Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1〜3／NO.34
NO.264 '99 1/8 月の光 富士山（２） まず、地球の半径をａ、富士山の高さをｂとし、
地球を半分に切ってｘｙ平面で考えます。 a=6371(km),b=3.776(km)とすれば、Q(219.25,6367.23) この問題をやっていてふと思ったんですけれど、地球の反対側まで穴を空けて、
その穴に落ちた時、加速度はどうなるんでしょうか？
又、中心からずらして穴を空けるとどうでしょう？
すると、
地球の方程式 ｘ2＋ｙ2＝ａ2と、
点Ｃ(０，ａ＋ｂ)を通る直線との
交点Ｑ(ｘ0，ｙ0)までが
富士山から見下ろせる範囲となります。
つまり富士山の傾斜を考えなければ、麓から大体２１９ｋｍ
(正確には２１９．２９４ｋｍ)の地点まで見渡せることになります。
雲がなければですが。
しかし、ＴＶを使えばどこまででも見ることができます。
NO.265 '99 1/8 Junko 富士山（３） 左の図の赤い部分の距離を求めます。
方程式cosθ＝6371/(6371+3.776)を解くことにより、角θを求めます。
｢mathematica｣で解くと、θ＝0.0344･･･(ﾗｼﾞｱﾝ)となりました。
次に、赤い部分の長さlを求めるために、l=rθの式に代入します。
l＝6371×0.0344･･･＝219.294･･･となりました。
答えは富士山山頂の真下から半径約２１９ｋｍの
円内ということになるのでしょうか？
NO.266 '99 1/8 水の流れ 富士山（４） 静岡県の漁師などは富士山の頂上が見えなくなると、だいたい２００ｋｍ
だと、肌で感じていました。 ここで、先ほどの富士山と同じ問題です。 ７月末に、私は浜松の中島砂丘に立って、遠く彼方の海をみて、
心を静めていました。
一体何ｋｍ先の水平線を眺めていたことになるでしょうか。
ただし、私の目の高さを１．５ｍ、地球の半径を６３７１ｋｍとして、
計算してください。
勿論、地球は球体をして、考えてください。
NO.267 '99 1/8 月の光 連続根号数・その１（１）
NO.268 '99 1/8 月の光 連続根号数・その２（１）
NO.269 '99 1/10 豊作 互いに素（３） ＊このTeXファイルもご本人の提供です。
NO.270 '99 1/10 水の流れ 互いに素（４） 自然数Ｎ＝ａαｂβｃγ・・・（素因数分解した形）とおくと、 ここで、このオイラー関数の簡単な性質を書きます。 定理１．ＮとＭが互いに素なら、ψ（ＮＭ）＝ψ（Ｎ）・ψ（Ｍ） 定理２．Ｎ＝ａαのとき、（ａは素数） 定理３．各素因数ａに対して、 例 Ｎ＝１６＝２４のとき、 定理４．Ｎのすべての約数を１，ｐ，ｑ，ｒ，・・・，Ｎとすると、 例 Ｎ＝１５のとき、１５とすべての約数は１，３，５，１５だから そこで、問題です。 オイラー関数表
Ｎと互いに素（１以外に公約数をもたない）なものの個数をψ（Ｎ）と表す
（オイラー関数）。
