Colloquium

NO.1882　　　 無限級数の美しさ(2)　　　　2010.10.24.　　夜ふかしのつらいおじさん

(1-1)

(1-2)

(2-1)

(2-2)

(3)次の関係式を使います。

(3-1)

(3-2)

(4)
について考えます。
まず、kの式に書き換え、k＝1からk＝nまでの部分和を考えます。

NO.1881　　　 数論の問題(4)　　　　2010.10.10.　　数学マニア

自然数Nが、連続した自然数の和で表されるとすれば、最初の数をA、個数をｎとして

　　

２Nの約数、全てを並べると（素因数に３が含まれていないときは３はいらない）、

　　

ｎ＜２Ａ＋ｎ−１　なので、上の行をｎ、下の行を２Ａ＋ｎ−１　として対応させることができるが、 上と下のペアの数の和が偶数のときは、連続数としては表せない。 なぜなら　ｎ が奇数のとき、２Ａ＋ｎ−１ は、偶数、 ｎ が偶数のときは、２Ａ＋ｎ−１ は、奇数でなければならないので、 必ずその和が奇数でなければならない。（ Ａを解くと整数にならない。 Aに有理数もゆるし、連続した数の意味を差が１とすれば、可能です。たとえば、 が、２の冪数のみのときは、片方は、奇数なので、ｎ＝１ とすれば、連続した数の和とならない。 または、２Ａ＋ｎ−１＝１ とすれば、Ａ＞０ に反する（ Ａ＜０の整数も許せば、２＝−１＋０＋１＋２ ）上と下のペアの数の和が奇数のときは、上の数のかずだけ分割し、Ａ、ｎ を見つけることができ、連続数で表すことができます。上の数が、奇数のときは下の数は、必ず偶数になりますので可能です。上の数が偶数のとき、下の数は奇数となりつまりそれは奇素数のみの積の形となる。
したがって奇数の約数のかずだけ 分割の仕方があります。よって、Ｎが２の冪数のときは、奇数の約数はありませんので、連続した和では表せません。
奇数１を約数とするときは、１個の連続した分割として特別な場合として考えれば、奇数の約数のかずだけ分割の数があります。
一般に、その数自身も１個の連続した表しかたとして数えると、
　　　Ｎ＝２^αＰ_１^β・・・Ｐ_k^γ （Ｐ_kは、奇素数）のとき、
　　　（β＋１）・・・（γ＋１）は、表し方の個数となる。

例
Ｎ＝１８０＝２²３²５¹　のとき、（２＋１）（１＋１）＝６通りある。

１	２	３	４	５	６	８	９	10	12	15	18
360	180	120	90	72	60	45	40	36	30	24	20

(1,360),(3,120),(5,72),(8,45),(9,40),(15,24) の場合が可能で
２Ｎ＝ｎ（２Ａ＋ｎ−１ ）より、ｎとＡを求めると、
　(1,360)のとき、ｎ＝１、Ａ＝１８０
　(3,120)のとき、ｎ＝３、Ａ＝５９、５９＋６０＋６１＝１８０
　(5,72)のとき、ｎ＝５、Ａ＝３４、３４＋３５＋３６＋３７＋３８＝１８０
　(8,45)のとき、ｎ＝８、Ａ＝１９、１９＋２０＋２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋２６＝１８０
　(9,40)のとき、ｎ＝９、Ａ＝１６、１６＋・・・＋２４＝１８０
　(15,24)のとき、ｎ＝１５、Ａ＝５、５＋・・・＋１９＝１８０

Ｎが、ｎ個の連続した和に分割できるとき。

NO.1880　　　 三角形の回転問題(2)　　　　2010.10.10.　　夜ふかしのつらいおじさん

正三角形に近づくことをいいます。

●１．まず、三角形の性質の確認をします。（図１）
○三角形の二辺の和は他の一辺より長く、他の二辺の差より短いです。
　　つまり、ａ＋ｂ＞ｃ＞ａ−ｂ
○向かい合う頂点と辺に同じ文字を用いれば、角の大小と、辺の大小は同じになります。
　　つまり、∠Ｂ＞∠Ａ＞∠Ｃ なら　ｂ＞ａ＞ｃ です。

