Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.53

コロキウム室



NO.446　　　　'99 4/21 　　 水の流れ 　　　 ビｭｯフォンの針の実験（２）
　　

ｐ＝２ｋ／πｄとなることを証明しましょう。

＜考え方＞
１本の針を任意に床に落としたときの図１を見てください。 針が平行線と交わるとしたら、針の中点Ｐから最も近い平行線の１本と交わる。 針の中点Ｐと平行線のうちの一番近い直線との距離をｘとし、 針とその平行線のなす角をθとおく。（図２参照）
　 このとき、変数ｘ、θの変域は、０≦θ＜π、０≦ｘ≦ｄ／２…（＊）　である。
座標平面上に、変域（＊）を図示し、また、針が直線と交わるθとｘに関する条件を 求め、それを座標平面に図示し、両者の面積比を求める。
なお、針の端点が平行線上にある場合は「交わっている」ものとして扱っても 「交わっていない」として扱っても結果は同じである。 ここでは、「交わっている」ものとして扱うことにする。 　

【解答】ただし、ｄ≧ｋの場合を考えます。

針が平行線の１つと交わる条件とは、針の中点から一番近い平行線と交わることである。 図２を見て下さい。 針が一番近い平行線と交わる方の端点をＡ、中点をＰ、点Ｐから一番近い平行線に垂線ＰＨを引く。
また、Ａを通り平行線を引き、垂線ＰＨとの交点をＢとおく。
さらに、∠ＰＡＢ＝θ　とおく。
すると、ＰＡ＝ｋ／２，ＰＢ＝（ｋ／２）×ｓｉｎθ
したがって、ｘとＰＢの関係より、交わる条件は　ｘ≦（ｋ／２）×ｓｉｎθ
交わらない条件は　ｘ＞（ｋ／２）×ｓｉｎθ　である。＜図３を参照＞
よって、交わる条件を座標平面で書くと、図４になります。 したがって、求める確率ｐは





NO.447　　　　'99 4/21 　　 水の流れ 　　　 オイラーの「無限解析入門（１）」（３）
　　

オイラーの「無限解析入門（１）」第２夜の始まり、始まり。
先日、ゼーター関数ζ（２）物語で書きましたが、オイラーは１７３５年に、 ζ（２），ζ（４），・・・を求めました。
その後、研究は当然続いて、１７４９年に、ζ（０），ζ（−１），ζ（−２），・・・， ζ（ｓ）とζ（１−ｓ）の関係を発見しています。
もう一度この素晴らしい公式を書きます。


ゼーター関数ζ（ｓ）の素晴らしいのはｓにどんな複素数を代入しても、 意味を持つという点です。
＜数学的には「解析接続可能」と言います＞
オイラーの見つけた形（１７４９年）で言いますと、 ｓ≦０のとき、月夜の世界 ０≦ｓ≦１のとき、たそがれとき＜夕焼け・朝焼け＞ １≦ｓのとき、昼間太陽の世界 　とユニークな月のマークと太陽のマークを書いています。
特に、月夜の世界での計算が不思議な結果になります。 一例を挙げますと、
ζ（０）＝１＋１＋１＋・・・＝−１／２
ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２
ζ（−２）＝１＋４＋９＋１６＋・・・＝０
ζ（−３）＝１＋８＋２７＋６４＋・・・＝１／１２０
これらは一体何を意味しているのでしょうか？ もちろん普通にはこれらは無限大になっているはずです。 この計算は計算の達人であるオイラーが ２５０年前にやった計算です。
次回、この計算をオイラーになり代わって コロキウム室のco-workerさんとご一緒に行ってみましょう。

そこで、今夜の宿題です。


とおいて、ψ（ｓ）とζ（ｓ）の関係を発見してください。



NO.448　　　　'99 4/23 　　 浜田　明巳 　　　三角形の確率（２）
　　

ＱＢＡＳＩＣのプログラムを作成し求めました．内容は次の通りです．
円の半径を１とします．乱数により，０から２πまでの角ｔを３個求め， 三角形の３頂点の座標（ｘ(ｊ),ｙ(ｊ)）を求めます． 次に３辺の長さｄ(ｊ)を求め，最大辺ｄｍａｘを求めます． 最大辺に対する角が最大角ですから，この角のコサインを求め， その符号を求めます． これにより直角，鋭角，鈍角三角形のいずれになるかが分かります．
この試行を１００００００（ｍａｘ）回繰り返し，それぞれの確率を求めます．

このプログラムにより，確率は

  1. ０
  2. ０.２４９７９０
  3. ０.７５０２１０
となりました．
実際には，
  1. ０
  2. ０.２５
  3. ０.７５
となるのでしょう． 
'sankaku.qb
pi = 3.14159
RANDOMIZE TIMER
DIM x(2), y(2), d(2), kaisuu(2)
FOR j = 0 TO 2
 kaisuu(j) = 0
NEXT
shikoukaisuu = 0
max = 1000000
CLS
WHILE INKEY$ = "" AND shikoukaisuu < max
 shikoukaisuu = shikoukaisuu + 1
 FOR j = 0 TO 2
  t = 2 * pi * RND
  x(j) = COS(t)
  y(j) = SIN(t)
 NEXT
 FOR j = 0 TO 2
  j1 = (j + 1) MOD 3
  j2 = (j1 + 1) MOD 3
  d(j) = SQR((x(j2) - x(j1)) * (x(j2) - x(j1)) + (y(j2) - y(j1)) * (y(j2) - y(j1)))
 NEXT
 dmax = d(0)
 jmax = 0
 FOR j = 1 TO 2
  IF d(j) > dmax THEN
   dmax = d(j)
   jmax = j
  END IF
 NEXT
 j1 = (jmax + 1) MOD 3
 j2 = (j1 + 1) MOD 3
 cosine = (d(j1) * d(j1) + d(j2) * d(j2) - d(jmax) * d(jmax)) / (2 * d(j1) * d(j2))
 bangou = -(cosine > 0) - 2 * (cosine < 0)
 kaisuu(bangou) = kaisuu(bangou) + 1
 LOCATE 1, 1
 FOR j = 0 TO 2
  PRINT USING "#######  ####### / ####### =##.######"; j + 1; kaisuu(j); shikoukaisuu; kaisuu(j) / shikoukaisuu
 NEXT
WEND
WHILE INKEY$ <> ""
WEND
END




