Colloquium

NO.1819　　　　　ハイポサイクロイド(3) 　　　2009.12.26.　　kohji

(1)
円Dの中心をQとおき; 複素数でQの位置をq、 P の位置をp で表す。
円Cと円Dとが接する部分の長さは等しいので、

(2)
この曲線の長さL は、

NO.1818　　　　　分割の問題 　　　2009.12.14.　　K.F.

問題１．
平面（ユークリッド平面）は、１本の直線によって２個の領域に、２本の直 線によって最大４個の領域に、３本の直線によって最大７個の領域に、それぞれ分割 されます。ｎ本の直線によって最大何個の領域に分割されるか、ｎを用いて式で表し てください。

問題２．
球面は、１個の円（大円）によって２個の領域に、２個の円によって最大４ 個の領域に、３個の円によって最大８個の領域に、それぞれ分割されます。ｎ個の円 によって最大何個の領域に分割されるか、ｎを用いて式で表してください。

問題３．
空間（三次元空間）は、１枚の平面によって２個の領域に、２枚の平面に よって最大４個の領域に、３枚の平面によって最大８個の領域に、それぞれ分割され ます。ｎ枚の平面によって最大何個の領域に分割されるか、ｎを用いて式で表してく ださい。

NO.1817　　　　　確率は面積比[1]　　2009.12.14.　　水の流れ

第２３４回数学的な応募問題

皆さん、場合の数が無数にある確率の問題を考えたことがありますか。
ここで、問題です。

ａ，ｂを　ａ＜ｂである任意に与えられた正の数とする。 長さｂの線分上に勝手に2点をとるとき，それら２点間の距離がa以上である確率を求めよ。

注：この記事に関する投稿の掲載は、2010年1月4日以降とします。

NO.1816　　　　６ｎー１の素数(2)　　2009.12.14.　　夜ふかしのつらいおじさん

一部修正(12.18)

(1)
下の表のように自然数を横に６個ずつ並べていきます。

　　　

すると、
　　6n+2＝2×(3n＋1)　・・・　２の倍数
　　6n+3＝3×(2n＋1)　・・・　３の倍数
　　6n+4＝2×(3n＋2)　・・・　２の倍数
　　6n+6＝6×(n+1)　 　・・・　６の倍数
のように、それぞれの倍数が縦に並びます。
だからその列の下に５以上の素数は現れません。
だから５以上の素数は、6n+1か6n-1の列にしか現れません。

(2)
6N-1が素数だとすれば、自分自身が6n-1の形の素数の倍数です。
6N-1が合成数だとすれば、p_kを素数として分解ができます。 　　6N-1＝p₁×p₂×・・・
さて、
　　6N-1＝2×3×N-1
なので、２と３は素因数にありません。
だから、素因数は５以上なので、(1)より6n+1または6n-1の形です。
さて、6n+1の形の数は、
　　(6m+1)×(6n+1)＝36mn＋6m＋6n＋１＝6×(6mn+m+n)+1
のようにいくつかけても6n+1の形にしかなりません。
だから、6n+1の形の素数だけで6n-1の形の数をつくることはできません。
また、6n-1の形の数は、
　　(6m-1)×(6n-1)＝36mn-6m-6n＋１＝6×(6mn-m-n)+1
のように偶数個かけると6n+1の形になります。
以上から6N-1の形の合成数は、6n-1の形の素因数を奇数個もちます。

(3)
6n-1の形の素数が有限個だとします。
そのすべてのリストを、｛q₁,q₂,・・・,q_k｝とします。
ここで次の形の数Ａを考えます。
　　Ａ＝2×3×q₁×q₂×・・・×q_k-1
　　（＝6×N-1）
Ａが素数だとすれば、Ａはリストにない6n-1の形の素数です。
Aが合成数だとすれば、(2)より6n-1の形の素数を因数にもちます。
ところがこの数はやはりリストにありません。
以上から6n-1の形の素数は無限に多く存在します。