●２．次に正三角形になったときの状態をみておきます。（図２）
各点を回転しても隣の頂点に重なり図形の変化はありません。

●３．さて、一般的なときの様子を見てみます。
α、β、γのかわりに、A、B、Cを使います。
添字1の点を回転した点が添字2になっています。

不等辺の鋭角三角形A1B1C1において、辺B1C1＝a1、C1A1＝b1、A1B1＝c1とおきます。

○１．△A1B1C1で、b1＞a1＞c1とします。（最長はb1、最短はc1とします）（図３）

△A2C1B2において、A2C1＝b1、A2B2＝c2、C1B2＝(b1−c1)より、
(b1−c1)＞b1−c2なので、c1＜c2です。
もとの三角形で辺C1A1(b1)が最長なので、△A2C1B2において、 内角B2は鈍角になりその対辺A2C1(b1)が最長です。
よって、b1＞c2となります。
つまり、b1＞c2＞c1となります。
△B2C2A1において、B2C2＝a2、B2A1＝c1、C2A1＝(a1−c1)より、
(a1−c1)＞a2−c1なので、a1＞a2です。
もとの三角形が鋭角三角形なので、△B2C2A1において、 内角A1が鈍角になりその対辺B2C2(a2)が最長です。
よって、a2＞c1となります。
つまり、a1＞a2＞c1となります。
△A2B1C2において、C2A2＝b2、C2B1＝a1、A2B1＝(b1−a1)より、
(b1−a1)＞b2−a1なので、b1＞b2です。
もとの三角形が鋭角三角形なので、 △A2B1C2において、内角B1は鈍角になり対辺A2C2(b2)が最長です。
よって、b2＞a1となります。
つまり、b1＞b2＞a1となります。

○２．△A1B1C1で、b1＞c1＞a1とします。（最長はb1、最短はa1とします）（図４）
その１と同様に考えると、
b1＞c2＞b1、c1＞a2＞a1、b1＞b2＞a1
となります。

以上をまとめると、各点を回転させると、各辺の最大と最小の差が小さくなると言うことです。

各辺の最大と最小の差が小さくなるということは、 操作を繰り返すたびに正三角形に近づくということです。
（正三角形に収束するかどうかは以上からはいえていません）

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●４．二等辺三角形や鈍角三角形のときの補足

○左の図は頂角B1が108°より大きな二等辺三角形です。
a2がa1と同じ長さになります。
回転により、最大は変わらず最小が大きくなります。
○中の図は頂角が108°の二等辺三角形です。
回転により、最小は変わらず最大が小さくなります。
○右の図は頂角が108°より大きな鈍角三角形です。
回転により、最小がもとより小さくなりますが、最大がその分よりもっと小さくなります。

●５．お話

上の解答で正三角形に近づくことは確かですが、正三角形に収束するかは分かりません。
もとの三角形A1B1C1で辺の最大と最小の差は、図６(b1＞a1＞c1のとき)ではC1B2です。
回転した三角形A2B2C2で辺の最大と最小の差は、図６(b2＞a2＞c2になっている)では、b2−c2です。
この値は、
b2−c2＜b1−c2＝C1D＜C1H＝b1−c2＝(b1−c1)×cos(∠C1)
として、(b1−c1)×cos(∠C1)で抑えられます。
もとの三角形A1B1C1で最小の内角はC1です。
回転後の三角形A2B2C2で最小の内角はC1よりも大きくなります。（余弦の値は小さくなる）
図３のパターンで、最大と最小の差は、b2−c2、b2−a2、c2−a2の場合がありえます。
それらが、図のC1Hで抑えられれば、正三角形に収束するといえます。

NO.1879　　　 無限級数の美しさ　　　　2010.10.3.　　水の流れ

第２４７回数学的な応募問題

先日、青土社出版「πとeの話」を読んでいたら、無限級数の美しさと不思議を見つけま した。皆さんに紹介します。
さらに、イギリスの数学者ハーデイー（1877〜1947）の言葉も ありました。書いてみます。

　「数学者の思考様式は、画家や詩人のそれと同じように美しくなければならず
　そのアイデアは、色や言葉と同じように調和を形作らなければならない
　美は、なにものにも優先する試金石である
　見苦しい数学がこの世で永遠に生命を保つことなどありえない」

注：この記事に関する投稿の掲載は、2010年10月18日以降とします。

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