NO.449　　　　'99 4/24 　　 Junko 　　　三角形の確率（３）
　　

単位円周上に３点ＡＢＣをとって三角形を作ります。
点Ａ(１，０)とします。
ＯＢ、ＯＣの偏角をそれぞれα、βとし、α＜βとします。

鈍角三角形の場合を次の３つのケ−スに分けて調べます。
１．∠Ｂが鈍角のとき、
∠Ｂ＝π−(1/2)β＞(1/2)π
従って、π＞β

２．∠Ｃが鈍角のとき、
∠Ｃ＝(1/2)α＞(1/2)π
従って、α＞π

３．∠Ａが鈍角のとき、
∠Ａ＝(1/2)(β−α)＞(1/2)π
従って、β＞π＋α

以上を総合すると、鈍角三角形になるのは左図の黄緑の部分になります。
全事象(起こりうるすべてのケ−ス)は、直線α＝０、β＝２π、β＝α で囲まれた三角形になります。境界線は含みません。
従って、鈍角三角形になる確率は、面積比で3/4となります。
直角三角形になるのは、α＝π、β＝π、β＝π＋αのときなので、 左図の黄緑と黄色の境界線になります。面積は０ですので、確率0
残りの黄色の部分が鋭角三角形ということになり、面積比により1/4となります。




NO.450　　　　'99 4/25 　　 水の流れ 　　　 三角形可能な確率（１）
　　

第１４回数学的な応募問題

太郎さんのお子さんは工作が大好きです。 細長い棒が１本あります。 それを２カ所で折って、３本に分けます。 このとき、出来た３本で三角形を作れる確率を求めてください。 ただし、棒を折る位置はどの点でも同じとする。
太郎さんも童心にかえって、いろいろと折って考えることにしました。 皆さんも、考えてください。
　 ＜問題の出典：算数はアタマのよくなるパズルだ：みくに出版＞　



NO.451　　　　'99 4/26 　　 水の流れ 　　　 オイラーなら？
　　

　オイラーの業績を調べていて、次の不定積分や微分をオイラーなら どんな解法でしただろうね。



オイラーの立場になってユニークな解法をお寄せ下さい。



NO.452　　　　'99 4/28 　　 Junko 　　　 オイラーの「無限解析入門（１）」（４）
　　






NO.453　　　　'99 4/29 　　 水の流れ 　　　 オイラーの「無限解析入門（１）」（５）
　　

皆さん！ゼーター関数物語の続編で、オイラーの『無限解析入門（１）』 の第３夜の始まり、始まり。
前夜の宿題も、上手に解けていますね。 これからも、この調子でよろしくね。
さて、ψ（ｓ）とζ（ｓ）の関係は ψ（ｓ）＝（１−２(１−ｓ)）ζ（ｓ）　より

ψ（０）＝−ζ（０）　
ψ（−１）＝−３ζ（−１）　
ψ（−２）＝−７ζ（−２）　
ψ（−３）＝−１５ζ（−３）・・・・・・ となります。したがって、

１＋１＋１＋・・・＝ζ（０）＝−ψ（０）
１＋２＋３＋４＋・・・＝ζ（−１）＝−１／３・ψ（−１）
１＋４＋９＋１６＋・・・＝ζ（−２）＝−１／７・ψ（−２）
１＋８＋２７＋６４＋・・・＝ζ（−３）＝−１／１５・ψ（−３） ・・・・・・が得られます。

そこで、今夜はψ（０），ψ（−１），ψ（−１），ψ（−３），・・・ を計算します。
その前に、次の等式を思いだしてください。
１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋・・・＝１／(１−ｘ)・・・@
ちょっと、危ない計算ですが、ここで、ｘ＝−１を代入してください。
当然、収束条件にあっていません！
でも、ここのところを解析接続という手法で意味づけたのが オイラーの１００年後のリーマンでした。
皆さん、このように考えてください。すると、

ψ（０）＝１−１＋１−１＋・・・＝１／２と求まり、
ζ（０）＝１＋１＋１＋１＋・・・＝−１／２がでてきます。

ここで、今夜の宿題です。
等式@の両辺を２乗して、ψ（−１）から、 ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・を求めてください。
また、時間的に余力のある人は、 ψ（−２）、ψ（−３）にもチャレンジしても良いですよ。
読者の皆さんに、もう一度言っておきます。
ここでの計算はオイラーが発見したζ（ｓ）とζ（１−ｓ）の「双対性」 の理解を目的にしていることを！
それでは、第３夜の幕を下ろします。 また、明日の夜お会いしましょう。







E-mail 戻る