１４４．コインの重さ
- コインが６個あります。そのうちの２個はにせ物で本物より軽くなっています。
計量を３回して、２個のにせ物をみつけなさい。
- コインが５個あります。 そのうち３個は本物です。４個目はにせ物で本物より重くなっています。 ５個目もにせ物ですが、逆に軽くなっています。 秤を３回使って、２個のにせ物をみつけなさい。
「計量」する秤は２つの計量皿がついているものを使用します。 この秤には重さを示す目盛りや針や分銅などはありません。
問題の出典
数学のひろば
ドミトリ・フォミーン、セルゲイ・ゲンキン、イリヤ・イテンベルク著
志賀浩二、田中紀子訳
岩波書店
答えと解説
解答・その１
（ペンネ－ム：やなせ）
問１で軽いコインは同じ重さなんですか？
問２で正常なコインと軽いコイン、重たいコインとの差は絶対値でおなじなんですか？
以上の質問ですが勝手に同じとして話を進めます。
まず問１です。
まず１回目適当に２個ずつはかりに載せます。
もし釣り合ったときはどちらかの皿に載っていたコインを
それぞれの皿に一個ずつ載せてはかります。
この時につりあったら、１回目の時に載せていなかった
残りのコイン２個が偽物になります。
２回目で 釣り合わなければ、軽い方のコインが偽物一個目 次に一回目はかった残りの皿に載っていた方を それぞれの皿に載せてはかります ここで、軽い方が２個目の偽物になります。
一回目で釣り合わなかった場合は どちらにしろ一回目の計量で重たかった方が正常なコイン２個になります
だから２回目は軽かった方の皿に載っていた２個を
それぞれの皿に載せてはかります
この時に釣り合えばこの２個が軽い（偽物）コインになります
もし２回目に釣り合わなかったらそのとき軽い方が１個目の偽物です 次に、一回目にはからなかったコイン２個をそれぞれの皿に載せて はかります、この時に軽い方が２個目の偽物です。
正常なコインを２（４個），軽いコインを１（２個）とすると
ランダムにはかりに載せると
以上の４通りが考えられます。１）２、２＆２．２のこり１．１
２）２．１＆２．１のこり２．２
３）２．２＆１．１のこり２．２
４）２．２＆２．１のこり２．１
この時に一回目に釣り合うのは１番目＆２番目になります 残りの２通りは釣り合わなくなりますので上記の方法で 偽物（軽い）コイン２個を区別することが出来ると思います。
問２です
正常なコインを１、
重たいコインを２、
軽いコインを３としたとき、
ランダムに２組のコインを抽出したときの
組み合わせは下記のようになります。
| 右の皿 | 左の皿 | 残り |
|---|---|---|
| 1.1 | 1.2 | 3 |
| 1.1 | 1.3 | 2 |
| 1.2 | 1.3 | 1 |
| 1.1 | 2.3 | 1 |
この中で一回目に２個ずつ取ったときに釣り合うのは １．１の組と２．３の組の時だけですこのときに残りの 一枚は正常なコインです
どちらかの皿の２個をそれぞれの皿に載せて計ります
釣り合えば、その２個のコインも正常ですので もう一組のコインは重たいコインと軽いコインの組み合わせなので ２枚のコインをそれぞれの皿に載せてはかります これで、偽の重たいコインと軽いコインが解ります。
一回目に釣り合わないときは
１．１の組と、１．２の組
１．２の組と、１．３の組
１．１の組と、１．３の組
重たかった方の２個のコインをそれぞれ皿に載せて計ります
釣り合えば一回目の時に残ったコインは重いコインです、だから 一回目の時に計ったもう一方のコインをそれぞれの皿に載せて計り 軽い方が偽の軽いコインです。
釣り合わなければ重い方が偽の重いコインですので 一回目の時に計ったもう一方の２個をそれぞれの皿に載せて 計ります。
