Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.63

確かに|x²-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2|ですね。ごめんなさい、勘違い！

δ＜min(ε/8 ，√ε/2)としたのは、最後に|x²-4|＜εとしたかったために作為的にそうしたのです。
問題はδのとり方ではなくて、δの存在です。

連続なところ(x=a)では、どんなに小さいεを提示されたとしても、 それに応じてδを設定することができます。
そして、 「0＜|x-a|＜δ　ならば、|f(x)-f(a)|＜ε」とはできるわけです。

つまり、　という わけです。

不連続な場所ではδが存在しないという例を挙げましょう。

この関数はx=1において不連続です。
εは任意ですから、仮にε＝1/2とします。
すうするといかなるδをもってしても、
「0＜|x-1|＜δ　ならば、|f(x)-f(1)|＜ε」とはできません。
δをどんなに小さくとったとしても、区間(1-δ,1+δ)の属するxに対するf(x)をすべて (f(1)-ε,f(1)+ε)=(1/2,3/2)に納めることはできないからです。
具体的には、区間(1-δ,1+δ)の属するx=1-δ/2とすると、 これに対するf(x)=0ですから・・・。

つまり、　です。

第１９回数学的な応募問題

太郎さんは作業机の下にいっぱいの本があります。 一度、整理して本棚に入れたいと思っています。 入れ方にもいろいろな場合があることに太郎さんは気がつきました。

＜１＞ 本でみると、異なる本なのか、見分けのつかない本なのかが問題になります。
＜２＞ 本棚においても同じことで、異なる棚か、同じ棚かを考えなければなりません。
　　これで、この組み合わせによって、４つの場合に分かれます。まだあります。
＜３＞どの本棚にも必ず本を入れて空がないように入れるか、それとも本をいれない棚を 許すかにもよります。

結局８つの場合を考えて、整理することにしました。

前回(NO.531)の続きになります。

問題５：５冊の異なる本を、３個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？
　　　ただし、空の本棚があってはいけないとする。　
問題Ｅ：一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？
　　　ただし、空の本棚があってはいけないとし、ｍ≧ｎとする。
問題６：５冊の異なる本を、３個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？
　　　ただし、空の本棚があっても良いとする。
問題Ｆ：　一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の同じ棚に入れる方法は何通りでしょうか？
　　　ただし、空の本棚があっても良いとし、ｍ≧ｎとする。

ここからは、本も棚も区別しない場合である。
本を区別しないと、その冊数だけが問題になってくる。
したがって、この入れ方は自然数をいくつかの整数に分割することと同じになります。

問題７：ｍ冊の同じ本を、前に入れた冊数を越えないようにして、上の棚から順に入れていく方法は何通りでしょうか？
　　　まず、ｍ＝１，２，３，４，５，６のときを考えてください。
問題Ｇ：ｍ冊の同じ本を、前に入れた冊数を越えないようにして、 上の棚から順に入れていく方法をＳ（ｍ）とし、棚の数をｋとしたとき、 その入れ方をＴ（ｍ，ｋ）とします。ただし、ｍ≧ｋとする。
次の設問に答えてください。
＜１＞ 　Ｔ（ｍ，ｍ），Ｔ（ｍ，ｍ―１），Ｔ（ｍ，１）の値を求めよ。
＜２＞ 　Ｔ（ｍ，２）の値をｍが奇数、偶数によって場合分けして、答えてください。
　　　ここからは、次の等式が成り立つことを証明してください。

＜３＞　ｋ＞ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）
＜４＞　ｋ≦ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）＋Ｔ（ｍ−ｋ，ｋ）
＜５＞ 　ｋ≧ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｓ（ｍ−ｋ）
＜６＞ 　特に、Ｓ（ｍ）＝Ｔ（２ｍ，ｍ）

太郎さんは、これらの関係を使って、Ｓ（５）、Ｓ（６）、Ｓ（７）を求めたくなりました。
皆さんの一度、確かめてください。
これで、やっと無事にいろいろな入れ方で本を整理することができました。

［問題Ｇについての参考文献：数学ランド・おもしろ探検（寺田文行監修）：森北出版］　

リ−マンのゼ−タ関数は、積分によっても次のように表現できます。

「素数の不思議：好田順治著（現代数学社）」に載っていましたので、紹介します。

　ＷＯＲＤのマクロを使って解いて見ました． このような数え上げの問題はパソコンは得意です． ただしｎチームというように，チーム数が未確定の場合はお手上げです．
５チームの場合， 4 3 2 1 0， 4 3 1 1 1， 4 2 2 2 0， 4 2 2 1 1， 3 3 3 1 0， 3 3 2 2 0， 3 3 2 1 1， 3 2 2 2 1， 2 2 2 2 2 の９通りあります．
この例えば 4 3 2 1 0 というのは， ４勝，３勝１敗，２勝２敗，１勝３敗，４敗の順位となるという意味です．
５チームの場合のプログラムを以下に示します． それ以外のチーム数の場合も同様なプログラムです．