ψ（Ｎ）＝Ｎ(１−1/a)(１−1/b)(１−1/c)・・・・・・ となる。
ψ（ａα）＝ａα−ａα−１＝ａα（１−1/a）
だから、これと定理１から
ψ（Ｎ）＝Ｎ(１−1/a)(１−1/b)(１−1/c)・・・・・・
ψ（１）＋ψ（ａ）＋ψ（ａ２）＋・・・＋ψ（ａα）
＝１＋（ａ−１）＋（ａ２−ａ）＋・・・＋ａα（１−１／ａ）＝ａα
ψ（１）＋ψ（２）＋ψ（４）＋ψ（８））＋ψ（１６）
＝１＋１＋２＋４＋８
＝１６
ψ（１）＋ψ（ｐ）＋ψ（ｑ）＋ψ（ｒ）＋・・・＋ψ（Ｎ）＝Ｎ
ψ（１）＋ψ（３）＋ψ（５）＋ψ（１５）
＝１＋２＋４＋８
＝１５
ψ（Ｎ）＝６ となる自然数Ｎを求めよ。＜参考：オイラー関数表参照＞
Ｎ ψ(Ｎ) Ｎ ψ(Ｎ) Ｎ ψ(Ｎ) Ｎ ψ(Ｎ) Ｎ ψ(Ｎ) １ １ ２１ １２ ４１ ４０ ６１ ６０ ８１ ５４ ２ １ ２２ １０ ４２ １２ ６２ ３０ ８２ ４０ ３ ２ ２３ ２２ ４３ ４２ ６３ ３６ ８３ ８２ ４ ２ ２４ ８ ４４ ２０ ６４ ３２ ８４ ２４ ５ ４ ２５ ２０ ４５ ２４ ６５ ４８ ８５ ６４ ６ ２ ２６ １２ ４６ ２２ ６６ ２０ ８６ ４２ ７ ６ ２７ １８ ４７ ４６ ６７ ６６ ８７ ５６ ８ ４ ２８ １２ ４８ １６ ６８ ３２ ８８ ４０ ９ ６ ２９ ２８ ４９ ４２ ６９ ４４ ８９ ８８ １０ ４ ３０ ８ ５０ ２０ ７０ ２４ ９０ ２４ １１ １０ ３１ ３０ ５１ ３２ ７１ ７０ ９１ ７２ １２ ４ ３２ １６ ５２ ２４ ７２ ２４ ９２ ４４ １３ １２ ３３ ２０ ５３ ５２ ７３ ７２ ９３ ６０ １４ ６ ３４ １６ ５４ １８ ７４ ３６ ９４ ４６ １５ ８ ３５ ２４ ５５ ４０ ７５ ４０ ９５ ７２ １６ ８ ３６ １２ ５６ ２４ ７６ ３６ ９６ ３２ １７ １６ ３７ ３６ ５７ ３６ ７７ ６０ ９７ ９６ １８ ６ ３８ １８ ５８ ２８ ７８ ２４ ９８ ４２ １９ １８ ３９ ２４ ５９ ５８ ７９ ７８ ９９ ６０ ２０ ８ ４０ １６ ６０ １６ ８０ ３２ １００ ４０
NO.271 '99 1/11 Junko １９９９年の問題（４） 授業の中で、生徒にも挑戦してもらいました。
（１×９＋９）÷９＝２ １×√９×９÷９＝３ （１＋√９）×９÷９＝４ １＋√９＋９÷９＝５ （１＋９÷９）×√９＝６ −１＋９−９÷９＝７ −１＋９÷９×９＝８ １×９＋９−９＝９ １×９÷９＋９＝１０ １＋９＋９÷９＝１１ １×√９＋√９×√９＝１２
−１＋９÷９×√９＝２
１＋９÷（√９×√９）＝２
−１−√９＋９−√９＝２
１×（９＋９）÷９＝２
−１＋｛９÷（９÷√９）｝＝２
１＋９÷√９÷√９＝２
１×９÷９×√９＝３
１−９÷９＋√９＝３
１×√９×９÷９＝３
１×９−√９−√９＝３
１＋（９＋９）÷９＝３
１×９−９＋√９＝３
１×√９＋９−９＝３
１＋√９×√９÷√９＝４
１＋√９＋√９−√９＝４
１＋√９＋９−９＝４
１×（９÷９＋√９）＝４
１＋９−９＋√９＝４
１×９÷９＋√９＝４
１＋９−√９−√９＝４