この時に釣り合えば、一回目の時に残っているのが偽の軽いコインです 釣り合わなければ軽い方が偽の軽いコインです。
解答・その２
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん ）
１
偽物は軽いので釣り合わないときはすぐに偽物と分かります。
コイン６枚にａｂｃｄｅｆと名前をつけます。
（計測１）ａとｂをはかります。 ┌｛結果１－１｝ａ＝ｂなら │（計測２）ａとｃをはかります。 │ ┌｛結果２－１｝ａ＝ｃなら 【本物：ａｂｃ】 │ │（計測３）ｄとｅをはかります。 │ │ ┌｛結果３－１｝ｄ＝ｅなら 【［本物：ｆ，偽物：ｄｅ】 │ │ └｛結果３－２｝釣り合わないなら 【本物：重い方，偽物：軽い方とｆ】 │ ├｛結果２－２｝ａ＞ｃなら 【本物：ａｂ，偽物：ｃ】 │ │（計測３）ｄとｅをはかります。 │ │ ┌｛結果３－１｝ｄ＝ｅなら 【本物：ｄｅ，偽物：ｆ】 │ │ └｛結果３－２｝釣り合わないなら 【本物：重い方とｆ，偽物：軽い方】 │ └｛結果２－３｝ａ＜ｃなら 【本物：ｃｄｅｆ，偽物：ａｂ】 │ （計測３）不要 └｛結果１－２｝釣り合わないなら 【本物：重い方，偽物：軽い方】 （計測２）ｃとｄをはかります。 ┌｛結果２－１｝ｃ＝ｄなら 【本物：ｃｄ】 │（計測３）ｅとｆをはかります。 │ →｛結果３｝この場合釣り合わない 【本物：重い方，偽物：軽い方】 └｛結果２－２｝釣り合わないなら 【本物：重い方とｅｆ，偽物：軽い方】 （計測３）不要
２
重さの等しい物は本物です。コイン５枚にａｂｃｄｅと名前をつけます。
（計測１）ａとｂをはかります。 ┌｛結果１－１｝ａ＝ｂなら 【本物：ａｂ】 │（計測２）ａとｃをはかります。 │ ┌｛結果２－１｝ａ＝ｃなら 【本物：ｃ】 │ │（計測３）ｄとｅをはかります。 │ │ →｛結果３｝この場合釣り合わない 【重い偽物：重い方，軽い偽物：軽い方】 │ ├｛結果２－２｝ａ＞ｃなら 【軽い偽物：ｃ】 │ │（計測３）ｄとｅをはかります。 │ │ →｛結果３｝この場合釣り合わない 【本物：軽い方，重い偽物：重い方】 │ └｛結果２－３｝ａ＜ｃなら 【重い偽物：ｃ】 │ （計測３）ｄとｅをはかります。 │ →｛結果３｝この場合釣り合わない 【本物：重い方，軽い偽物：軽い方】 └｛結果１－２｝釣り合わないなら （計測２）ｃとｄをはかります。 ┌｛結果２－１｝ｃ＝ｄなら 【ｃｄ：本物】 │（計測３）ｃとｅをはかります。 │ ┌｛結果３－１｝ｃ＝ｅ 【本物：ｅ，重い偽物：測定１で重い方， │ │ 軽い偽物：測定１で軽い方】 │ ├｛結果３－２｝ｃ＞ｅ 【本物：測定１で軽い方， │ │ 重い偽物：測定１で重い方，軽い偽物：ｅ】 │ └｛結果３－３｝ｃ＜ｅ 【本物：測定１で重い方， │ 重い偽物：ｅ，軽い偽物：測定１で軽い方】 └｛結果２－２｝釣り合わないなら （計測３）計測１と計測２の重い物どうしをはかります。 →｛結果３｝この場合釣り合わない 【本物：軽い方，重い偽物：重い方】 軽い偽物：結果３の軽い方とはかって軽い方】
解答・その３
（ペンネ－ム：BossF）
[1の解]
まず、３個ずつ二組にわけて，比べます
(i)つりあった場合
どちらかの３個の組のうち二つを比べます
もしつりあったら，残り一つが贋
(ii)釣り合わなかったら、軽い方が贋
最後に残った方の３個の組で同様に調べます。
(ただしこれは、贋物が同じ重さのときです)
[1の解その２]
まず，適当に2個選び，比べます。
(i)釣り合わなければ軽い方が贋物です。
そして残り４個を２個ずつ二組に分け、各組をそれぞれ比べ，軽いものを探します。
（運が良ければ全部で２回で済みます）
(ii)釣り合った時は,そのうちの一個を、残りの４個の中の一つと比べます、