Sub soccer5()
    Dim w(4), kosuu, j01, j02, j03, j04, j12, j13, j14, j23, j24, j34, j1, j2, j, onaji, dummy As Integer
    Dim win, kekka(100), dummy2 As String
    kosuu = 0
    Selection.TypeText Text:="５チームの場合"
    Selection.TypeParagraph
    For j01 = 0 To 1: For j02 = 0 To 1: For j03 = 0 To 1: For j04 = 0 To 1
        For j12 = 0 To 1: For j13 = 0 To 1: For j14 = 0 To 1
           For j23 = 0 To 1: For j24 = 0 To 1: For j34 = 0 To 1
              w(0) = j01 + j02 + j03 + j04
              w(1) = (1 - j01) + j12 + j13 + j14
              w(2) = (1 - j02) + (1 - j12) + j23 + j24
              w(3) = (1 - j03) + (1 - j13) + (1 - j23) + j34
              w(4) = (1 - j04) + (1 - j14) + (1 - j24) + (1 - j34)
              For j1 = 0 To 3: For j2 = j1 + 1 To 4
                If w(j1) < w(j2) Then
                 dummy = w(j1): w(j1) = w(j2): w(j2) = dummy
                End If
              Next: Next
              win = ""
              For j = 0 To 4: win = win + Str$(w(j)): Next
              j = 0: onaji = 0
              While j < kosuu And onaji = 0
               j = j + 1: onaji = -(win = kekka(j))
              Wend
              If onaji = 0 Then kosuu = kosuu + 1: kekka(kosuu) = win
    Next: Next: Next: Next: Next: Next: Next: Next: Next: Next
    For j1 = 1 To kosuu - 1: For j2 = j1 + 1 To kosuu
      If kekka(j1) < kekka(j2) Then
       dummy2 = kekka(j1): kekka(j1) = kekka(j2): kekka(j2) = dummy2
      End If
    Next: Next
    For j = 1 To kosuu
     Selection.TypeText Text:=Str$(j) + "番目  " + kekka(j)
     Selection.TypeParagraph
    Next
    Selection.TypeParagraph
End Sub

３チームの場合

1番目	2 1 0
2番目	1 1 1

４チームの場合

1番目	3 2 1 0	2番目	3 1 1 1
3番目	2 2 2 0	4番目	2 2 1 1

５チームの場合

1番目	4 3 2 1 0	2番目	4 3 1 1 1
3番目	4 2 2 2 0	4番目	4 2 2 1 1
5番目	3 3 3 1 0	6番目	3 3 2 2 0
7番目	3 3 2 1 1	8番目	3 2 2 2 1
9番目	2 2 2 2 2

６チームの場合

1番目	5 4 3 2 1 0	2番目	5 4 3 1 1 1	3番目	5 4 2 2 2 0	4番目	5 4 2 2 1 1
5番目	5 3 3 3 1 0	6番目	5 3 3 2 2 0	7番目	5 3 3 2 1 1	8番目	5 3 2 2 2 1
9番目	5 2 2 2 2 2	10番目	4 4 4 2 1 0	11番目	4 4 4 1 1 1	12番目	4 4 3 3 1 0
13番目	4 4 3 2 2 0	14番目	4 4 3 2 1 1	15番目	4 4 2 2 2 1	16番目	4 3 3 3 2 0
17番目	4 3 3 3 1 1	18番目	4 3 3 2 2 1	19番目	4 3 2 2 2 2	20番目	3 3 3 3 3 0
21番目	3 3 3 3 2 1	22番目	3 3 3 2 2 2

