Colloquium

NO.253
Weekend Mathematics／コロキウム室／NO.253

NO.1840　　　確率は面積比[3](4) 　2010.2.20.　　DDT

NO.1817，NO.1826と、この手の問題にも慣れてきたので、今回も挑戦します。2つの問題で学んだのは、次のような手順です。 場合分けが無限個ある分布確率を扱う場合、
　　(1)ます確率空間を設定し、確率1になるべき全体積Ｖを決める．
　　(2)　(1)に基づいて、規格化定数を決める．
　　(3)求めたい確率の条件から、Ｖの中の領域Ｒを定める．
　　(4)Ｒの体積を求め、Ｖとの比を取る．
　　(5)比に規格化定数を掛ければ、求めたい確率．
という手順です。誰も言ってくれないと思うので敢えて言いますが、数学の楽しさとは、道具造り（手法造り）の楽しさだと自分は思っています。まぁ、完全に工学系の感覚なのですが、NO.1817，NO.1826とでは、この手の楽しさを味わえたと思うので、今回も同じ方針で行きます（再びヒント無視！）。

１．確率空間の設定

　

　問題には「床一面に等間隔な平行線群がひかれて・・・」とあっさり書かれていますが、床の大きさが有限の場合と、無限に広い場合とで、じつは問題になりそうです。最初は、有限の場合から。
　床の横×縦をb×aとする。ただしa＝4ｍで、ｍは0以上の整数（平行線の間隔4）。 そうすると上図のようになる。このとき針の両端点は対称に扱いたいので、針の中点を(x，y)として、

　　Ａ：(x＋cosθ，y＋sinθ)
　　Ｂ：(x－cosθ，y－sinθ)

で表わせる（針の長さ2）。θの範囲は、0≦θ＜2π。
　床の面積を限定してしまったので、「床に針が落ちる」という事も定義しなければならない。
何故なら落ちた針が、床をはみ出す場合もあり得るから（←この辺りは、まさに工学部）。次のように定義する。
　　針の中点(x，y)が、(x，y) ∈[0，b]×[0，a]に落ちた時、針は床に落ちたと定義にする．
　　ここで[0，b]や[0，a]は、閉区間。
　・・・何かヒントに近くなって来たぞ・・・。
よって確率空間は、[0，b]×[0，a]×[0，2π]となる。x，y，θ方向の規格化定数は、 1/b×dx，1/a×dy，1/2π×dθ。

２．交わる条件
　針の長さは平行線の間隔より短いから、針をどう投げても、平行線の1本としか交われない。 ちなみにこの辺も工学部の感覚です。
（針が2本以上の平行線と交わるなら、「場合わけをやってうやろうじゃないか！」という気になってしまう）
　従って、針と平行線が交わる条件は、([針のＡ点のy座標]－4ｎ)と([針のＢ点のy座標]－4ｎ)が、異符号の場合です。 ここで、0≦ｎ≦ｍで、ｎは整数。それは、

　　(y＋sinθ－4ｎ)( y－sinθ－4ｎ) ≦0　　(1)

と書けます。
　まずxが消えたから、床の幅は無限に広くても良い。そしてこの条件は、(y，θ)で考えれば良いので、2次元（面積比）になった！。(1)を展開すると、

　

または、

　

という事だから、ｎ＝1の場合でグラフにしてみると、下図のようになる。
　ハッチ部が求める面積。ハッチ部の面積は、

　

　従って、0≦y≦4ｍの時は、1≦ｎ≦ｍ－1について独立試行なるので、8×(ｍ－1)が求める面積。
　ｎ＝0とｍについては、下記ハッチ部の上半分と下半分がそれぞれ有効になるから、結局、もう一つ8を足して8ｍ。
　よって求める確率は、規格化定数を考慮して（a＝4ｍ）、

　

と計算できる。この結果にも縦幅は含まれていないから、確率は縦幅にも影響されず、 無限に床が広くても同じ結果になる。ただし縦幅がきっちり4の倍数でない時は、もう少し複雑になって、 倍数で割り切れない端数が付くだろうが、それはa→∞の極限移行で0になると予想できるし、これが求められている結果思える。

答え：

　

　今回は「正解を教えて下さい・・・」などと泣き言は言いません。 コロキウム室のデーマ別の部屋に、ビュッフォンの針問題があるもんね！。・・・うん、正しいようだ・・・^^。めでたし、めでたし・・・^^。

