Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.51

コロキウム室



NO.426　　　　'99 4/1 　　 水の流れ 　　　ゼーター関数物語（４８）
　　

ゼーター関数ζ（２）物語第１５夜の始まり、始まり。
最後の夜ですから、ちゃんと眠らないで読んでください。 第１４夜に４つの宿題をだしましたね。
これらは、見事にNO.423に解かれています。 （４）を見て下さい。


この値はNO.387にある リーマン・ゼーター関数ζ（２）の逆数そのものです。 もう一度この素晴らしい公式を書きます。


となります。

こんなシンプルな問題の中に、偉大なオイラーの功績が隠されていよう とは思いも寄りませんでしたし、１７世紀後半から、 ヨハン・ヤコブのベルヌーイ兄弟の必死の研究経過も含まれていました。

このきっかけをくださったコロキウム室の多くのco-woｒkerさんに、 このネット上で感謝申し上げます。 誠にありがとうございました。
また、一番参考にし、多くの引用をさせて頂いた 【数学の知性（Ｗ．ダンハム著／中村由子訳）：現代数学社】の関係者の皆さんには 厚くお礼申し上げます。
これをもちましてゼーター関数ζ（２）物語の幕を下ろさせて頂きます。 明日はちょうど満月に当たります。 仕事をしたーという充実感に満足しつつ、 満天の夜空に輝く１つ１つの星と数学の至高の美を眺めることにします。 また、何かの折りにお会いできることを楽しみにしつつ、Ｇｏｏｄ　ｎｉｇｈｔ！



NO.427　　　　'99 4/1 　　 水の流れ 　　「素数の話」（２）
　　

三つ子素数は、差が２のものは「３、５、７」以外ないですね。
考えてみれば、３Ｋ、３Ｋ＋２、３Ｋ＋４
　　　　　　　３Ｋ＋１、３Ｋ＋３，３Ｋ＋５
　　　　　　　３Ｋ＋２、３Ｋ＋４、３Ｋ＋６
のどのパターンも場合も、どこかに３の概数があります。
ただ、例外が上の場合だけです。 だから、自分で、三つ子素数を定義しなさいと言われています。
１つに、２つの素数の差が２，次の２つの素数の差が４
　　　＜例：１１，１３，１７＞
２つの素数の差が４，次の２つの素数の差が２
　　　＜例：５，７，１１＞　
と定義しましょう。勿論、無数にあります。証明は知りませんが。



NO.428　　　　'99 4/2 　　 水の流れ 　　　 折り曲げた台形の面積（１）
　　

第１２回数学的な応募問題

太郎さんのお子さんは折り紙が好きです。
ここに、正方形の折り紙ＡＢＣＤがあります。 下の図のように、この折り紙のＤ点をＡＢ上のどこかに 重ねるように折り曲げます。 このとき、折れ曲がった部分の面積を（赤い部分） をなるべく少なくするには、ＡＢ上のどこにＤ点を重ねればよいでしょうか？
太郎さんも童心にかえって、いろいろと折り曲げて考えることにしました。 皆さんも、考えてください。　




NO.429　　　　'99 4/3 　　 月の光 　　　 ゼーター関数物語（４９）
　　




NO.430　　　　'99 4/3 　　 Junko 　　　 折り曲げた台形の面積（２）
　　

(一部修正+追加　4/4,0:30)

長方形の縦横の長さを、a,bとします。
(問題を勘違いして長方形だとして考えてしまいました。
a=b とすれば正方形ですからいいですよね)
右図のように、AE=x、AG=yとすると、EG=GD=b-y。
△AGEに三平方の定理を適用し、 x2+y2=(b-y)2
これより、y=(b2-x2)/(2b)

△AGEと△BEHは相似なので、y：(b-y)=(a-x)：z
z=(b2+x2)(a-x)/(b2-x2)
更に、△BEHと△IFHは相似なので、x：y=(a-z)：w
w=(1/2b)(-2ax+b2+x2)

赤い部分の面積をSとすると、 

S=(1/2)EI(EG+IF)
 =(1/2)a{(b-y)+w}
 =(a/2b)(x2-ax+b2)
 =(a/2b){(x-a/2)2-a2/4+b2}
従って、x=a/2のときが面積最小となり、最小値S=(a/2b)(-a2/4+b2)
つまりABの中点にEがきたときが最小です。