７チームの場合

1番目	6 5 4 3 2 1 0	2番目	6 5 4 3 1 1 1	3番目	6 5 4 2 2 2 0	4番目	6 5 4 2 2 1 1
5番目	6 5 3 3 3 1 0	6番目	6 5 3 3 2 2 0	7番目	6 5 3 3 2 1 1	8番目	6 5 3 2 2 2 1
9番目	6 5 2 2 2 2 2	10番目	6 4 4 4 2 1 0	11番目	6 4 4 4 1 1 1	12番目	6 4 4 3 3 1 0
13番目	6 4 4 3 2 2 0	14番目	6 4 4 3 2 1 1	15番目	6 4 4 2 2 2 1	16番目	6 4 3 3 3 2 0
17番目	6 4 3 3 3 1 1	18番目	6 4 3 3 2 2 1	19番目	6 4 3 2 2 2 2	20番目	6 3 3 3 3 3 0
21番目	6 3 3 3 3 2 1	22番目	6 3 3 3 2 2 2	23番目	5 5 5 3 2 1 0	24番目	5 5 5 3 1 1 1
25番目	5 5 5 2 2 2 0	26番目	5 5 5 2 2 1 1	27番目	5 5 4 4 2 1 0	28番目	5 5 4 4 1 1 1
29番目	5 5 4 3 3 1 0	30番目	5 5 4 3 2 2 0	31番目	5 5 4 3 2 1 1	32番目	5 5 4 2 2 2 1
33番目	5 5 3 3 3 2 0	34番目	5 5 3 3 3 1 1	35番目	5 5 3 3 2 2 1	36番目	5 5 3 2 2 2 2
37番目	5 4 4 4 3 1 0	38番目	5 4 4 4 2 2 0	39番目	5 4 4 4 2 1 1	40番目	5 4 4 3 3 2 0
41番目	5 4 4 3 3 1 1	42番目	5 4 4 3 2 2 1	43番目	5 4 4 2 2 2 2	44番目	5 4 3 3 3 3 0
45番目	5 4 3 3 3 2 1	46番目	5 4 3 3 2 2 2	47番目	5 3 3 3 3 3 1	48番目	5 3 3 3 3 2 2
49番目	4 4 4 4 4 1 0	50番目	4 4 4 4 3 2 0	51番目	4 4 4 4 3 1 1	52番目	4 4 4 4 2 2 1
53番目	4 4 4 3 3 3 0	54番目	4 4 4 3 3 2 1	55番目	4 4 4 3 2 2 2	56番目	4 4 3 3 3 3 1
57番目	4 4 3 3 3 2 2	58番目	4 3 3 3 3 3 2	59番目	3 3 3 3 3 3 3

オイラーの「無限解析入門（１）」第８夜の始まり、始まり。
自然数全体の和はオイラーが１７４９年にゼーター関数を用いて、 奇妙な計算結果を導きました。

１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

そして、自然数の積はリーマンが１８５９年にゼーター関数を用いて、 次のような奇妙な計算結果を導きました。

そこで、今夜の宿題です。

を示してください。

５．NO.532の2の150通りを考えます。
これは3つある本棚の区別があるわけです。
ですから、5冊の本をA,B,C,D,Eとすれば、
［(A,B),(C,D),(E)］と［(C,D),(A,B),(E)］は違うものと考えていたわけです。
しかしここでは、本棚に区別がないのですから両者は同じものとみなします。
こういったものが、３！＝６通りずつあります。
従って、１５０／３！＝２５

Ｅ．これを一般化すると、Ｂ（ｎ，ｋ）／ｋ！

６．全部で３^５＝２４３通りある中で、 １ヶ所に集中してしまう３通りを除いた２４０通りについては、５番の問題と同様に３！＝６通りずつ同じものがある わけですから、２４０／６＝４０
１ヶ所に集中してしまう３通りについては、空の棚が２つ(つまり同じものが２つ)ですから同等をみなせるもの が３！／２＝３通りあります。３／３＝１

［(A,B,C,D,E),(　),(　)］と［(　),(A,B,C,D,E),(　)］と［(　),(　),(A,B,C,D,E)］

両者をたして、４０＋１＝４１

Ｆ．一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の同じ棚に入れる方法がＦ（ｍ，ｎ）通りあるとします。
ただし、空の本棚があっても良いとし、ｍ≧ｎです。

本棚が１つしかないわけですから、Ｆ（ｍ，１）＝１

本棚が２つとすると、２！＝２通りずつ同等なものがありますから、
Ｆ（ｍ，２）＝２^ｍ／２！＝２^ｍ−１

本棚が３つの場合は、空の棚が０，１の場合は３！＝６通りずつ、 空の棚が２の場合は、３！／２＝３通りずつ同等なものがあります。
ｍ冊の異なる本を、ｎ個の異なる棚に入れる方法を、Ｂ(ｍ，ｎ)通りとすれば、

