Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.57

右の図のように、円Ｃと円Ｃ’との接点をＡとする。 ＡＰの長さが等しいことと、円Ｃの半径が、円Ｃ’の半径の２倍であることを 考慮すると、 x軸とＯＡとのなす角θに対して、∠ＡＯ’Ｐは２θとなる。
従って、P(x,y)とすると、
ｘ＝３cosθ＋cos(π＋３θ)＝３cosθ−cos３θ，
ｙ＝３sinθ＋sin(π＋３θ)＝３sinθ−sin３θ
（０≦θ＜２π）となります。

点Ｐの軌跡は右の図のようになります。
円Ｃと円Ｃ’も一緒にかいてあります。
問題はオレンジの部分の面積を求めることになります。

青山学院大学経営学部の数学の入試問題に出題ミスがあったとか・・・。

2^x=X、3^y=Yとおくと、X+Y=1
z=8^x-5×9^y-2^x+1+1とする。

z	=X3-5Y2-2X+1
	=X3-5(1-X)2-2X+1
	=X3-5X2+8X-4

z'=3X²-10X+8
z'=0より、x=4/3,2
また、2^x=X、-1≦x≦1 より、1/2≦X≦2だから、

従って、zの最大値は4/27で、このときのX=4/3(x=2-log₂3)
という解答を想定したのでしょうか？
これには間違いがあります。
3^y=Yとおいていますから、Y＞0です。従って、Y=1-X＞0よりX＜1、 つまりXのとりうる範囲は、1/2≦X≦2ではなく、1/2≦X＜1です。
この範囲で新たに増減表を書いてみると、

従って「最大値はない」ということになります。
2^x+3^y=1とした時点で、-1≦x≦1はあり得ないということです。 実際には-1≦x＜0です。
また最初の解答で、zは、xとy(置き換えにより、XとYの)の２変数関数ですから、
最大となるときのX(x)だけでなく、Y(y)も確認していれば、 おかしいということに気づいたのにと思います。

NO.482の後の解答は、 極方定式　ｒ＝ｆ（θ）の面積を求める公式に 入れて計算してありますが、 点Ｐとｘ軸とのなす角はθではありません。 だから、ここで間違っています。
ちなみに円Ｃ’は何回転しますかは、もうお分かりでしょう。
３回転します。 この軌跡をエピ・サイクロイド（外サイクロイド）といいます。
円Ｃ’を内側で、円Ｃに接しながら滑ることなく回転させると、 こちらは１回転しかしません。そして、この場合は円Ｃの内部で ｙ軸上を動くことになるでしょう。 また、軌跡の名称は忘れましたが、（内サイクロイドと言います）

円の４分割は任意ですから、これもまたおもしろい結果だなあと思うのです。

極座標系における面積の求め方です。
原点からの距離ｒが、偏角θの関数として、ｒ＝ｆ(θ)として表されているとき、
左図の面積Ｓは以下の定積分によってもとめるこができます。

どうして上の式で面積を求めることができるのか、 感覚的にではありますがこじつけてみます。

オイラーの「無限解析入門（１）」の第6夜の始まり、始まり。
Junkoさんが見事にBernoulli数がTaylor展開によって、求められました。
数式ソフト「Mathematica」と共にJunkoさんの能力も素晴らしい。
解析概論を読んでいたら、Bernoulli数を別の角度から、 求めてありましたので、紹介します。
−２π＜ｘ＜２π　において、