NO.431　　　　'99 4/5 　　 水の流れ 　　　春の全国高校野球（１）
　　

春の全国高校野球は沖縄尚学高校が沖縄県として、初めての優勝 おめでとうございます。

さて、高校野球は先取点の入ったテームが勝つとよく言われます。 今回を例にして、分析しました。

また、ファンにとって、逆転につぐ逆転の試合は忘れられない感動を与えます。
（１）先取点が入って、同点にされてもそのまま終わった試合を@
（２）先取点が入って、逆転して（同点になっても）終わった試合をA
（３）先取点が入って、逆転されても再逆転して終わった試合をB
　以下、この逆転の回数で、C、D、Eと分類していきます。
だから、丸数字が奇数の場合は先取点の入ったテームが勝ち。
丸数字が偶数の場合は先取点の入ったテームの負け。
となります。当然、丸数字の多い方が面白い試合で楽しむことができたことになります。 決勝戦までの３１試合をこのように分析しました。その結果、
@は１４試合
Aは５試合
Bは６試合
Cは３試合
Dは２試合
Eは１試合　でした。
そこで、丸数字の奇数は１４＋６＋２＝２２
これを３１で割ると２２／３１＝０．７１・・・　で高い確率で勝っています。 これで、ジンクスは確かだ言えます。
また、この丸数字の決まったイニングは１回から３回で１５試合 このうち@のチームが１２テームあります。 ４回から６回で３試合、７回から９回で６試合、延長戦の場合が７試合でした。
一言で言うと、早いイニングで先取点が入ると高い確率で勝ち易いと言えます。
ここで、逆転につぐ逆転だったEの分類のスコアを書きます。
皆さんは、どんな試合が一番印象に残っていますか？ 

　　　１　２　３　４　５　６　７　８　９
横浜　１　０　２　０　０　２　０　０　０
ＰＬ　２　１　１　１　０　０　０　１　×
@は１回表
Aは１回裏
Bは３回表（その後ＰＬが勝ち越したからカウントします）
Cは３回裏
Dは６回表（その後ＰＬが勝ち越したからカウントします）
Eは８回裏
として、カウントしましたし、一番動きの激しい試合でした。
また、Dの試合はは３１日の行われた平安と駒沢大の延長１０回と 準決勝の沖縄尚学とＰＬの延長１２回の２試合でした。
夏の試合はどんな予想もできないドラマが待っていますか。 楽しみに待つことにします。



NO.432　　　　'99 4/3 　　 ヴァ− 　　　 折り曲げた台形の面積（３）
　　

正方形の一辺の長さは2であるとして話をすすめていきます。
これは別に何でも構わないのですが、話のしやすさから2にします。

まず、折り曲げた部分の四角形EGFH(赤)は四角形DGFC(黄色)と合同な図形です。
なぜなら、この２つの四角形は直線GFについて線対称の関係にあるからです。
そのため、ここでは四角形DGFCの面積を考えて行きます。

四角形DGFCは角D=角C=90°の台形です。
だから、四角形DGFCの面積は次のように求めることができます。
四角形DGFCの面積 = ( DG + CF ) × DC ÷ 2
そのため、DG、CF、DCの長さが分かれば、四角形DGFCの面積も分かります。 まず、DCは正方形の1辺なので、DC = 2 です。 次に、DGを考えますが、DGの長さは折り曲げ方によって変わって来るので、その点に気をつけます。

まず、DEとGFの交点をIとします。
そして、AD、BCの中点をそれぞれJ、Kとします。
AJ = DJ および EI = DI であることから、IはJK上にあることが分かります。
ここで、DG = DJ + JG = 1 + JG であるので、JGの長さを求めたいです。
すると、三角形DAE(水色) と 三角形IJG(緑色) は相似であるので、
AE：AD = JG：JI
つまり、JG = AE×JI/AD = 2JI × JI / 2 = JI2 になります。
よって、DG = 1 + JG = 1+JI2
です。
JI=xとおけば、DG = 1 + x2 です。


続いて、CFですが、CF = CK - KF = 1 - KF なので、KFの長さを求めたいです。
すると、三角形IJG(紫色) と 三角形IKF(水色)は相似なので、
IJ：JG = IK：KF
つまり、KF = JG×IK/IJ = x2×( 2-x ) / x = x (2-x) になります。
よって、CF = 1 - KF = 1 - x (2-x)です。
したがって、
四角形DGFCの面積 = ( DG + CF ) × DC ÷ 2
に、DG、CF、DCを代入してくちゃくちゃ計算をすると、

