Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.58

第１６回数学的な応募問題

太郎さんは、先日のゴールデンウイークに、 岐阜県大垣市長松にある電気店パナシーズンの大売り出しに行って来ました。 ここで、問題です。

この電気店では、図１のような丸い的でダーツ競技を行っていました。 中心がＯで、半径１０の円板が的でして、 同心円上に、半径９，８，７，…、２，１の円が書いてありました。 得点は小さい円環（一番小さいのは円）から順に、 １０点、９点、８点、…、最後は１点でした。この得点分だけ、 参加者に賞品がもらえます。
円板内の点をまったくでたらめに１回選んだときの得点の 期待値を求めてください。

太郎さんは童心にかえって、ダーツ競技を楽しんでいましたが、 この電気店にとって、賞品の数をどれだけ用意しておいたか、 気になってしかたがありません。
皆さんも、考えてください。

NO.490にあるハイポサイクロイドで囲まれた図形の 面積を求めてみました。

NO.491にある、モンテカルロ法について コメントします。

ある図形Ａの面積を求めるのに、それを含む正方形Ｂを考えます。 この正方形の中から任意の点Ｐ(x,y)を抽出して、その点Ｐ(x,y)が 図形Ａの中にあるかどうかを判断します。
これを1,000回繰り返してＡの中にあった回数がたとえば521回とすると、
(Ａの面積)/(Ｂの面積)≒521/1,000と考えられるわけです。
こうしてＡの面積の近似値を求められるわけですが、 試行回数を10,000、100,000とふやす(コンピュ−タ−があればこそ・・・)ことで、 ある程度の精度を得ることができるわけです。

浜田　明巳のNO.448などは その例だと思います。

このモンテカルロ法というのは「大数の法則」の基づいています。
「大数の法則」というのは、試行回数Ｎを十分大きくすると、事象Ａの起こる相対度数 ｒ／ＮはほぼＰ(Ａ)に等しい、というものです。

それにしてもなぜ、「モンテカルロ」なのでしょう？

円の面積は半径の２乗に比例することに注意して、

この問題についてず−っと考えていました。
確率は1/2だそうなあ、と見当をつけていましたが、 はっきりとした根拠を示せずにいました。
また、NO.465で１〜３までの ヒントに対する解答は得られたのですが、それがどうして４につながっていくのか わかりませんでした。
幸いにして、このコロキウム室で極座標系による積分を話題にしていくうちに、 だんだんと道が開けてきました。
今日またこの問題を考えていて、「わかった！」と叫んでしまいました。
もやもやしていた霧が一気に晴れたような感じです。

４本の弦が１点で交わっているところを原点に、左上の図のようにダ−ツの的をおきます。
円周上の点Ｐ(x,y)と原点を結ぶ線分ＯＰとx軸とのなす角をθとします。
０Ｐ＝ｒ(θ)とし、極座標系による積分を考えます。

モンテ・カルロ法について、大阪書籍発行の「新数学辞典」から引用します。
十分滑らかな境界Γで囲まれた領域Ωにおいて、 Γ上に境界値を与えてΔｕ＝０を解くデｨリクレ問題の解ｕの定点ｘ∈Ω における値ｕ（ｘ）は、ｘから出発してランダムに動く点 （以下これを「よっぱらい」と呼ぶ） が境界ｙにおいてつかまる確率密度をｐｘ（ｙ）とすると、
積分∫ψ（ｙ）ｄｐｘ（ｙ）　で与えられる。
これは本質的に１９２０年代にウｨーナー （父から天才教育を受け、１８歳でハーバード大学卒業、ブラウン運動で有名） によって研究された結果であり、不正則点やウｨーナーの条件など、 この立場から明快に説明される。 １９５０年代以降確率論的ポテンシャル論のもっとも簡単な一例として 知られるようになった。
いわばよっぱらいがｙでつかまるとψ（ｙ）の罰金をとられるとき、 ｘから出発したよっぱらいがとられる罰金の期待値がｕ（ｘ）ということである。 これをランダムに動く点をシュミュレートしょうというのが モンテ・カルロ法による境界値問題の解法である。
提案された当時（１９４０年末）には奇抜な解法と評判であったが、 詳しい値を求めるにはきわめて多数回の反復を要した。
そこで、私の見解ですが、当時、イタリヤのモナコの近くにあった モンテカルロという町を巡って行われる自動車のラリーがこのような、 ランダム運動をしたことから、このいわれを取るようになったと考えられる。 全くの推測ですが？

最近、雑誌「理系への数学」（旧、ＢＡＳＩＣ数学）のバックナンバーを 読みました。 そこには、山下純一氏のコラム、入試問題からの旅立ちという僕に ピッタシ内容がありました。 それに関して、所感を述べさしてください。
そこでは、弘前大の入試問題から発展させて、 次のルベーグの定理を証明していました。

ルベーグの定理： 実数αが０＜θ＜１で、２進法展開が

となる。
ここで、e₁=1-2f(1), e₁e₂=1-2f(2), e₁e₂e₃=1-2f(3),……とする。

僕が、心踊ったのはこれが「無限連無理数」というべきものを 用いて表わされているという点です。 僕は、以前、小数展開や連分数展開があるのなら、「連無理数展開」 といったものがあったっていいじゃないか、と考えた事があったからです。 僕がそれを考えたのは、次の象徴的な事実にまとめられます。

周期小数＝有理数＝整数係数１次方程式の解→ →周期連分数＝２次の無理数＝整数係数２次方程式の解→ →「周期連無理数」＝ 半径１の円周に内接する正多角形のある対角線の長さ（２cos(a/b)π) ＝整数係数２のベキ次方程式の解→

このように、１次方程式の解を表わす為に分数が作られ、 それを応用して連分数が作られ、 周期連分数を考えると２次方程式を解く必要が有り、 ２次方程式の解を表わす為に平方根が作られ、 それを応用して「連無理数」が作られ、 「周期連無理数」を考えると２のベキ次方程式を解く必要が有り、………。
なんともきれいな、思考の過程だとおもいませんか？

僕の妄想としては、（特殊な）２のベキ次方程式の解を表わす為に 三角関数があるのなら、次に「連三角関数」を考えてもいいんじゃないか、 と考えています。

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