Weekend Mathematicsコロキウム室1999.4〜6/NO.57

コロキウム室



NO.483 '99 5/21Junko置換積分(2)


右の図のように、円Cと円C’との接点をAとする。 APの長さが等しいことと、円Cの半径が、円C’の半径の2倍であることを 考慮すると、 x軸とOAとのなす角θに対して、∠AO’Pは2θとなる。
従って、P(x,y)とすると、
x=3cosθ+cos(π+3θ)=3cosθ−cos3θ,
y=3sinθ+sin(π+3θ)=3sinθ−sin3θ
(0≦θ<2π)となります。


点Pの軌跡は右の図のようになります。
円Cと円C’も一緒にかいてあります。
問題はオレンジの部分の面積を求めることになります。




NO.484 '99 5/21Junko最大値なし

青山学院大学経営学部の数学の入試問題に出題ミスがあったとか・・・。

x,yが、2x+3y=1,-1≦x≦1を満足しているならば、 8x-5×9y-2x+1+1は、
x=□のとき、最大値□をとる。

2x=X、3y=Yとおくと、X+Y=1
z=8x-5×9y-2x+1+1とする。
z=X3-5Y2-2X+1
=X3-5(1-X)2-2X+1
=X3-5X2+8X-4
z'=3X2-10X+8
z'=0より、x=4/3,2
また、2x=X、-1≦x≦1 より、1/2≦X≦2だから、


従って、zの最大値は4/27で、このときのX=4/3(x=2-log23)
という解答を想定したのでしょうか?
これには間違いがあります。
3y=Yとおいていますから、Y>0です。従って、Y=1-X>0よりX<1、 つまりXのとりうる範囲は、1/2≦X≦2ではなく、1/2≦X<1です。
この範囲で新たに増減表を書いてみると、


従って「最大値はない」ということになります。
2x+3y=1とした時点で、-1≦x≦1はあり得ないということです。 実際には-1≦x<0です。
また最初の解答で、zは、xとy(置き換えにより、XとYの)の2変数関数ですから、
最大となるときのX(x)だけでなく、Y(y)も確認していれば、 おかしいということに気づいたのにと思います。



NO.485 '99 5/21Junkoオイラーの「無限解析入門(1)」(10)






NO.486 '99 5/21水の流れ置換積分(3)

NO.482の後の解答は、 極方定式 r=f(θ)の面積を求める公式に 入れて計算してありますが、 点Pとx軸とのなす角はθではありません。 だから、ここで間違っています。
ちなみに円C’は何回転しますかは、もうお分かりでしょう。
3回転します。 この軌跡をエピ・サイクロイド(外サイクロイド)といいます。
円C’を内側で、円Cに接しながら滑ることなく回転させると、 こちらは1回転しかしません。そして、この場合は円Cの内部で y軸上を動くことになるでしょう。 また、軌跡の名称は忘れましたが、(内サイクロイドと言います)



NO.487 '99 5/22Junkoダ−ツの確率(3)


円の4分割は任意ですから、これもまたおもしろい結果だなあと思うのです。




NO.488 '99 5/22Junko置換積分(4)


極座標系における面積の求め方です。
原点からの距離rが、偏角θの関数として、r=f(θ)として表されているとき、
左図の面積Sは以下の定積分によってもとめるこができます。




どうして上の式で面積を求めることができるのか、 感覚的にではありますがこじつけてみます。







 
NO.489 '99 5/23水の流れオイラーの「無限解析入門(1)」(11)

オイラーの「無限解析入門(1)」の第6夜の始まり、始まり。
Junkoさんが見事にBernoulli数がTaylor展開によって、求められました。
数式ソフト「Mathematica」と共にJunkoさんの能力も素晴らしい。
解析概論を読んでいたら、Bernoulli数を別の角度から、 求めてありましたので、紹介します。
−2π<x<2π において、