四角形DGFCの面積 = 2( x2 - x + 1 ) になります。


ここで、x = JI は 0から1の間を動く実数と考えて、
つまり、0 ≦ x ≦ 1 における 2( x2 - x + 1 ) の最小値を求めればよいことになります。
ここで、
2( x2 - x + 1 ) = 2 ( x - 1/2 )2 + 3/2
であるので、
四角形DGFCの面積はJI=1/2 のときに最小値3/2をとることが分かります。

JI=1/2 というのは、つまり、EがABの中点に来るとき最小になるということです。

グラフは、
y = 2( x2 - x + 1 )
の図示です。




NO.433　　　　'99 4/3 　　 ヴァ− 　　　 折り曲げた台形の面積（４）
　　


No.428 「折り曲げた台形の面積の問題」について、正方形の中で折り曲げられる可能性のある部分を色づけしてみました。

ここで問題です。
上の図で色がつけられている部分の面積はどれだけでしょう。
正方形の1辺の長さをaとして答えて下さい。




NO.434　　　　'99 4/5 　　 水の流れ 　　　オイラーの「無限解析入門（１）」
　　

(一部修正　4/5,22:30)

(最後の式表記ミス訂正 Junko 4/7)

オイラー（１７０７年４月１５日〜１７８３年９月１７日）の数学と言うと 夜空に輝く北極星☆が思い浮かびます。 自然に流れるようなオイラーの数学は、その手書き文字にもよく表れているように、 明るく楽しい、とりわけ、２５０年前に出版されたオイラーの代表作「無限解析入門（１）」 （１７４８年刊）は、実に分かりやすく、表記法について曖昧さなど微塵もなく、 根本的な概念を示せるように工夫されています。
全体は１８章からなり、大きく分けて、次の（イ）〜（ニ）に分類できます。
（イ）第１章〜第５章：多項式、有理関数、代数関数
（ロ）第６章、第７章：指数関数、対数関数
（ハ）第８章、第９章、第１１章、第１４章：三角関数
　　　第１０章、第１５章：ゼーター関数論 （この名前はオイラーの約１００年後のリーマンが付けた関数）
（ニ）第１２章：部分分数展開
　　　第１３章：有理関数のべき級数展開
　　　第１６章：分割数
　　　第１７章：代数方程式の根の近似計算法
　　　第１８章：連分数

「無限解析入門（１）」は、没後２１６年すぎて、全集が１００巻に近付きつつあるが、 まだ出版が続いている現状です。 なお、「無限解析入門（２）」もあり、そこでは、一転して、 曲線や曲面の解析幾何学が扱われています。
先日、ゼーター関数ζ（２）物語で書きましたように、 オイラーは１７３５年（発表は１７３４年）に、ζ（２），ζ（４），・・・ を求めましたが、その後、研究は当然続いていました。 １７４９年に、ζ（０），ζ（−１），ζ（−２），・・・， ζ（ｓ）とζ（１−ｓ）の関係を発見しています。
さらに、１７７２年には、ζ（３）の表示を書いています。
「無限解析入門（１）」の第１５章によると、



と表示してあります。 決して、ゼーター関数ζ（ｓ）のｓが奇数の場合についても、諦めていませんでした。
＜誰かこの計算式の値を求めてください！！＞
第１０章では、次のような和も求めています。


＜注：最初の式は１４００年頃、南インドのマーダヴァが発見したものであり、 １６７０年代にヨーロッパにおいて、グレゴリーやライプニッツが再発見している。 オイラーの興味のきっかけを与えたものであったし、 最後の式はニートンが１６７６年に発見していました。＞
ここで、あげた等式は約９０年後の１８３７年にデｨリクレによって、 ”デｨリクレのＬ関数”の特殊値として定式化さてれいます。
第１０章の終わりでは、



が得られています。 皆さん！　ａ→０のとき右辺が一体どんな値に近づくか考えてください。
本当に、驚きの連続です。オイラーは驚嘆すべき偉大な人間でした。 改めて、思い知りました。オイラーに再敬服します。

この原稿を書くにあたり、「数学のたのしみ４月号」：日本評論社 の中にある＜数学書を探る：オイラーの数学＞黒川信重著 を引用し、参考にしました。



NO.435　　　　'99 4/7 　　 月の光 　　　 ゼーター関数物語（５０）
　　










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