(ii-1)それが釣り合ったら，残り３個のうちの適当な二つを比べます。
(ii-1-①)釣り合ったらその二つが贋物です。
(ii-1-②)釣り合わなかったら、その軽い方と，残りの一つが贋物です。
(ii-2)釣り合わなかったら、軽い方が贋物で，次に残り３個のうちの適当な二つを比べます、
(ii-1-①)釣り合ったらその二つは本物です。
(ii-1-②)釣り合わなかったら、その軽い方が贋物です。■
[2の解]
適当に4個選び、2個ずつ二組にわけそれらの、重さを比べます。
まず、両方ともつりあうことがないことに注意します。
(i)一方が釣り合った時
最初に選ばれなかった１個と、釣り合わなかった組み合わせの中のいずれかが贋物です。
そこで、釣り合った組の中のひとつと、釣り合わなかった組(A)のひとつを比べます。
それが釣り合ったら、Aの、残り一方が贋物です。
釣り合わなかったら、Aから選び今比べたものが贋物です。
(ii)双方釣り合わなかった時
最初に選ばれなかった１個(B)は本物です。そこで、最初に選ばれた中のひとつとBを比べます。
もし釣り合えば、その組の他方が贋物で、かつ、本物より重いか軽いかもきまりますから、
残りの組の中の贋物もわかります。
釣り合わなかったら、それが贋物で、かつ、本物より重いか軽いかもきまりますから、
残りの組の中の贋物もわかります。
以上より３回で贋物がわかります ■
解答・その４
（ペンネ－ム：とうがらし）
1.
まず、左右の皿に２つづつコインを載せ計量する
釣り合っていたら→A、釣り合っていなかったら→B
A→最初右側に乗っていたコインを左右の皿に１つづつ載せ計量する。
釣り合っていたら、一度も計量しなかった２枚のコインが偽。
釣り合ってなかったら、軽かった方が１枚目の偽、
２枚目の偽は最初左側に載せた２枚のコインのうちどれかで
もう一度測りに載せればどちらが偽か分かる。
B→軽かった方に偽コインがある。候補を左右の皿に載せ比較すると１枚目が発見できる。
２枚目はまだ一度も計量していなかったコインの中にある。
これも３回目の計量で発見できる。
コメント(Junko)
Ｂにおいて、１回目の計量で軽かった方が２枚とも偽コインという可能性があると思います。
おっしゃるとおりです。３回目の計量が釣り合ってしまえば、
実は１回目の計量で軽かった皿の２枚が偽物ということですね。
（２回目で釣り合ってしまえば、同じ重さの偽コイン。釣り合わなければ違う重さの偽コイン）
コメント(Junko)
軽い偽コイン２枚は同じ重さという前提でかまいませんが、 重さが違ったとしても３回で見分けることができます。
コインにＡ１、Ａ２、Ｂ１、Ｂ２、Ｃ１、Ｃ２と名前を付け、まずＡ１とＡ２を比べる。
（イ）Ａ１＝Ａ２のとき
次にＢ１とＢ２を比べ
（イ１） Ｂ１＝Ｂ２のとき、最後の計量でＡ１とＢ１を比べ、
Ａ１＝Ｂ１なら、偽コインはＣ１とＣ２
Ａ１＜Ｂ１なら、偽コインはＡ１とＡ２
Ａ１＞Ｂ１なら、偽コインはＢ１とＢ２
（イ２）Ｂ１＜Ｂ２のときは（※）
少なくともＢ１は偽コインだから、Ａ１、Ａ２は共に真コインなのがこの時点でわかる。
最後の計量でＣ１とＣ２を比べ、
Ｃ１＝Ｃ２なら、偽コインはＢ１とＢ２
Ｃ１＜Ｃ２なら、偽コインはＢ１とＣ１
（ロ）Ａ１＜Ａ２のとき
Ａ２の真偽はまだ不明だが、少なくとも、Ａ１は偽コイン。
次に、Ｂ１とＢ２を比べ、さらにＣ１とＣ２を比べる。
Ｂ１＜Ｂ２かつＣ１＝Ｃ２なら、偽コインはＡ１とＢ１
Ｂ１＝Ｂ２かつＣ１＜Ｃ２なら、偽コインはＡ１とＣ１
Ｂ１＝Ｂ２かつＣ１＝Ｃ２なら、偽コインはＡ１とＡ２。
（Ｂ１＜Ｂ２かつＣ１＜Ｃ２はありえない）
（※）Ｂ１＞Ｂ２なら、改めてＢ１をＢ２、Ｂ２をＢ１と名前を付け替えればよい。
以下適当に、Ｃ、Ａについても同様。
2.