この２式を掛けると、明らかに右辺は１になります。
そして、当然　Ｂ_０＝１　であり、ｘ^ｎの係数は　０　です。
これを左辺で見ますと、

両辺に（ｎ＋１）！　を掛けて　、２項係数で表すと

_ｎ＋１Ｃ_１Ｂ_ｎ＋ _ｎ＋１Ｃ_２Ｂ_ｎ−１＋ _ｎ＋１Ｃ_３Ｂ_ｎ−２＋ ・・・＋ _ｎ＋１Ｃ_ｎＢ_１＋ _ｎ＋１Ｃ_ｎ＋１Ｂ_０＝０

これは　ｎ＋１　のところを　ｎ　で書き直し、さらに組合せの性質もつかって、

_ｎＣ_ｎ−１Ｂ_ｎ−１＋ _ｎＣ_ｎ−２Ｂ_ｎ−２＋ ・・・＋ _ｎＣ_２Ｂ_２＋ _ｎＣ_１Ｂ_１＋ _ｎＣ_０Ｂ_０＝０

これは（Ｂ＋１）^ｎ−Ｂ^ｎ＝０　と書けば分かり易いです。
ただし、展開後の　Ｂ　の指数を下の添え字にしてください。

ここで、ｎ＝２　を代入して　２Ｂ_１＋１＝０　　　　∴Ｂ_１＝−１／２
ｎ＝３　を代入して　　３Ｂ_２＋３Ｂ_１＋１＝０　　　　　　　　∴Ｂ_２＝１／６
ｎ＝４　を代入して　４Ｂ_３＋６Ｂ_２＋４Ｂ_１＋１＝０　　　　∴Ｂ_３＝０
ｎ＝５　を代入して　５Ｂ_４＋１０Ｂ_３＋１０Ｂ_２＋５Ｂ_１＋１＝０　∴Ｂ_４＝−１／３０
後は、読者に任せます。分かったことは

（Ｂ_１以外の奇数番号のＢ_ｎは０になっています）　

ここで、ゼーターの値 ζ（０）＝−１／２，ζ（−１）＝−１／１２，ζ（−２）＝０， ζ（−３）＝１／１２０，・・・を比較してください。　すると、

と簡単に書けることをオイラーは１７４９年に発見しました。
さて、ζ（２），ζ（３），ζ（４），・・・とＢ_２、Ｂ_３，Ｂ_４， ・・・の関係については、オイラーは すでに１７３５年に見つけていました。

ここの関係を発見するにはガンマ関数Γ（ｓ）の登場になります。

と書きます。

ここで、やっと、今夜の宿題です。
このガンマ関数Γ（ｓ）の下記の性質を示してください。
（１）　Γ（ｓ＋１）＝ｓΓ（ｓ）　　、Γ（１）＝１
（２）　Γ（ｓ＋１）＝ｓ！　

この先の展開に不安を持ちつつ、第６夜はゆっくりねましょう

円Ｃ’を内側で、円Ｃに接しながら滑ることなく回転させたときの 軌跡は、「ハイポサイクロイド」というそうです。 点Ｐはｙ軸上を(2,0)から(-2,0)まで行き、また戻ってきます。 (オレンジの部分)

半径の比を１：２とすると、線分になってしまっておもしろくないので、 今度は半径の比を１：３にしてみます。
円Ｃと円Ｃ’との接点をＡとします。
ＡＰの長さが等しいことと、円Ｃの半径が、円Ｃ’の半径の３倍であることを 考慮すると、x軸とＯＡとのなす角θに対して、∠ＡＯ’Ｐは３θとなる。
従って、P(x,y)とすると、
ｘ＝２cosθ＋cos(−２θ)＝２cosθ＋cos２θ，
ｙ＝２sinθ＋sin(−２θ)＝２sinθ−sin２θ
（０≦θ＜２π）となります。

