Weekend Mathematicsコロキウム室テーマ別/38.ビュッフォンの針の実験



コロキウム室( ビュッフォンの針の実験)


NO.441    '99 4/14    水の流れ     ビュッフォンの針の実験
  

昔、ビュッフォン(Buffon)の針の実験をしたことがあります。
大きな紙に間隔がdの平行線をたくさん引き、 長さkの針をばらばらに落としたとき、 針が平行線と交わる確率pは
p=2k/πd となることを証明してください。
 実験では、多数の針を落として(もちろん、 針を使ってけがをしないように取り扱ってください)、 次の式からpを求めます。
p=(平行線にかかった針の数)÷(落とした針の数)
そこで、皆さん一度試してみてください。
準備するもの。
d=8cm 、k=4cm のとして、針を千本と大きなビー紙



NO.446    '99 4/21    水の流れ     ビュッフォンの針の実験(2)
  

p=2k/πdとなることを証明しましょう。

<考え方>
1本の針を任意に床に落としたときの図1を見てください。 針が平行線と交わるとしたら、針の中点Pから最も近い平行線の1本と交わる。 針の中点Pと平行線のうちの一番近い直線との距離をxとし、 針とその平行線のなす角をθとおく。(図2参照)
  このとき、変数x、θの変域は、0≦θ<π、0≦x≦d/2…(*) である。
座標平面上に、変域(*)を図示し、また、針が直線と交わるθとxに関する条件を 求め、それを座標平面に図示し、両者の面積比を求める。
なお、針の端点が平行線上にある場合は「交わっている」ものとして扱っても 「交わっていない」として扱っても結果は同じである。 ここでは、「交わっている」ものとして扱うことにする。  

【解答】ただし、d≧kの場合を考えます。

針が平行線の1つと交わる条件とは、針の中点から一番近い平行線と交わることである。 図2を見て下さい。 針が一番近い平行線と交わる方の端点をA、中点をP、点Pから一番近い平行線に垂線PHを引く。
また、Aを通り平行線を引き、垂線PHとの交点をBとおく。
さらに、∠PAB=θ とおく。
すると、PA=k/2,PB=(k/2)×sinθ
したがって、xとPBの関係より、交わる条件は x≦(k/2)×sinθ
交わらない条件は x>(k/2)×sinθ である。<図3を参照>
よって、交わる条件を座標平面で書くと、図4になります。 したがって、求める確率pは





NO.473 '99 5/15Junkoビュッフォンの針の実験(3)


d<kの場合について考えました。
右の図の赤い部分の面積を求めればいいことになります。






NO.862 2000.10.1.月の光 ビュッフォンの針の実験(4)

NO.441のビュフォンの針の問題では間隔がdの平行線をたくさん引き、 長さkの針をばらばらに落としたとき、 針が平行線と交わる確率pを 求めますが、ではy=sinθ,y=sinθ+d,y=sinθ+2d,y=sinθ+3d・・・ と無限に線を引き、その上に長さkの針を落としたときに線と針が交わ る確率はどうなるでしょうか。



NO.869 2000.10.14.浜田 明巳 ビュッフォンの針の実験(5)

VBで実験したところ、以上のような結果になりました。精度が悪いせいか、いい結果とはいえないでしょう。








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