コロキウム室( ビｭｯフォンの針の実験)

NO.441　　　　'99 4/14 　　 水の流れ 　　　 ビｭｯフォンの針の実験
　　

昔、ビｭｯフォン（Ｂｕｆｆｏｎ）の針の実験をしたことがあります。
大きな紙に間隔がｄの平行線をたくさん引き、 長さｋの針をばらばらに落としたとき、 針が平行線と交わる確率ｐは
ｐ＝２ｋ／πｄ となることを証明してください。
　実験では、多数の針を落として（もちろん、 針を使ってけがをしないように取り扱ってください）、 次の式からｐを求めます。
ｐ＝（平行線にかかった針の数）÷（落とした針の数）
そこで、皆さん一度試してみてください。
準備するもの。
ｄ＝８ｃｍ　、ｋ＝４ｃｍ　のとして、針を千本と大きなビー紙

NO.446　　　　'99 4/21 　　 水の流れ 　　　 ビｭｯフォンの針の実験（２）
　　

ｐ＝２ｋ／πｄとなることを証明しましょう。

＜考え方＞
１本の針を任意に床に落としたときの図１を見てください。 針が平行線と交わるとしたら、針の中点Ｐから最も近い平行線の１本と交わる。 針の中点Ｐと平行線のうちの一番近い直線との距離をｘとし、 針とその平行線のなす角をθとおく。（図２参照）
　 このとき、変数ｘ、θの変域は、０≦θ＜π、０≦ｘ≦ｄ／２…（＊）　である。
座標平面上に、変域（＊）を図示し、また、針が直線と交わるθとｘに関する条件を 求め、それを座標平面に図示し、両者の面積比を求める。
なお、針の端点が平行線上にある場合は「交わっている」ものとして扱っても 「交わっていない」として扱っても結果は同じである。 ここでは、「交わっている」ものとして扱うことにする。 　

【解答】ただし、ｄ≧ｋの場合を考えます。

針が平行線の１つと交わる条件とは、針の中点から一番近い平行線と交わることである。 図２を見て下さい。 針が一番近い平行線と交わる方の端点をＡ、中点をＰ、点Ｐから一番近い平行線に垂線ＰＨを引く。
また、Ａを通り平行線を引き、垂線ＰＨとの交点をＢとおく。
さらに、∠ＰＡＢ＝θ　とおく。
すると、ＰＡ＝ｋ／２，ＰＢ＝（ｋ／２）×ｓｉｎθ
したがって、ｘとＰＢの関係より、交わる条件は　ｘ≦（ｋ／２）×ｓｉｎθ
交わらない条件は　ｘ＞（ｋ／２）×ｓｉｎθ　である。＜図３を参照＞
よって、交わる条件を座標平面で書くと、図４になります。 したがって、求める確率ｐは

d＜kの場合について考えました。
右の図の赤い部分の面積を求めればいいことになります。

NO.441のビュフォンの針の問題では間隔がｄの平行線をたくさん引き、 長さｋの針をばらばらに落としたとき、 針が平行線と交わる確率ｐを 求めますが、ではy=sinθ,y=sinθ+d,y=sinθ+2d,y=sinθ+3d・・・ と無限に線を引き、その上に長さｋの針を落としたときに線と針が交わ る確率はどうなるでしょうか。

ＶＢで実験したところ、以上のような結果になりました。精度が悪いせいか、いい結果とはいえないでしょう。