まず、左右の皿に１枚づつコインを載せ計量する
釣り合っていたら→A、釣り合っていなかったら→B
A→最初に載せた２枚の硬貨は本物であることがわかった。
残りの３枚のうち、どれでもいいから２枚を秤に載せると必ず釣り合わない。
更に、今まで一度も秤に載せてない硬貨と本物のだと分かった硬貨を秤に載せて比べる。
釣り合えば→C、釣り合わなければ→D
C：軽い偽硬貨は２番目の計量で軽かった硬貨、重い偽硬貨は２番目の計量で重かった硬貨
D：最後に調べた硬貨が偽硬貨でしかも重い偽か軽い偽かも最後の計量で明らかになった。
最後の計量で重い偽硬貨が判明すれば、軽い偽硬貨は２番目の計量で軽かった方、
反対に最後の計量で軽い偽硬貨が判明すれば、重い硬貨は２番目の計量で重かった方。
B→残りの３枚のうち、どれでもいいから２枚を秤に載せる
釣り合っていたら→E、釣り合わなければ→F
E:２回目の秤量をした硬貨は２枚とも本物。このうちの１枚と最初に秤量した１枚を比較し、
釣り合えば、偽硬貨は最初に秤量した残りの１枚と一度も秤量していない１枚。
釣り合わなければ、釣り合わなかったそれと一度も秤量しなかった１枚。
F：１回目で重かったのと２回目で軽かったのを計量する。
釣り合えば、偽硬貨は１回目で軽かったものと２回目で重かったもの。
釣り合わなければ偽硬貨は１回目で重かったものと２回目で軽かったもの。
解答・その５
（ペンネ－ム：キューダ）
問題１
「偽物の二枚のコインの重さは、等しいのか等しくないのかも分からない」
という条件で解くことにします。
（等しいと、問題としてつまらなくなります。）
１枚ずつ２回比較します。すると当然、
(1)二回とも等しい、(2)一回だけ等しい、(3)二回とも等しくない
のいずれかになります。
コインには、Ａ～Ｆの名前を付けることとします。
場合分けを兼ね、下のように命名したこととします。
（１） Ａ＝Ｂ ＆ Ｃ＝Ｄの場合、次はＡとＣを比較
Ａ＝Ｃ ならば Ｅ，Ｆが偽物
Ａ＞Ｃ ならば Ｃ，Ｄが偽物
Ａ＜Ｃ ならば Ａ，Ｂが偽物
なぜなら、考えられる組み合わせは、
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ |
| ○ | ○ | ○ | ○ | × | × |
| ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
| × | × | ○ | ○ | ○ | ○ |
；○：本物、×：偽物
（２） Ａ＝Ｂ ＆ Ｃ＞Ｄの場合、次はＣとＥ（未命名のコインの一つ）を比較
Ｃ＝Ｅ ならば Ｄ，Ｆが偽物
Ｃ＞Ｅ ならば Ｄ，Ｅが偽物
Ｃ＜Ｅ ならば Ｃ，Ｄが偽物
（なお、Ｆというのは、最後まで天秤に載せなかったコインです）
なぜなら、考えられる組み合わせは、
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ | Ｆ |
| ○ | ○ | ○ | × | ○ | × |
| ○ | ○ | ○ | × | × | ○ |
| ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
（３） Ａ＞Ｂ ＆ Ｃ＞Ｄの場合、
３回目の比較を行うまでもなくＢ，Ｄが偽物
問題２
１枚ずつ２回比較します。すると当然、
(1)一回だけ等しい、(2)二回とも等しくない
のいずれかになります。
コインには、Ａ～Ｅの名前を付けることとします。
場合分けを兼ね、下のように命名したこととします。
