コロキウム室

（１）

• ａ_１＝０より、ｆ_１(ｘ)＝(１−ｘ)ｘ
  ｆ_１’(ｘ)＝−(１−ｘ)^０ｘ＋(１−ｘ)＝１−２ｘ
  ｆ_１’(ｘ)＝０を解くと、ｘ＝1/2
  ｘ＝1/2を境に、ｆ_１’(ｘ)＞０から、ｆ_１’(ｘ)＜０に符号が変わっているので、 ｘ＝1/2で、関数ｆ_１(ｘ)は極大となる。
  従って、ａ_２＝1/2
  
• ａ_２＝1/2より、ｆ_２(ｘ)＝(２−ｘ)^２(ｘ−1/2)
  ｆ_２’(ｘ)＝−２(２−ｘ)^１(ｘ−1/2)＋(２−ｘ)^２＝ (２−ｘ)(３−３ｘ)
  ｆ_２’(ｘ)＝０を解くと、ｘ＝１、２
  ｘ＝１を境に、ｆ_２’(ｘ)＞０から、ｆ_２’(ｘ)＜０に符号が変わっているので、 ｘ＝１で、関数ｆ_２(ｘ)は極大となる。
  従って、ａ_３＝１
  
• ａ_３＝１より、ｆ_３(ｘ)＝(３−ｘ)^３(ｘ−１)
  ｆ_３’(ｘ)＝−３(３−ｘ)^２(ｘ−１)＋(３−ｘ)^３＝ (３−ｘ)^２(６−４ｘ)
  ｆ_３’(ｘ)＝０を解くと、ｘ＝3/2、３
  ｘ＝3/2を境に、ｆ_３’(ｘ)＞０から、ｆ_３’(ｘ)＜０に符号が変わっているので、 ｘ＝3/2で、関数ｆ_３(ｘ)は極大となる。
  従って、ａ_４＝3/2
  

（２）
以上から、ａ_ｎ＝1/2(ｎ−１)と推定できる。
数学的帰納法で証明する。

• ｎ＝１のとき、ａ_１＝０よりＯＫ
  
• ｎ＝ｋのとき、ａ_ｋ＝1/2(ｋ−１)と仮定する。
• ｎ＝ｋ＋１のとき
  ａ_ｋ＝1/2(ｋ−１)より、ｆ_ｋ(ｘ)＝(ｋ−ｘ)^ｋ{ｘ−1/2(ｋ−１)}
  

  ｆｋ’(ｘ)	＝−ｋ(ｋ−ｘ)ｋ−１{ｘ−1/2(ｋ−１)}＋(ｋ−ｘ)ｋ
  	＝(ｋ−ｘ)ｋ−１(ｋ＋１)(−ｘ＋1/2ｋ)

  
  ｆ_ｋ’(ｘ)＝０を解くと、ｘ＝1/2ｋ、ｋ
  ｘ＝1/2ｋを境に、ｆ_ｋ’(ｘ)＞０から、ｆ_ｋ’(ｘ)＜０に符号が変わっているので、 ｘ＝1/2ｋで、関数ｆ_ｋ(ｘ)は極大となる。
  （因みにｋが偶数のとき、ｘ＝ｋでは極小となり、ｋが奇数のとき、ｘ＝ｋは極大でも極小でもなく変曲点となる。）
  従って、ａ_ｋ＋１＝1/2ｋ
  

12月の天秤の問題に似た問題なんですが、去年の暮れに友人から聞いてはまりました。 最初は頭の中でモヤモヤと、しまいには鉛筆と紙でウーンていう感じでした。 どうやら正解は何通りもありそうですが、紹介します。 どこからの出典だかわかりません。 有名な問題なんでしょうか？

12個のコインがある。その中の1つのコインだけが重さの違う偽物である事が わかっている。天秤を3回だけ使って、偽物のコインを探し出す手順を示せ。 （偽物のコインは本物よりも重いのか軽いのかはわかっていない。）

いきなりですいませんがガウス記号について学校に発表することになりましたのでガ ウス記号について教えて下さい。

ガウス記号[x]は、xを越えない最大の整数を与えます。
例えば、[1.5]=1,[3]=3,[24/5]=4,[-1.8]=-2　です。
正の数に対しては、切り捨てと同じことになりますが、負の値の時は注意が必要です。
関数y=[x]　を考えると、そのグラフは右のようになります。