一般的には、空の棚の個数が何個あるかによって、同等と見なせる数が違うので、

でも、あまりきれいな式ではありませんね。もっとすっきりさせたいのですが・・・。

７．棚に入れる本の冊数を(a,b,c,･･･)で表すことにします。 ただし、a≧b≧c≧･･･≧１とします。

• ｍ＝１のとき
  （１）のみ、従ってＳ（１）＝１
  
• ｍ＝２のとき
  （２），（１，１）よりＳ（２）＝２
  
• ｍ＝３のとき
  （３），（２，１），（１，１，１）よりＳ（３）＝３
  
• ｍ＝４のとき
  　 （４），（３，１），（２，２），（２，１，１），（１，１，１，１）より Ｓ（４）＝５
  
• ｍ＝５のとき
  　 （５），（４，１），（３，２），（３，１，１），（２，２，１）， （２，１，１，１），（１，１，１，１，１）よりＳ（５）＝７
  
• ｍ＝６のとき
  　 （６），（５，１），（４，２），（４，１，１），（３，３）， （３，２，１），（３，１，１，１），（２，２，２），（２，２，１，１）， （２，１，１，１，１），（１，１，１，１，１，１）よりＳ（６）＝１１
  

Ｇ．＜１＞

• Ｔ（ｍ，ｍ）＝１
  本がｍ冊に対して棚がｍ個、空の棚はないとすれば、（１，１，１，・・・，１）つまり１冊づつ入れるしかありません。
  
  
• Ｔ（ｍ，ｍ−１）＝１
  本がｍ冊に対して棚が(ｍ−１）個ですから、（２，１，１，・・・，１）しかありません。
  
  
• Ｔ（ｍ，１）＝１
  本がｍ冊に対して棚が１個ですから、（ｍ）、つまりすべての本をそこに入れるしかありません。
  
  

＜２＞
Ｔ（ｍ，２）をｍの偶奇に分けて考えます。
本棚は２つしかありませんから、

• ｍが偶数のとき
  （ｍ−１，１），（ｍ−２，２），・・・，（ｍ／２，ｍ／２）
  の合わせてｍ／２通り
  
  従って、Ｔ（ｍ，２）＝ｍ／２　（ｍが偶数）
  
  
• ｍが奇数のとき
  （ｍ−１，１），（ｍ−２，２），・・・，（(ｍ＋１)／２，(ｍ−１)／２）
  の合わせて(ｍ−１)／２通り
  
  Ｔ（ｍ，２）＝(ｍ−１)／２　（ｍが奇数）
  
  

＜３＞
空の棚は認めないので、最後の棚の冊数は０ではありません。
ｋ＞ｍ／２より、２冊ということもあり得ません。
従って、１冊ということになります。
つまり、残り(ｍ−１)冊の本を(ｋ−１)個の棚に入れればいいことになります。
従って、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）

＜４＞ ｋ≦ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）＋Ｔ（ｍ−ｋ，ｋ）

ｋ≦ｍ／２より最後の棚に入る本の冊数は２冊以上の可能性もあります。
そこで、最後の棚に入る本の数が１冊の場合と、２冊以上になる場合とに分けます。

１冊の場合は、残り(ｍ−１)冊の本を(ｋ−１)個の棚に入れればいいことになります。 従って、Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）通り。

２冊以上の場合。
一番最後の棚が２冊以上ですから、すべての棚が２冊以上ということになります。
そこで、最初に１冊ずつ入れてしまいます。
その後、残りの(ｍ−ｋ)冊の本の入れ方を考えます。
この時は、０冊という棚があってもいいわけです。
従って、Ｔ（ｍ−ｋ，ｋ）通り。

というわけで、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｔ（ｍ−１，ｋ−１）＋Ｔ（ｍ−ｋ，ｋ）

＜５＞ ｋ≧ｍ／２のとき、Ｔ（ｍ，ｋ）＝Ｓ（ｍ−ｋ）

すべての棚に本を１冊づついれてしまいます。
その後、残りの(ｍ−ｋ)冊の本の入れ方を考えます。
この時は、０冊という棚があってもいいわけです。

＜６＞
　　＜５＞において、ｍ≧ｍ／２だから、 Ｔ（２ｍ，ｍ）＝Ｓ（２ｍ−ｍ）＝Ｓ（ｍ）

Ｓ（５）	＝Ｔ（１０，５）
	＝Ｔ（９，４）＋Ｔ（５，５）
	＝Ｔ（８，３）＋Ｔ（５，４）＋１
	＝Ｔ（７，２）＋Ｔ（５，３）＋１＋１
	＝Ｔ（６，１）＋Ｔ（５，２）＋Ｔ（４，２）＋２
	＝１＋Ｔ（４，１）＋Ｔ（３，２）＋Ｔ（３，１）＋Ｔ（２，２）＋２
	＝１＋１＋１＋１＋１＋２
	＝７

