ｇを示しましょう。
ＲやＲ_ｇは集合ですから例のごとく 「⊆」かつ「⊇」を示せば良い訳です。
上の定理の（１）はＲ⊆Ｒ_ｇを表しています。 またａＲ_ｇｂとしますと ｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）ですからｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（Ｃ（ｂ））で、 仮定からｈは単射ですからＣ（ａ）＝Ｃ（ｂ）。 よってａＲｂです。これでＲ＝Ｒ_ｇがいえました。
次にＲ＝Ｒ_ｇを仮定してｈが単射であることを示しましょう。
ｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（Ｃ（ｂ））はｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）を示していますからａＲ_ｇｂです。 いまＲ＝Ｒ_ｇよりａＲｂですからＣ（ａ）＝Ｃ（ｂ）が正しく、 ｈが単射であることを示しています。　　　　（証明終わり）
このことから次のコロラリーを得ます。

（コロラリー１）
やはり上の定理のｈにおいて、もしｇが全射で、Ｒ＝Ｒ_ｇならば、ｈは全単射である。

ここでファクターグループについてやっておきましょう。 Ｇを群、Ｎをその正規部分群としたときＮがＧ上に定める２つの同値関係 Ｒ_１とＲ_２は一致しました。 Ｇ／Ｒ_１＝Ｇ／Ｒ_２ですが、 これをＧ／Ｎと書いてＧのＮによるファクターグループといいます。 すなわちＧ／Ｎ＝Ｇ／Ｒ_１＝Ｇ／Ｒ_２です。
ちなみにこのＧ／Ｎの演算は次でうまく定まります。
ａＮ・ｂＮ＝（ａｂ）Ｎ
この演算がｗｅｌｌ‐Ｄｅｆｉｎｅｄであることと、 この演算によってＧ／Ｎが群になることは皆さんに任せたほうがいいでしょう （これはぜひやってほしい。その際、単位元と逆元に特に注意してください）。
Ｇ／Ｎは群となりますから、写像ｆ：Ｇ→Ｇ／Ｎはｆ（ａ）＝ａＮで群の準同型写像になり、 全射です。これは本質的に自然な写像ですね。 このｆについては環写像の時と同様、Ｋｅｒ（ｆ）＝Ｎが成り立ちます。

（定理２）
ｇ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とし、ＮをＧの正規部分群でＫｅｒ（ｇ）に含まれるものと仮定する。 このときｈ：Ｇ／Ｎ→Ｇ´なる準同型写像がｈ（ａＮ）＝ｇ（ａ）となるように一意的に決まる。

（証明）
定理１をうまく使います。
今は同値関係としてＲ_２を採用しましょう （もちろんＲ_１でも一向に差し支えありません）。
ａＲ_２ｂとしますと、 ａｂ^‐∈ＮですからＮ⊆Ｋｅｒ（ｇ）に注意してｇ（ａｂ^‐）＝ｅ´ （ここでｅ´はＧ´の単位元） であって、ｇは準同型写像よりｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）が正しい。
よって定理１の（１）の条件を満たしたので、 ｈがｈ（ａＮ）＝ｇ（ａ）なるように一意的に決まる。
これが準同型写像であることは、 ｈ（ａＮ・ｂＮ）＝ｈ（（ａｂ）Ｎ）＝ｇ（ａｂ）＝ｇ（ａ）ｇ（ｂ）＝ｈ（ａＮ）ｈ（ｂＮ） であることに従います。もちろんａやｂはＧの任意の元です。
　　　　（証明終わり）

（コロラリー２）
ｇ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とする。
このときｈ：Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）→Ｇ´で、∀ａ∈Ｇに対しｈ（ａＫｅｒ（ｇ））＝ｇ（ａ） を満たす準同型写像が一意的に存在する。
特にＧ／Ｋｅｒ（ｇ）〜Ｉｍ（ｇ）である。