ややむずかしい話しになりますが、この関数はすべての整数値で不連続となります。 詳しい話しは、NO.514、NO.536 をご覧になってみてください。

１月４日の日経夕刊に

の話題が出ておりまして、「どうやったら導けるのだろう？」と 調べておりましたら、貴ページをある方から紹介されました。
すっきり氷解して、感謝感激です。

コメント(Junko)
詳しくは、コロキウム・テーマ別の部屋ゼ−タ−関数物語

第９１回数学的な応募問題

前回に続き、次のような無限級数の和を求めています。
今回は、必要な関数は見つけて、考えてください。

みっちの隠れ家の第２回問題

下のグラフはある3次関数のグラフです。
関数の式をy=ax³+ｂx²+cx+dとします。
このとき係数a,b,c,dの符号を求めてください。

答えは「ａ＞０、ｂ＜０、ｃ＞０、ｄ＞０」
aの符号判定は、もちろんｘ→∞のときｙ→∞から
微分をして、ｙ＝３ａx^２＋２ｂｘ＋ｃ＝０（＊）とおき、この２次方程式の解を α、βとおきます。
グラフが極大点、極小点をｘ＞０のところに持つことから、α、βは実数かつ正。
２次方程式（＊）の解と係数の関係から、
α＋β＝−２ｂ／３ａ＞０
αβ＝ｃ／３ａ＞０
これより、ｂ＜０、ｃ＞０
またグラフとｙ軸との交点の位置からｄ＞０

別解がありますよ。投稿します。

解法
y=ax³+ｂx²+cx+d＝ｆ（ｘ）とおく。
ａの正負の求め方は同じです。
ここで、ｙの導関数を求めると、ｆ’（ｘ）＝３ａx²+２ｂx+ｃ　となり、
ｆ’（０）＝ｃ　で、ｙ＝ｆ（ｘ）と　ｙ軸との交点での接線の傾きはグラフから右あがりだから、
ｆ’（０）＞０　∴ｃ＞０
また、第２次導関数　ｆ’’（ｘ）＝６ａｘ＋２ｂ　となり、
ｆ’’（０）＝２ｂ　で、ｙ＝ｆ（ｘ）と　ｙ軸との交点での凹凸はグラフから上に凸だから、　ｆ’’（０）＜０　∴ｂ＜０
ｆ（０）＝ｄ　で、ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ軸との交点はグラフからｘ軸の上にあるから、ｆ（０）＞０　∴ｄ＞０

以上　すべてグラフから正負は判断できます。

微分して

他のｎ≧１についても求めてみました。

Ｉ_５は途中の計算がノート５ページ程になるので省略します。
Ｉ_５までは同様の方法で計算しましたがそれ以上は面倒だったので一気に Ｉ_ｎを考えました。

となりました。途中の計算は複雑で大変なので省略しました。

ただし、Ｉ_ｍｚは、”ｚの虚部”を表します。 つまり、Ｉ_ｍ(ａ＋ｂｉ)＝ｂ
いくつか計算した結果を書いておきます。

Ｉ_９を計算しようとしましたが、sin(π/９)がわかりませんでした。 どなたか教えてください。

も同様に求まります。

ある本を読んでいて極限の問題にぶつかりました。内容は以下の通りです。 １辺の長さが１の正三角形ＡＢＣにおいてＡＢ＋ＡＣ＝２（当然・・・） 今、頂点Ａを辺ＢＣ上にくるように折りたたむ。無論頂点Ａは辺ＢＣの中点にくる。 また辺ＡＢ、ＡＣは中点で折れる。それらの点をＤ、Ｅとする。 このときももちろんＤＢ＋ＤＡ＋ＥＡ＋ＥＣ＝２となる。 そしてまた点Ｄ、Ｅから辺ＢＣに折りたたむ。この操作を繰り返す。 するとはじめＡＢ＋ＡＣ＝２だったのが辺ＢＣ＝１に近づいてるように思える。 しかし、これは誤りである。このことを説明できませんか？ また、この操作で描かれた図形はフラクタル図形なのですか？ もしよろしければ解答をお願いします。

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