　

NO.1839　　　問題157の覆面算(3) 　2010.2.20.　　夜ふかしのつらいおじさん

※ 「ｌ（小文字のエル）」は数字の「１」と区別がつきにくいので、「ｎ」で表すことにします。

●　この計算を上２桁と下２桁に分けて考えます。
　　上２桁の計算の一の位は、下２桁の方からの繰り上がりがあるかないかわからないので答えをｍ’とします。
　　下２桁の計算の百の位は十の位からの繰り上がりがあるかないかわからないので答えをｍ’’とします。
　　（ｍ’’は０か１です）

　

繰り上がりのことを考えると、ｇ＝１です。

●　下２桁について
　　ｓｅ＋ｎｎ＝ｍ’’ｅｓ
　　（１０ｓ＋ｅ）＋１１×ｎ＝１００ｍ’’＋１０ｅ＋ｓ
　　９ｓ－９ｅ＋１１ｎ＝１００ｍ’’
　　９（ｓ－ｅ）＋１１ｎ＝１００ｍ’’
　・　　ｍ’’＝０のとき
　　　９（ｅ－ｓ）＝１１ｎ
　　　右辺は１１の倍数になります。
　　　（ｅ－ｓ）の因数に１１はないので、ｅ＝ｓ，ｎ＝０しか可能性がありません。
　　　よって、この場合は不適当です。
　　　（ｅとｓは異なるとして）
　・　　ｍ’’＝１のとき
　　　９（ｓ－ｅ）＋１１ｎ＝１００
　　　この式を満たすのは、ｎ＝５、ｓ－ｅ＝５のときしかありません。

　　
１１ｎ0112233445566778899
９（ｓ－ｅ）10089786756453423121
判断×××××○××××

この表の２行目の数が９の倍数になっているのはｎ＝５のときだけです。
　　　ｓ－ｅ＝５となるので、ｓとｅの可能性は次のようになります。
　　　（ｓ，ｅ）＝（７，２）、（８，３）、（９，４）
　　　（ｇ＝１、ｎ＝５より、１と５のないもの）

●　上２桁について
　　ｂａ＋ｂａ＝１ａｍ’
　　２×（１０ｂ＋ａ）＝１００＋１０ａ＋ｍ’
　　１０×（２ｂ－ａ）＋（２ａ－ｍ’）＝１００
　　この式の左辺の前半は１０の倍数です。
　・　　左辺の後半の（２ａ－ｍ’）が０のとき、
　　　（２ｂ－ａ）は１０です。
　　　だから、可能性は（ｂ，ａ）＝（６，２）、（７，４）です。
　　　（ｇ＝１、ｎ＝５より、１と５のないもの。また（８，６）、（９，８）は、１の位の繰り上がりがあるので除きます）

　

　・　　左辺の後半の（２ａ－ｍ’）が１０のとき、（２ｂ－ａ）は９です。
　　　だから、可能性は（ｂ，ａ）＝（８，７）です。
　　　（ｇ＝１、ｎ＝５より、１と５のないもの。また（６，３）は繰り上がらないので除く。（９，９）は同じ数なので除く）

　

● 以上から、（ｂ，ａ）の可能性は、（６，２）、（７，４）、（８，７）
　　　（ｓ，ｅ）の可能性は、（７，２）、（８，３）（９，４）
　　　よって、（ｂａｓｅ）の可能性は、同じ数字が重ならないように（６２８３）、（６２９４）、（７４８３）、（８７９４）です。これらを試してみると、

　

１、２、４番目は答えの百の位が５となりうまくありません。
よって、ｂａｓｅ＋ｂａｌｌ＝ｇａｍｅｓは
７４８３＋７４５５＝１４９３８です。


NO.1838　　　　　有名な無限級数　　2010.1.15.　　水の流れ

第２３７回数学的な応募問題


受験生である生徒から、2010年同志社大学の入試問題を見ることができました。
1996年札幌医科大に出た問題とよく似ていますから、比較しながら解いてみてください。
まずは、札幌医科大の入試問題です。



次に同社大学の問題です。





注：この記事に関する投稿の掲載は、2010年3月8日以降とします。

NO.1837　　　確率は面積比[3](3) 　2010.2.15.　　junko

「ビュッフォンの針の実験」と呼ばれるシミュレーションによって円周率π を近似するというものですね。
かつて、シミュレーションプログラムを作ったものがありますので、お試しください。
　　ビュッフォンの針の実験による円周率π
平行線の間隔30に対して針の長さと投げる本数を指定して、平行線と交わる針の本数を数え、 そこから円周率πを近似するというものです。