「コロラリーって何ですか？」という質問を受けた事があります。
「コロラリー」とは「系」のことです。 つまりある結果（定理）が得られた際、そこからすぐに導かれる「副産物」といえます。 ですからコロラリーの証明は省かれるのが普通です。
僕もコロラリーの証明は暗黙のうちに皆さんに任せている事が多いです。 でも、上のコロラリー２の証明はなかなか得るところが多いのでやっておきましょう。

ところで、群の準同型写像ｆ：Ｇ→Ｇ´において、 Ｋｅｒ（ｆ）：＝｛ａ∈Ｇ｜ｆ（ａ）＝ｅ´｝です。

（コロラリー２の証明）
まず、Ｋｅｒ（ｇ）がＧの正規部分群であることを示しましょう。
Ｋｅｒ（ｇ）＝Ｎとおきますと、∀ａ∈Ｇに対して、 ａＮ＝Ｎａを示せばいいということですが、 一般にＧを群としＮをその正規部分群とすると次の補題が成り立ちます。

（補題２）
ＮがＧの正規部分群⇔ａＮａ^‐⊆Ｎ（∀ａ∈Ｇ）
この補題をまず示しましょう。
ＮをＧの正規部分群と仮定します。
∀α∈ａＮａ^‐を取ると、α＝ａｎａ^‐と書けます。
もちろんｎはＮの元です。 正規部分群の定義からＮの元はＧの全ての元と可換なので
α＝ａｎａ^‐＝ｎａａ^‐＝ｎｅ＝ｎ∈Ｎ。
よってａＮａ^‐⊆Ｎです。
逆にａＮａ^‐⊆Ｎを仮定しましょう。
すると∀ｎ∈Ｎに対して、ａｎａ^‐＝ｎ_１とＮの元ｎ_１が取れます。
ですからａｎ＝ｎ_１ａとなってａＮ⊆Ｎａ。
一方（ａ^‐）^‐＝ａに注意して（２度逆元を取ると元に戻る）、 Ｎの任意の元ｎに対して（ａ^‐）^‐ｎ（ａ^‐）＝ｎ_２なる Ｎの元ｎ_２も存在します。
このことから（ａ^‐）ｎ_２＝ｎ（ａ^‐）となって ａは任意だからａ^‐を改めてａと書く事ができてＮａ⊆ａＮ。
よってａＮ＝ＮａがＧの任意の元ａについて成り立ち、Ｎは正規部分群です。（補題の証明終わり）
さて、この補題を使うとＫｅｒ（ｇ）がＧの正規部分群であることはすぐにわかります。
Ｎ＝Ｋｅｒ（ｇ）とおいていることに注意して、∀ａｎａ^‐∈ａＮａ^‐を取ってｇで移すと、
ｇ（ａｎａ^‐）＝ｇ（ａ）ｇ（ｎ）ｇ（ａ^‐）＝ｇ（ａ）ｅｇ（ａ）^‐＝ｇ（ａ）ｇ（ａ）^‐＝ｅ。
よってａｎａ^‐∈Ｎですから補題よりＫｅｒ（ｇ）＝ＮはＧの正規部分群です。
ですから定理２より準同型写像ｈ：Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）→Ｇ´がｈ（ａＫｅｒ（ｇ））＝ｇ（ａ） を満たすように一意的に決まります。
さらにｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）ならばａｂ^‐∈Ｋｅｒ（ｇ）なので補題１によりこのｈは単射です。
またμ：Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）→Ｉｍ（ｇ）をμ（ａＫｅｒ（ｇ））＝ｇ（ａ）で定めれば これは明らかに全射ですから、μ＝ｈに注意してｈは全射です。
よってｈは準同型写像で全単射ですから、Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）〜Ｉｍ（ｇ）が成り立ちます。 （コロラリー２の証明終わり）

ｆ：Ｒ→Ｓを環写像としますとＲ〜Ｓとはｆが全単射になることでした。 群のレベルでも全く同じです。
すなわちｆ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とするとＧ〜Ｇ´とは ｆが全単射になることなのです。
それから今示したコロラリー２の事を群の準同型定理といいます。
では、いよいよＡｒｔｉｎ先生のお出ましです。皆さん、お静かに。