（１） Ａ＝Ｂ ＆ Ｃ＞Ｄの場合、次はＡとＥ（未命名のコイン）を比較
Ａ＝Ｅ ならば Ｃ，Ｄが偽物
Ａ＞Ｅ ならば Ｃ，Ｅが偽物
Ａ＜Ｅ ならば Ｄ，Ｅが偽物
なぜなら、考えられる組み合わせは、
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ |
| ○ | ○ | □ | △ | ○ |
| ○ | ○ | □ | ○ | △ |
| ○ | ○ | ○ | △ | □ |
；○：本物，□：重い物，△：軽い物
（２） Ａ＞Ｂ ＆ Ｃ＞Ｄの場合、次は、Ｅとどれかを比較します。
例えば、ＡとＥを比較したとします。
Ａ＝Ｅ ならば Ｂ，Ｃが偽物
Ａ＞Ｅ ならば Ａ，Ｄが偽物
なぜなら、考えられる組み合わせは、
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｅ |
| ○ | △ | □ | ○ | ○ |
| □ | ○ | ○ | △ | ○ |
解答・その６
（ペンネ－ム：高橋 道広）
(1)これは 軽いコインの重さが同じとは限らないんですよね。
コインをabcdefとします。まずaとbをはかりの左右に載せてます。
次にcとdをはかりの左右に載せます。
すると次の３つの場合が考えられます。
Ⅰ ２回とも釣り合う
aとcをはかりに載せます。
aとcが傾くとき、軽いほうのコインがaならa=bなので、a,bが軽いコインです。
軽いほうのコインがcならc=dなので、c,dが軽いコインです。
釣り合うとき a=b=c=dとなり、残りのe,fが軽いコインです。
Ⅱ 1回は釣り合い 一回は傾くとき
傾いた軽いほうがにせものです。
eとfをはかりの左右に載せます。
eとfが傾くとき 傾いた軽いほうがもうひとつのにせものです。
eとfが釣り合うとき にせものは残りひとつなので、さきほど傾いた重い ほうもにせもののコインで、それは本物より軽く、もう一方のにせものよ り重いことになります。
Ⅲ ともに傾くとき
この場合は２回で終わりです。軽いほうのコインが２つともにせものです。
(2)コインをabcdeとします。まずaとbをはかりの左右に載せてます。
次にcとdをはかりの左右に載せます。
すると同じ重さのものは３個しかないので次の２つの場合が考えられます。
(２回とも釣り合うことはありません）
Ⅰ 1回は釣り合い 一回は傾くとき
釣り合ったコインは本物です。これと残りのコインeをはかりの左右に載せます。 eが重いとき eは重いにせもののコインです。あとひとつは軽いにせもののコイ ンなので、最初の2回の計量で傾いたときの軽いほうがにせもののコインです。
eが軽いとき eは軽いにせもののコインです。あとひとつは重いにせもののコイ ンなので、 最初の2回の計量で傾いたときの重いほうがにせもののコインです。
eが釣り合うとき eも本物となりますから最初の2回の計量で傾いた両方のコイ ンがにせものになります。
Ⅱ ともに傾くとき
１回目で重いほうをA,軽いほうをB,2回目で重いほうをC,軽いほうをDとします。 AとDをはかりの左右に載せます。
AとDが釣り合うとき AとDは本物になりますから、Bが軽いにせもののコイン, Cが重いにせもののコインということになります。
Aのほうが重いとき Aは2つのコインより重いので、Aは重いにせもののコイン となります。また、Dは2つのコインより軽いので,Dが軽いにせもののコインと なります。
Aのほうが軽いとき 重さの順でC D A B となりこのようなことはありえ ません。
解答・その７