NO.1836　　　確率は面積比[3](2) 　2010.2.15.　　夜ふかしのつらいおじさん

針がどこに落ちるか分からないことと、同じ状態が繰り返されることから １本の線の左右２cm（計４cm）の幅の中で考えます。



針の中心はどこにでも同じように落ちると考えられるので、その確率分布を ｐ（ｘ）＝１／４ と考えます。



針の中心が、線から１cm以上離れると線と交わることはありません。
図の赤の部分に中心があると交わりません。
図の青の部分に中心があると交わる可能性があります。



針の中心が線と交わる可能性がある位置のときを考えます。
針と線がぎりぎりで共有点を持つ場合の角を右周りにはかってθとします。
針の中心がその位置にあるとき線と交わる確率は ｑ＝4θ／2π です。
線から針の中心までの距離をｘとすると、針の長さが２cmなので、cosθ＝ｘです。
θをｘで表すと、θ＝cos-1ｘ です。



以上から線の右半分を考えて２倍して確率を求めます。



故に、１／πとなります。

NO.1835　　　問題157の覆面算(2) 　2010.2.11.　　浜田　明巳

    7483
    7455 
  -------
   14938

  
  Option Explicit
'  BASE
'+ BALL
'------
' GAMES, 文字は互いに異なる. B,G≠0
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim B As Integer
    Dim A As Integer
    Dim S As Integer
    Dim E As Integer
    Dim L As Integer
    Dim G As Integer
    Dim M As Integer
    Dim kuriagari(3) As Integer
    Dim gyou As Integer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    For E = 0 To 9
      For L = 0 To 9
        If E <> L Then
          S = (E + L) Mod 10
          If E <> S And L <> S Then
            kuriagari(1) = (E + L) \ 10
            If (S + L + kuriagari(1)) Mod 10 = E Then
              kuriagari(2) = (S + L + kuriagari(1)) \ 10
              For A = 0 To 9
                If E <> A And L <> A And S <> A Then
                  M = (A + A + kuriagari(2)) Mod 10
                  If E <> M And L <> M And S <> M And A <> M Then
                    kuriagari(3) = (A + A + kuriagari(2)) \ 10
                    For B = 1 To 9
                      If E <> B And L <> B And S <> B And A <> B And M <> B Then
                        If (B + B + kuriagari(3)) Mod 10 = A Then
                          G = (B + B + kuriagari(3)) \ 10
                          If G > 0 And E <> G And L <> G And S <> G And A <> G And M <> G And B <> G Then
                            Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                            gyou = Cells(1, 1).Value * 4 - 3
                            Cells(gyou, 3).Value = B * 1000 + A * 100 + S * 10 + E
                            Cells(gyou + 1, 2).Value = "+"
                            Cells(gyou + 1, 3).Value = B * 1000 + A * 100 + L * 10 + L
                            Cells(gyou + 2, 3).Value = G * 10000 + A * 1000 + M * 100 + E * 10 + S
                            Call keisen(gyou + 1)
                          End If
                        End If
                      End If
                    Next B
                  End If
                End If
              Next A
            End If
          End If
        End If
      Next L
    Next E
End Sub
Sub keisen(ByVal gyou As Integer)
    Range("B" + strr(gyou) + ":C" + strr(gyou)).Select
    Selection.Borders(xlDiagonalDown).LineStyle = xlNone
    Selection.Borders(xlDiagonalUp).LineStyle = xlNone
    Selection.Borders(xlEdgeLeft).LineStyle = xlNone
    Selection.Borders(xlEdgeTop).LineStyle = xlNone
    With Selection.Borders(xlEdgeBottom)
        .LineStyle = xlContinuous
        .Weight = xlThin
        .ColorIndex = xlAutomatic
    End With
    Selection.Borders(xlEdgeRight).LineStyle = xlNone
    Selection.Borders(xlInsideVertical).LineStyle = xlNone
    Range("A1").Select
End Sub
Private Function strr(ByVal n As Integer) As String
    strr = Right(Str(n), Len(Str(n)) - 1)
End Function