この2式を掛けると、明らかに右辺は1になります。
そして、当然 B=1 であり、xの係数は 0 です。
これを左辺で見ますと、



両辺に(n+1)! を掛けて 、2項係数で表すと

n+1n+1n−1n+1n−2+ ・・・+ n+1n+1n+1=0

これは n+1 のところを n で書き直し、さらに組合せの性質もつかって、

n−1n−1n−2n−2+ ・・・+ =0

これは(B+1)−B=0 と書けば分かり易いです。
ただし、展開後の B の指数を下の添え字にしてください。

ここで、n=2 を代入して 2B+1=0    ∴B=−1/2
n=3 を代入して  3B+3B+1=0        ∴B=1/6
n=4 を代入して 4B+6B+4B+1=0    ∴B=0
n=5 を代入して 5B+10B+10B+5B+1=0 ∴B=−1/30
後は、読者に任せます。分かったことは


(B以外の奇数番号のBは0になっています) 

ここで、ゼーターの値 ζ(0)=−1/2,ζ(−1)=−1/12,ζ(−2)=0, ζ(−3)=1/120,・・・を比較してください。 すると、


と簡単に書けることをオイラーは1749年に発見しました。
さて、ζ(2),ζ(3),ζ(4),・・・とB、B,B, ・・・の関係については、オイラーは すでに1735年に見つけていました。

ここの関係を発見するにはガンマ関数Γ(s)の登場になります。


と書きます。

ここで、やっと、今夜の宿題です。
このガンマ関数Γ(s)の下記の性質を示してください。
(1) Γ(s+1)=sΓ(s)  、Γ(1)=1
(2) Γ(s+1)=s! 

この先の展開に不安を持ちつつ、第6夜はゆっくりねましょう



NO.490 '99 5/24Junko置換積分(5)


円C’を内側で、円Cに接しながら滑ることなく回転させたときの 軌跡は、「ハイポサイクロイド」というそうです。 点Pはy軸上を(2,0)から(-2,0)まで行き、また戻ってきます。 (オレンジの部分)


半径の比を1:2とすると、線分になってしまっておもしろくないので、 今度は半径の比を1:3にしてみます。
円Cと円C’との接点をAとします。
APの長さが等しいことと、円Cの半径が、円C’の半径の3倍であることを 考慮すると、x軸とOAとのなす角θに対して、∠AO’Pは3θとなる。
従って、P(x,y)とすると、
x=2cosθ+cos(−2θ)=2cosθ+cos2θ,
y=2sinθ+sin(−2θ)=2sinθ−sin2θ
(0≦θ<2π)となります。


これを図示するとこうなります。
この曲線で囲まれた部分の面積も求めてみてください。




 
NO.491 '99 5/24浜田 明巳置換積分(6)



これをいつものようにBASICのプログラムで検証しました.昔の話なので,N88日本語BASICで作ってあります.