（ガロアの基本定理の後半…fundamental Galois theorem stage2）
前半同様にK／Fを有限次のガロア拡大とする。 A∋E⇔H∈Bをガロアの基本定理の前半で対応させた中間体と部分群とする。 この時、次が正しい。

1. K／Eはガロア拡大で、Hはガロア群
2. σ∈G＝Gal(K／F)に対して、σ（E）⇔σHσ−と対応する。
   E／Fがガロア拡大である必要かつ十分条件はHがGの正規部分群となることである。
3. さらにこのとき、Gal(E／F)〜G／Hが正しい。
   （注：ここで書いた「⇔」は同値という意味ではなく「対応」を表している）

（証明）

1. （１）はすでにガロアの基本定理の前半でE＝K（Gal(K／E)を示しているので、 よい（ガロア拡大とはこういう物でした。 またここではH＝Gal(K／E)と取れていることに注意してください）。
2. （２）を考える。
   τ∈Gal(K／σ（E）)を取ると、 これはσ（E）の元を固定するK上自己同型なので∀σ（e）∈σ（E）に対してτ（σ（e））＝σ（e） であり、よってσ⁻τσ（e）＝eである。
   従ってσ⁻τσはEの元を固定しているK上自己同型なので、σ⁻τσ∈Gal(K／E)。 これはτ∈σGal(K／E)σ⁻を意味する。
   つまりGal(K／σ（E）)＝σGal(K／E)σ⁻である。これで（２）が言えた。
3. 最後の（３）を考える。
   （２）の最後の式をじっと見つめると、次がわかる。
   すなわち「σ（E）＝Eならば、HはGの正規部分群となっている。これは逆も正しい」
   （正規部分群Hとは∀σ∈Gに対してσH＝Hσでした。 これよりH＝σHσ⁻が成り立つ事はよいでしょう。補題２を見てください。もちろん逆も然りです）。
   これにより示すべき事は 「σ（E）＝Eが∀σ∈Gについて成り立つ必要かつ十分条件は体の拡大E／Fがガロアとなること」である。
   まず∀σ∈Gについてσ（E）＝Eを仮定する。
   σ∈Gに対してσ´＝σ｜_EはE上自己同型となる。
   つまりσ´の集合をG´と書くとこれは群をなすから、
   ε：G∋σ→σ´＝σ｜_E∈G´は群の準同型写像であり、Ker(ε)＝Gal(K／E)＝Hが成り立つ。
   なぜならばG´の単位元はE上の恒等写像１_Eであるから。
   よって群の準同型定理によってG´〜G／H。またK（G）＝Fであるから （不変体の定義からこれは明らかでしょう）、
   G´⊂Gal(E／F)を考えればE（G´）＝F。 よって拡大E／Fはガロアで、Gal(E／F)＝G´〜G／Hがわかる
   （これはガロアの定理です。前回の内容を参照してください）。
   逆を示す。すなわちE／Fをガロアとする。
   するとガロアの定理から｜Gal(E／F)｜＝［E：F］が正しく、 さらに｜｛τ：E→K｜τは環写像でτ｜_F＝１_F｝｜≦［E：F］である。
   よってGal(E／F)⊂｛τ：E→K｜τは環写像でτ｜_F＝１_F｝⊃G´であるが、 ⊂は等号となり、従ってσ｜_E∈Gal(E／F)。
   つまり、σ（E）＝Eがわかる。　　　（証明終わり）
   

Ａｒｔｉｎ先生どうもありがとうございました（拍手）。
Ａｒｔｉｎ先生にはまた後で登場していただきます。
やはり少し高度ですね。 本当は予定を変更してガロアの基本定理の後半はやらずに、 すぐに可解群の説明に入ってしまおうかと思ったんですが、 あえて取り上げて見ることにしました。

さて、前回証明をせずに使ってしまったベクトル空間の性質 （厳密には連立方程式の性質）を証明してしまいましょう。
これは現在出版されているあらゆる線形代数の本には必ず出ていますから、 そこからそのまま抜粋します。