NO.1834　　　問題157の覆面算　　　 　2010.2.11.　　迷子の雄猫

　　　　ＢＡＳＥ　　　　　７４８３　
　＋　　ＢＡＬＬ　　＋　　７４５５
　－－－－－－－－　－－－－－－－－
　　　ＧＡＭＥＳ　　　　１４９３８

Ｇ＝１、Ｂ＝５～９までは簡単。
Ｌ＝５に気づいたときは嬉しかったです。

NO.1833　　　ノルム 　 2010.2.7.　　ＲＹＵ1128

学生時代ベクトルと行列の授業を欠席したため今とても苦労しています。（最近に なって最小二乗法を使う必要に迫られ図書館で参考書を借りてきたところ、行列ベク トルの嵐です）
そこでウロウロしながら色々な読み漁りをしていたらノルムという言葉が出てきまし た。なにやら距離を表す言葉のようですが、パソコンでMAXという関数を使うと最大 値が簡単に選び出せますが、下記のPを無限大にしたとき最大値が出ます。無限大ノルムと言うそうです。 目からうろこでした。因みにP=2の場合文字通り距離でユークリッドノルム（直感に とても近い）と言うそうです。


そこで最大値が極限で表せるなら、最小値（ＭＩＮ）や、中央値（median）はどうで しょうか。

NO.1832　　　角度を求める問題(3) 　2010.2.1.　　夜ふかしのつらいおじさん

エレガントでない解答を一つ。

図のようにAからBDに垂線AHをおろします。
ACとBDの交点EからBCに垂線EFをおろします。

△ABDは二等辺三角形です。
△ABHと△CEFは相似です。

辺ABの長さを１とします。
∠DCE＝ｘ、∠CDE＝ｙとします。
AH＝sin 50°、AD＝１、BH＝DH＝sin 40°

△AHDにおいて、AEが角の二等分線なので、AH：AD＝HE：EDより
HE＝HD×AH／（AD＋AH)＝sin 40°sin 50°／（１＋sin 50°）
ED＝HD×AD／（AD＋AH)＝sin 40°／（１＋sin 50°）

BE＝BH＋HE＝sin 40°＋sin 40°sin 50°／（１＋sin 50°）
　　＝sin 40°（１＋２sin 50°）／（１＋sin 50°）

EF＝１／２×BE＝sin 40°（１＋２sin 50°）／２（１＋sin 50°）

△CEFにおいて、CE sin 40°＝EFより
CE＝（１＋２sin 50°）／２（１＋sin 50°）

△BCEの面積を考えると、BC×EF＝BE×CE sin 70°より
BC＝BE×CE sin 70°／EF＝sin 70°（１＋２sin 50°）／（１＋sin 50°）

△CDEで正弦定理を考えると、
ED／sin ｘ＝CE／sin ｙ　・・・　①
△BCDで正弦定理を考えると、
BC／sin ｙ＝BD／sin（ｘ＋40°）　・・・　②
①、②をかけ合わせて分母を払うと、
ED×BC sin（ｘ＋40°）＝CE×BD sin ｘより
sin 40°／（１＋sin 50°）×sin 70°（１＋２sin 50°）／（１＋sin 50°）×（sin ｘ cos 40°＋cos ｘ sin 40°）
　　　＝（１＋２sin 50°）／２（１＋sin 50°）×２sin 40°×sin ｘ
sin 70°／（１＋sin50°）×（sin ｘ cos 40°＋cos ｘ sin 40°）＝sin ｘ
sin 70°cos 40°sin ｘ＋sin 70°sin 40°cosｘ＝（１＋sin 50°）sin ｘ
（sin 70° cos40°－１－sin 50°）sin ｘ＝－sin 70°sin 40°cos ｘ
tan ｘ＝－sin 70°sin 40°／（sin 70°cos 40°－１－sin 50°）
　　　＝－sin 70°sin 40°／（sin 70°cos 40°－１－cos 40°）
　　　＝－cos 20°sin 40°／（cos 20°cos 40°－２cos2 20°）
　　　＝－sin 40°／（cos 40°－２cos 20°）
　　　＝sin 40°／（cos 20°－cos 40°＋cos 20°）
　　　＝sin 40°／（cos 20°－cos 40°＋cos 20°）
　　　＝sin 40°／（２sin 30°sin 10°＋sin 70°）
　　　＝sin 40°／（sin 10°＋sin 70°）
　　　＝sin 40°／（２sin 40°cos 30°）
　　　＝１／√３
∴Ｘ＝３０°
よって∠ＢＣＤ＝７０°

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