（ペンネ－ム：柿本 浩）
問題１
☆６枚の中から２枚ずつ取り出し、左右の皿に乗せます（計量１回目） → つり合った場合 考えられるパターンとしては Ａ：４枚とも本物である Ｂ：左右の皿に１枚ずつにせ物が混じっている ☆どちらか一方の皿のコインを今度は１枚ずつ左右に乗せます（計量２回目） → つり合った場合 パターンＡとなり（パターンＢならつり合わない） 最初の４枚は全て本物で、残った２枚がにせ物と分かります（終了） → つり合わなかった場合 パターンＢとなり、軽い方がにせ物です（１枚特定） もう一方の皿にもにせ物が混じっているはずなので ☆今度はその２枚を比べ（計量３回目）、軽い方がにせ物です（２枚目特定、終了） → つり合わなかった場合 考えられるパターンとしては Ａ：軽い方に１枚だけにせ物が混じっている Ｂ：軽い方が２枚ともにせ物である ☆軽い方の皿の２枚を、今度は１枚ずつ左右に乗せます（計量２回目） → つり合った場合 パターンＢとなり、この２枚がにせ物と分かります（終了） → つり合わなかった場合 パターンＡとなり、軽い方がにせ物です（１枚特定） まだ計っていない残り２枚の中にもう１枚のにせ物があるはずなので ☆残った２枚を比べ（計量３回目）、軽い方がにせ物です（２枚目特定、終了）
問題２
☆５枚の中から２枚を取り出して比べます（計量１回目） → つり合った場合 この場合、２枚とも本物だと分かります（にせ物と同じ重さのコインは他にない） ☆残った３枚の中から１枚取り出し、今計った本物１枚と比べます（計量２回目） → つり合った場合 ３枚目も本物だと分かり、残った２枚がにせ物です（終了） → 本物の方が重かった場合 ３枚目がにせ物（軽）だと分かり ☆残った２枚を比べ（計量３回目）、重い方がにせ物（重）です（終了） → 本物の方が軽かった場合 ３枚目がにせ物（重）だと分かり ☆残った２枚を比べ（計量３回目）、軽い方がにせ物（軽）です（終了） → つり合わなかった場合 考えられるパターンとしては Ａ：軽い方がにせ物（軽）である Ｂ：重い方がにせ物（重）である Ｃ：２枚ともにせ物である ☆残った３枚の中から２枚を取り出して比べます（計量２回目） → つり合った場合 この２枚は本物だと分かるので ☆最後に残った１枚と、２回目に計った本物１枚を比べます（計量３回目） → つり合った場合 最後の１枚も本物だと分かり パターンＣとなるので、最初に計った２枚がにせ物です（終了） → 本物の方が重かった場合 最後の１枚がにせ物（軽）だと分かるので パターンＢとなり、最初に計った２枚で重い方がにせ物（重）です（終了） → 本物の方が軽かった場合 最後の１枚がにせ物（重）だと分かるので パターンＡとなり、最初に計った２枚で軽い方がにせ物（軽）です（終了） → つり合わなかった場合 この場合、パターンＣがなくなり（パターンＣなら残りは全て本物でつり合う） 考えられるのは Ａ’：１回目の軽い方がにせ物（軽）で、２回目の重い方がにせ物（重） Ｂ’：１回目の重い方がにせ物（重）で、２回目の軽い方がにせ物（軽） どちらにせよ最後に残った１枚は本物となるので ☆最後の１枚（本物）と、２回目の軽い方の１枚を比べる（計量３回目） → つり合った場合 パターンＡ’となり １回目の軽い方がにせ物（軽）で、２回目の重い方がにせ物（重）だと分かります（終了） → つり合わなかった場合 パターンＢ’となり １回目の重い方がにせ物（重）で、２回目の軽い方がにせ物（軽）だと分かります（終了）
解答・その８
（ペンネ－ム：Ｊｕｎｂｏｕ）