となり先程の結果と一致します。
同様にして、Ｓ（６）＝１１，Ｓ（７）＝１５となりました。
一般にも、＜６＞Ｓ（ｍ）＝Ｔ（２ｍ，ｍ）を使ってＴの式に直し、 更に＜３＞、＜４＞を使って中の数値を下げていくことで、値を求めることができます。

オイラーの「無限解析入門（１）」第９夜の始まり、始まり。
今夜は「数学の宇宙（現代数学者：中村由子訳）」を読んで、 多くの引用をさせてもらいながら、お話をします。
オイラーは１７４０年の秋に、フランスの数学者フィリップ・ノードから、 「自然数を異なる自然数の和として表わす方法がいくるあるか？」 という手紙を受け取りました。これが、オイラーの興味を引きました。 数日後、彼は「ここ数週間苦しめられた視力の低下のせいで返事の遅れた」 ことを詫びる手紙を添えて解答を送りました。
解答の紹介は後にしまして、少し説明します。

例えば、ｎ＝６のとき、異なる自然数の和として、次の４通りがあります。

６，５＋１、４＋２，３＋２＋１　です。

６を構成している数字は１回だけしか使えません。 だから、異なっている数字なら、数字はいくつ使ってもよいです。
ここで、ある自然数ｎを異なる自然数の和で表わす方法をＡ（ｎ）とします。
つまり、Ａ（６）＝４　です。

次に、６を構成している数字が奇数だけになっている方法を考えて見ます。

５＋１，３＋３，３＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１

の４通りです。奇数という制限はありますが、 同じ数字を繰り返して使ってもよいです。
ある自然数を奇数の和で表す方法をＢ（ｎ）とすれば、 Ｂ（６）＝４となります。

皆さん、Ａ（６）＝４　、Ｂ（６）＝４　が偶然に一致したかどうか、 これから、２，３調べてください。
これが今夜の宿題です。
ｎ＝７，８，・・・を調べてください。

• n=7のとき
  異なる自然数による和は、７，６＋１，５＋２，４＋３，４＋２＋１の５通り。
  Ａ(７)＝５
  一方奇数による和は、７，５＋１＋１，３＋３＋１，３＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の５通り。
  Ｂ(７)＝５
  従って、Ａ(７)＝Ｂ(７)
  
  
• n=8のとき
  異なる自然数による和は、８，７＋１，６＋２，５＋３，５＋２＋１，４＋３＋１の６通り。
  Ａ(８)＝６
  一方奇数による和は、７＋１，５＋３，５＋１＋１＋１，３＋３＋１＋１，
  ３＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の６通り。
  Ｂ(８)＝６
  従って、Ａ(８)＝Ｂ(８)
  
  
• n=9のとき
  異なる自然数による和は、９，８＋１，７＋２，６＋３，６＋２＋１，５＋４，
  ５＋３＋１，４＋３＋２の８通り。
  Ａ(９)＝８
  一方奇数による和は、９，７＋１＋１，５＋３＋１，５＋１＋１＋１＋１，３＋３＋３，
  ３＋３＋１＋１＋１，３＋１＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の８通り。
  Ｂ(９)＝８
  従って、Ａ(９)＝Ｂ(９)
  
  

オイラーの「無限解析入門（１）」第１０夜の始まり、始まり。
昨晩、ある自然数ｎを異なる自然数の和で表わす方法をＡ（ｎ）として、 ２，３調べてくださいと、言って床につきましたが、 この数列はいちいち計算しなければならないのでしょうか？ いえいえ、当然ある関数の係数として表れてきます。これが、母関数です。
そこで、皆さん、今夜の宿題です。
次の関数を展開してくださいね。 当然係数に注目ください。 そして、この係数がどうして、数列｛Ａ（ｎ）｝なのかも考えてください。

Ｆ(ｘ)＝(１＋ｘ)(１＋ｘ^２)(１＋ｘ^３)(１＋ｘ^４)・・・・・・

太郎さんは昨日、ｎ人（ｎ≧２）同窓会に参加してきました。 もちろん、この同窓会に参加した各人は、参加者の中で、 何人かの友人を持っているいるとします。
そこで、各人に参加者の中で何人の友人がいるか尋ねます。 このとき、友人数が同じであるような人が少なくとも２人いることを 示してください。

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