１＋９÷９＋√９＝５
−１＋（９＋９）÷√９＝５
１＋√９÷√９＋√９＝５
１＋√９＋√９÷√９＝５
−１＋９−９÷√９＝５
１×√９×√９−√９＝６
１×９÷√９＋√９＝６
｛１＋（９÷９）｝×√９＝６
１×√９＋９÷√９＝６
−１＋９−√９÷√９＝７
１＋９÷√９＋√９＝７
１＋９−９÷√９＝７
１＋√９＋９÷√９＝７
−１＋９−９＋９＝８
−１＋９＋９−９＝８
−１−９＋９＋９＝８
１×９−９÷９＝８
−１＋√９＋√９＋√９＝８
−１×９÷９＋９＝８
１×９−９＋９＝９
１−９÷９＋９＝９
１×９×９÷９＝９
１×９÷９×９＝９
１＋９−９÷９＝９
１＋９−√９÷√９＝９
−１＋９＋９÷９＝９
（１＋９−９）×９＝９
（１＋９）×９÷９＝１０
１＋９＋９−９＝１０
１−９＋９＋９＝１０
１＋９−９＋９＝１０
１＋９×９÷９＝１０
１＋√９＋√９＋√９＝１０
１＋９÷９＋９＝１１
−１＋√９＋√９×√９＝１１
１×√９×√９＋√９＝１２
１×√(９×９)＋√９＝１２
１×９÷√９＋９＝１２
１×９＋９÷√９＝１２
NO.272 '99 1/11 月の光 定義域（１）
オイラーが解を得ています。
NO.273 '99 1/12 Junko 互いに素（５） NO.270のオイラー関数表を検証していて、
オイラ−関数の値を求める際には、次の２通りでせめていけばよいということに気づきました。
「ψ（Ｎ）＝６ となる自然数Ｎを求めよ。」を考えてみます。 蛇足ながら、ψ(２８)＝ψ(２)×ψ(１４)＝１×６＝６とはなりません。 以上により、ψ（Ｎ）＝６を満たす自然数Ｎは、 さて、オイラ−関数表を見ていて思ったのですが、
ψ(Ｎ)＝ａα−ａα−１
(NO.270の定理２)
特にＮ自身が素数の時は、ψ(Ｎ)＝Ｎ−１
例えば、ψ(１６)＝ψ(２４)
＝２４−２３
＝１６−８
＝８
ψ(１７)＝１７−１
＝１６
ψ(Ｎ)＝ψ(ａα)・ψ(ｂβ)・ψ(ｃγ)・・・
例えば、ψ(１５)＝ψ(５×３)
＝ψ(５)×ψ(３)
＝４×２
＝８
上記の２つの型別に考えてみます。
ψ(Ｎ)＝ａα−ａα−１＝ａα−１(ａ−１)＝６
従ってＮ＝３２＝９
従ってＮ＝７１＝７
ψ(Ｎ)＝ψ(ａα)・ψ(ｂβ)・ψ(ｃγ)・・・＝６
ψ(ａ)・ψ(ｂ)＝２×３＝６またはψ(ａ)・ψ(ｂ)＝１×６＝６なる組み合わせを探す。
ψ(Ｎ)＝ａα−ａα−１＝ａα−１(ａ−１)＝３
このとき、２α−１＝３よりダメ
ψ(Ｎ)＝ａα−ａα−１＝ａα−１(ａ−１)＝２
ａ−１＝１とすると、ａ＝２。
このとき、２α−１＝１よりα＝１
従ってＮ＝２１＝２
例外的に、ψ(１)＝１。しかし１では話が進展しない。
ψ(Ｎ)＝６を満たすのは、前段の話しよりＮ＝７とＮ＝９だから、
ψ(１４)＝ψ(２)×ψ(７)＝１×６＝６
ψ(１８)＝ψ(２)×ψ(９)＝１×６＝６
Ｎ＝７，９，１４，１８の４つに限る。
「Ｎ≧３に対して、ψ(Ｎ)は必ず偶数となる」ようですね。
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