① まず６個のコインにＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆと名前を付ける。
１回目は３個ずつに分けてはかる。・・・１回目
(ⅰ)つり合ったとき
このとき必ずＡ,Ｂ,Ｃの中に１個だけにせ物がある。
ＡとＢをはかる。・・・２回目
つり合ったたらＣがにせ物,つり合わなかったら軽い方がにせ物。
もう一方Ｄ,Ｅ,Ｆについても同様にしてやる。・・・３回目
(ⅱ)つり合わなかったとき
軽い方に必ず２個のにせ者が入っている。以上より３回までににせ物を判別できる。
Ａ,Ｂ,Ｃが軽かったとすると,ＡとＢをはかる。・・・２回目
つり合ったらＡ,Ｂはにせ物。
つり合わなかったとき軽い方と残りがにせ物。
② ①同様５個のコインにＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅと名前を付ける。
まずＡとＢをはかる。・・・１回目
(ⅰ)つり合ったとき
ＡとＢは本物
次にＡとＣをはかる。・・・２回目
(ア)つり合ったときＣは本物。
ＡとＤをはかる・・・３回目
Ｄが重(軽)かったらＤは重(軽)いにせ物。
そしてＥは軽(重)いにせ物。
(イ)つり合わなかったとき ｛Ｃが重い(軽い)｝
Ｃは重い(軽い)にせ物。
ＡとＤをはかる・・・３回目
つり合うとＥが軽い(重い)にせ物。
つり合わないとＤが軽い(重い)にせ物。
(ⅱ)つり合わなかったとき
ＣとＤをはかる・・・２回目
(ウ)つり合ったとき
ＣとＤは本物
ＡとＣをはかる・・・３回目
つり合うと,Ａは本物でＢがにせ物。
また,Ｅもにせ物。
(重いか軽いかはＡとＢをはかったときに分かっている。)
Ａが重くて(軽くて)つり合わないときは Ａが重い(軽い)にせ物。また,Ｅもにせ物。
(エ)つり合わなかったとき
必ずＥは本物。
ＡとＥをはかる。・・・３回目
つり合うとＢが重い(軽い)にせ物で,ＣとＤの 計量で軽い(重い)方がにせ物となる。
つり合わないとＡは重い(軽い)にせ物でＣと Ｄの計量で軽い(重い)方がにせ物となる。
以上より３回までに,にせ物を判別できる。
正解者
| キューダ | 柿本 浩 | やなせ |
| 夜ふかしのつらいおじさん | とうがらし | ＢｏｓｓＦ |
| Ｊｕｎｂｏｕ | 高橋 道広 |
まとめ
１番目の問題について、２個の軽いコインは同じ重さである必要はありません。
（同じ重さでなくても、３回で判別できるという意味です。）
この問題は、にせ物の個数が"２個"とわかっていること、
本物より軽いということがわかっていることがミソですね。
夜ふかしのつらいおじさんがおっしゃる通り、
「偽物は軽いので釣り合わないときはすぐに（軽い方が）偽物と分かります。」
２番目の問題ですが、本物より軽いにせ物の軽さ具合（本物との差）と本物より
重いにせ物の重さ具合（本物との差）は同じである必要はありません。
（３回で判別できます。）
この場合も、軽いにせ物１個と重いにせ物１個というようににせ物の内容が既にわかっているということがポイントです。
どちらの場合にも言えることですが、このコインは"本物"ということがわかる、ということも重要です。
具体的な判別の方法は、皆さんの解答を見ていただければ、
それぞれ工夫を凝らした場合わけで整理をしていただいています。
場合分けをせずに、すぱっと解く方法はないものかというご意見もありましたが、
どうもだめそうですね。地道にやるしかないようです。
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