（補題）

体Ｋの元を係数とし、ｘ_１、ｘ_２、…ｘ_ｎを 未知数とする連立方程式

ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋…ａ１ｎｘｎ＝０

ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋…ａ２ｎｘｎ＝０

……

ａｍ１ｘ１＋ａｍ２ｘ２＋…ａｍｎｘｎ＝０

は、ｎ＞ｍであれば非自明な解、つまりｘ_１…ｘ_ｎのいずれかは０でない解をもつ。

（証明）
もしすべての係数が０ならば、 例えばｘ_１＝１と取れるので、非自明解を持つ事になる。
従って以後０でない係数があると仮定する。よってａ_１１≠０としてよい。ここで、
Ｌ_ｋ＝ａ_ｋ１ｘ_１＋ａ_ｋ２ｘ_２＋…ａ_ｋｎｘ_ｎ とおく。
さらに最初の式、Ｌ_１＝０の両辺にａ_１１の逆元、 ａ_１１^-をかけることにより、 ａ_１１＝１と仮定してよいことがわかる
（体だから、こういう事ができるわけです）。
そこで連立方程式（この連立方程式を（１）とおく）

Ｌ１＝０

Ｌ２−ａ２１Ｌ１＝０

…

Ｌｍ−ａｍ１Ｌ１＝０

を考えると、この解は元の連立方程式の解と一致している。
またこの連立方程式の２番目以降の方程式にはｘ_２、ｘ_３、…ｘ_ｎしか現れない。
そこでｎに関する帰納法によりこの補題を証明する。
ｎ−１個の未知数に関するｍ−１個の方程式

Ｌ２−ａ２１Ｌ１＝０

…

Ｌｍ−ａｍ１Ｌ１＝０

は非自明な解、ｘ_ｋ＝α_ｋ、ｋ＝２、３、…ｎ　を持つと仮定してよい。
すると、 α_１＝−Σａ_１ｄα_ｄ　　（２≦ｄ≦ｎ） とおくと、
ｘ_ｋ＝α_ｋ、ｋ＝２、３、…ｎは連立方程式（１）の、 従ってもとの連立方程式の自明でない解をあたえる。　　　（証明終わり）

またNO.771　ガロア理論の心（２） で書いた補題２も簡単なので、証明します …その前にベクトル空間上の全ての元は基底の一次結合として一通りに書けるということは、 知っている方が多いと信じていますし、仮に知らなくても、 例えば２次元平面を考えて基本ベクトル（１，０）と（０、１）を考えればこれは基底で 、平面上の全ての元はこの基底の一次独立の形として一通りに決まる事はすぐにわかります。 だからこの事実は認めましょう。 （厳密な証明はＺｏｒｎの補題、あるいはそれと同等な選択公理、 整列定理を使って基底が必ず存在する事をいいます。 興味のある方は代数学の入門書などをお読みください）
まず補題２をもう一度書きます。

（補題２）

Ｍ→（ａ）Ｎ→（ｂ）Ｋを有限次の体の拡大列とすると（従ってａもｂも有限）、 ［Ｋ：Ｍ］＝ａｂが正しい。
これは体の拡大に関する基本的な結果なのでぜひとも証明しておく事柄です。