100 'SAVE"97OOSAK3.BAS",A
110 *INIT:SCREEN 3,0,1:CLS 3:SCREEN ,,0,1:CLS 3:CONSOLE 0,25,0,1:WIDTH 80,25
120 ON STOP GOSUB *STP:STOP ON:ON ERROR GOTO *ER
130 DIM X(180),Y(180):LOCATE 44,12:PRINT"97年大阪府立大"
140 R=2:RR=1 '大円,小円の半径
150 X0=0:Y0=0:X1=X0+R+RR:Y1=Y0:S1=0:S2=0:S3=0:S4=0:S5=0
160 T=0:X(0)=X1-RR:Y(0)=Y1:KK=49:XC=320+2*KK:YC=200:ACT=0:PI=3.14159:W=PI/180
170 '
180 *ST:GOSUB *SAKUZU
190 LOCATE 0,0:PRINT"何かキーを押して下さい.始めます."
200 WHILE INKEY$="":WEND:WHILE INKEY$<>"":WEND:LOCATE 0,0:PRINT SPC(34)
210 FOR T=0 TO 180:TT=2*T
220  X1=X0+(R+RR)*COS(TT*W):Y1=Y0+(R+RR)*SIN(TT*W)
230  X(T)=X1-RR*COS((RR+R)*TT*W):Y(T)=Y1-RR*SIN((RR+R)*TT*W)
240  ON -(T=0) GOTO 320
250  S1=S1+.5*ABS((Y(T)-Y(T-1))*(X(T)+X(T-1)))
260  S2=S2+.5*ABS(X(T-1)*Y(T)-X(T)*Y(T-1))
270  A=SQR(X(T)*X(T)+Y(T)*Y(T)):B=SQR(X(T-1)*X(T-1)+Y(T-1)*Y(T-1))
280  C=SQR((X(T)-X(T-1))*(X(T)-X(T-1))+(Y(T)-Y(T-1))*(Y(T)-Y(T-1)))
290  S=.5*(A+B+C):S3=S3+SQR(S*(S-A)*(S-B)*(S-C))
300  S4=S4+.5*A*B*SIN(2*W)
310  S5=S5+.25*(A*A+B*B)*2*W
320  ACT=1-ACT:DISP=ACT*16+1:SCREEN ,,ACT:CLS 2
330  GOSUB *SAKUZU:LOCATE 0,4:PRINT"t=";TT;"°":PRINT
340  COLOR 2:PRINT"面積=4∫(0,4)xdy":PRINT USING"    =##.####*π";S1/PI:PRINT
350  PRINT"面積=.5*abs(x1*y2-x2*y1)":PRINT USING"    =##.####*π";S2/PI:PRINT
360  PRINT"面積=(ヘロンの公式)":PRINT USING"    =##.####*π";S3/PI:PRINT
370  PRINT"面積=.5*OP1*OP2*sin(冲)":PRINT USING"    =##.####*π";S4/PI:PRINT
380  PRINT"面積=.5*OP^2*冲":PRINT USING"    =##.####*π";S5/PI:COLOR 7
390  SCREEN ,,,DISP
400  ON -(INKEY$="S") GOSUB *SS
410 NEXT:WHILE INKEY$<>"":WEND
420 LOCATE 0,0:PRINT"繰り返しますか?(Y/N)":A$=""
430 WHILE A$<>"Y" AND A$<>"y" AND A$<>"N" AND A$<>"n"
440  A$=INKEY$:WHILE INKEY$<>"":WEND
450 WEND
460 IF A$="Y" OR A$="y" THEN RUN
470 LOCATE 0,0:PRINT"終わりました.            "
480 '
490 *STP:END
500 '
510 *ER:RESUME NEXT
520 '
530 *SAKUZU:CIRCLE(XC+KK*X0,YC-KK*Y0),KK*R,7
540 CIRCLE(XC+KK*X1,YC-KK*Y1),KK*RR,6
550 FOR J=0 TO T:CIRCLE(XC+KK*X(J),YC-KK*Y(J)),2-(J=T),2-3*(J=T),,,,F:NEXT
560 RETURN
570 '
580 *SS:WHILE INKEY$="":WEND:WHILE INKEY$<>"":WEND:RETURN
このプログラムによると,



となります.
1.は通常の積分計算,2〜4は原点を1つの頂点とし, その頂点の角を2度(=π/90)とする微小の三角形に分割して 面積の和を求めた計算,5は原点を中心, 中心角2度の微小の扇形に分割して面積の和を求めた計算です.
これでどうやら刄ニ(=2度)がからんだ計算だと10πになり, そうでないと12πになることが分かりました.
しかしどれも同じ部分の面積を求める式のはずです. ここら辺で頭がこんがらがってしまったのです. どうか皆さん,助けて下さい.
他にモンテカルロ法でもプログラムを作ってみたのですが, 面積は12πになりました.
正解は絶対に12πという事は分かっているのですが・・・.



 
NO.492 '99 5/24水の流れフェルマ−の大定理

フェルマ−の大定理は本当に解決したでしょうか。 先日、下記のようなメールが届きましたので、お知らせします。 誰か、この信憑性について、ご存じの方教えてください。
<水の流れ>さんは ホームページ の中で、 「フェルマーの大定理は 1994年10月7日に発表した論文には四カ月にわたる詳細な検証によって、 最終的に解決されました。」 とかかれているようですが、先日 「未だに証明はされてません。現在、十五万乗まで証明されているのですが、 一般的な解決には達していないようです。2007年9月13日までに この定理を証明した人には”賞金10万マルク”を与えるとドイツの数学者ウォルスケールは発表してます。 コレ真面だそうです。」



           



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