これを図示するとこうなります。
この曲線で囲まれた部分の面積も求めてみてください。

これをいつものようにＢＡＳＩＣのプログラムで検証しました．昔の話なので，Ｎ８８日本語ＢＡＳＩＣで作ってあります．

100 'SAVE"97OOSAK3.BAS",A
110 *INIT:SCREEN 3,0,1:CLS 3:SCREEN ,,0,1:CLS 3:CONSOLE 0,25,0,1:WIDTH 80,25
120 ON STOP GOSUB *STP:STOP ON:ON ERROR GOTO *ER
130 DIM X(180),Y(180):LOCATE 44,12:PRINT"９７年大阪府立大"
140 R=2:RR=1 '大円，小円の半径
150 X0=0:Y0=0:X1=X0+R+RR:Y1=Y0:S1=0:S2=0:S3=0:S4=0:S5=0
160 T=0:X(0)=X1-RR:Y(0)=Y1:KK=49:XC=320+2*KK:YC=200:ACT=0:PI=3.14159:W=PI/180
170 '
180 *ST:GOSUB *SAKUZU
190 LOCATE 0,0:PRINT"何かキーを押して下さい．始めます．"
200 WHILE INKEY$="":WEND:WHILE INKEY$<>"":WEND:LOCATE 0,0:PRINT SPC(34)
210 FOR T=0 TO 180:TT=2*T
220  X1=X0+(R+RR)*COS(TT*W):Y1=Y0+(R+RR)*SIN(TT*W)
230  X(T)=X1-RR*COS((RR+R)*TT*W):Y(T)=Y1-RR*SIN((RR+R)*TT*W)
240  ON -(T=0) GOTO 320
250  S1=S1+.5*ABS((Y(T)-Y(T-1))*(X(T)+X(T-1)))
260  S2=S2+.5*ABS(X(T-1)*Y(T)-X(T)*Y(T-1))
270  A=SQR(X(T)*X(T)+Y(T)*Y(T)):B=SQR(X(T-1)*X(T-1)+Y(T-1)*Y(T-1))
280  C=SQR((X(T)-X(T-1))*(X(T)-X(T-1))+(Y(T)-Y(T-1))*(Y(T)-Y(T-1)))
290  S=.5*(A+B+C):S3=S3+SQR(S*(S-A)*(S-B)*(S-C))
300  S4=S4+.5*A*B*SIN(2*W)
310  S5=S5+.25*(A*A+B*B)*2*W
320  ACT=1-ACT:DISP=ACT*16+1:SCREEN ,,ACT:CLS 2
330  GOSUB *SAKUZU:LOCATE 0,4:PRINT"t=";TT;"°":PRINT
340  COLOR 2:PRINT"面積＝4∫(0,4)xdy":PRINT USING"    ＝##.####*π";S1/PI:PRINT
350  PRINT"面積＝��.5*abs(x1*y2-x2*y1)":PRINT USING"    ＝##.####*π";S2/PI:PRINT
360  PRINT"面積＝��(ヘロンの公式)":PRINT USING"    ＝##.####*π";S3/PI:PRINT
370  PRINT"面積＝��.5*OP1*OP2*sin(�冲)":PRINT USING"    ＝##.####*π";S4/PI:PRINT
380  PRINT"面積＝��.5*OP^2*�冲":PRINT USING"    ＝##.####*π";S5/PI:COLOR 7
390  SCREEN ,,,DISP
400  ON -(INKEY$="S") GOSUB *SS
410 NEXT:WHILE INKEY$<>"":WEND
420 LOCATE 0,0:PRINT"繰り返しますか？（Ｙ／Ｎ）":A$=""
430 WHILE A$<>"Y" AND A$<>"y" AND A$<>"N" AND A$<>"n"
440  A$=INKEY$:WHILE INKEY$<>"":WEND
450 WEND
460 IF A$="Y" OR A$="y" THEN RUN
470 LOCATE 0,0:PRINT"終わりました．            "
480 '
490 *STP:END
500 '
510 *ER:RESUME NEXT
520 '
530 *SAKUZU:CIRCLE(XC+KK*X0,YC-KK*Y0),KK*R,7
540 CIRCLE(XC+KK*X1,YC-KK*Y1),KK*RR,6
550 FOR J=0 TO T:CIRCLE(XC+KK*X(J),YC-KK*Y(J)),2-(J=T),2-3*(J=T),,,,F:NEXT
560 RETURN
570 '
580 *SS:WHILE INKEY$="":WEND:WHILE INKEY$<>"":WEND:RETURN

となります．
1.は通常の積分計算，2〜4は原点を１つの頂点とし， その頂点の角を２度（＝π／９０）とする微小の三角形に分割して 面積の和を求めた計算，5は原点を中心， 中心角２度の微小の扇形に分割して面積の和を求めた計算です．
これでどうやら�刄ﾆ（＝２度）がからんだ計算だと１０πになり， そうでないと１２πになることが分かりました．
しかしどれも同じ部分の面積を求める式のはずです． ここら辺で頭がこんがらがってしまったのです． どうか皆さん，助けて下さい．
他にモンテカルロ法でもプログラムを作ってみたのですが， 面積は１２πになりました．
正解は絶対に１２πという事は分かっているのですが・・・．

フェルマ−の大定理は本当に解決したでしょうか。 先日、下記のようなメールが届きましたので、お知らせします。 誰か、この信憑性について、ご存じの方教えてください。
＜水の流れ＞さんは ホームページ の中で、 「フェルマーの大定理は １９９４年１０月７日に発表した論文には四カ月にわたる詳細な検証によって、 最終的に解決されました。」 とかかれているようですが、先日 「未だに証明はされてません。現在、十五万乗まで証明されているのですが、 一般的な解決には達していないようです。２００７年９月１３日までに この定理を証明した人には”賞金１０万マルク”を与えるとドイツの数学者ウォルスケールは発表してます。 コレ真面だそうです。」

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