（補題２の証明）

Ｋの一組の基底、｛α_１、α_２、…α_ｂ｝を取ってきます。
いま［Ｋ：Ｎ］＝ｂですから、このようにｂ個だけ取れるわけですね。
Ｋの全ての元はこのα_１、…α_ｂの一次結合として一意的に書けます。
すなわち、∀ｍ∈Ｋは、ｍ＝�狽�_ｓα_ｓ、（１≦ｓ≦ｂ）と一通りに書けます。
ここで、係数ｃ_１、…ｃ_ｂはＮの元です。
［Ｎ：Ｍ］＝ａですから、やはりＮの一組の基底、 ｛β_１、β_２、…β_ａ｝が取れて Ｎの任意の元はこの基底の一次結合として一通りに書けます。 ですからｃ_１、…ｃ_ｂはこのβ_１、…β_ａの 一次結合で書けるわけです。
つまり、 ｃ_Ｓ＝�狽�_ＳＷβ_Ｗ、（１≦Ｗ≦ａ） と書けます。 ここでもちろんｄ_ＳＷはＭの元です。
よってｍ∈Ｋはｍ＝�煤iｄ_ＳＷβ_Ｗ）α_Ｓ＝ �狽�_ＳＷβ_Ｗα_Ｓです。
したがってＫの全ての元はａｂ個の元の一次結合でかかれる事がわかりました。
次元の定義から、あと示すのはこのａｂ個の元がＭ上一次独立になっていることです。
�狽�_ＳＷβ_Ｗα_Ｓ＝０としますと、 ｃ_Ｓ＝�狽�_ＳＷβ_ＷはＮの元ですから
α_ＳがＮ上で一次独立なので∀ｓについて ｃ_Ｓ＝０＝�狽�_ＳＷβ_Ｗ。
β_ＷはＭ上一次独立なので∀ｗに対して、 つまり∀ｓ、ｗに対してｄ_ＳＷ＝０。
これで題意は満たされました。　　　　　（証明終わり）
この証明はそんなに複雑ではなく、一次独立や、基底の意味をしっかりと掴んでいれば、 定義に沿う証明です。

今回は内容がやや多くなったのでここまでにして、次回は可解群を定義します。 可解というのは「解く事ができる」という意味ですが、 解ける群とはいったいどんな群なのでしょうか？ またそれが方程式を代数的に「解く」という事とどのように関わってくるのでしょうか？ そこら辺の事情を理論化、精密化するのが次回の内容です。

まず、30°、60°、90°の直角三角形abcを考えます。
∠aの二等分線を引き辺bcとの交点をdとすると三角形adcは 15°、75°、90°の直角三角形になります。
ここで角の二等分線における定理よりbd:dc＝ab:acとなるので このことよりac:dc、つまり15°、75°、90°の直角三角形の 斜辺でない長辺と短辺の比が１:2-となることがわかります。

（問題の正方形で、点Eを通るように辺BCの平行線を引き、 その平行線と辺ABとの交点をF、辺CDとの交点をGとして下さい。）
正方形の辺の長さを２とすると上のことよりEG＝2-となるので FE＝2-(2-)＝となり、
BF＝1より 三角形BFEは30°、60°、90°の直角三角形となります。
∴三角形AEBは正三角形


ちょっと力技のような気もしますが、太郎さんも中学時代と言っていたので 中学生っぽい解き方でいいんですよね。

先月の正六角形の問題の解答です。
求めかたは複素数を使って面積比を出すやりかたです。
この問題もいつも通り一般化してみました。
正ｎ角形の辺をa:bに分けてその内分点を結んで出来る小ｎ角形との比を求めました。
小ｎ角形／大ｎ角形＝R_n(a:b)とおくと R_n(a:b)=(a²+2abcos(2π/n)+b²)/(a+b)²
今回の問題ではｎ＝6、a:b=1:3なのでR₆(1:3)=13/16となり、 答は13:16です。

ｘ≧０のときのｙ＝cosh ｘのの逆関数は

で，ｘが全実数のときのｙ＝cosh ｘのの逆関数は

なんでしょうか？

双曲線関数の定義って 双曲線の任意の点(x，y)と原点のなす角をθとしたとき
(x，y)＝(cosh x，sinh x)と定義するってことなんですか？
それとも，

とするってことなんですか？

双曲線関数(hyperbolic function)は、以下のように定義されます。

グラフは右のようになります。
この関数は、おもしろいことに三角関数に似た性質を持っています。
定義からすぐわかるように、y=cosh x は偶関数、y=sinh x ,y=tanh x は奇関数です。
[参考]偶関数：ｆ(ｘ)＝ｆ(−ｘ)　　　　奇関数：：ｆ(ｘ)＝−ｆ(−ｘ)　

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