コロキウム室

図のような　あみだくじを作りました。 ＡがＡに、ＢがＢに、ＣがＣに、ＤがＤに、ＥがＥに、ＦがＦにいくように 横線を最低何本引いたらいいでしょう。実際に引いてください。 （横線の引き方の順序はいろいろあると思われます） 最低、何本必要かその考え方を教えてください。　

模試シリーズ７

xyz 空間に、直線 l ：y ＝ 0 , z ＝ 2 と、平面π：z ＝ 1 がある。
３点Ｐ、Ｑ、Ｒはそれぞれ直線 l 、平面π、xy 平面上にあり、またこの３点は同 一直線上にあるものとする。
更に線分ＰＲの長さは 2√2 で、点Ｑの x 座標 q は、 -1 ≦ q ≦ 1 を満たすものとする。
点Ｒの存在しうる範囲を、xy 平面上に図示せよ。

第８７回数学的な応募問題

今、太郎さんは学校で理系の生徒に積分法を、 文系の生徒には複素数平面を教えようとしています。 過去の大学入試問題を眺めていたら、弘前大学で次のような問題がありました。 興味深い事実に感嘆しながらご紹介します。

問題１：
複素数平面上の原点Ｏを中心とする半径１の円周上に、 複素数　α，β，γ，δがこの順に並んでいる。
α，β，γ，δでできている四角形の対角線が直交する条件は、 αγ＋βδ＝０　であることを証明せよ。

問題２：
原点を中心とし、半径１の円周上に頂点をもつ正（２ｎ＋１）角形（ｎは自然数）の対角線は、 どれも直交しないことを証明せよ。

「Introduction-to-Probability」という本にNO.450（９９年４月２５日出 題）三角形可能な確率（１）と同じ問題がのっていまして、検索でこのページを 見つけて拝見させていただきました。
実は同本の演習問題にはNO.４５０とよく似た問題もあり、こちらの方は答えに 対数が出てくるようなのですが、この本には解答がついていません。よろしけれ ば解き方を教えていただけませんか？

２章　連続確率密度　より

問１３　

単位長の棒を２本に折り、そのうち長い方を再び２本に折る。（ただし折る箇所 はランダムに選ぶ）このとき出来た３本で三角形が作れる確率を求めよ。
（拙訳をお許しください。原文ものせます。）

（原文）
Take a stick of unit length and break it into two pieces. Choosing the break point at random. Now break the longer of the two pieces at a random point. What is the probability that the three pieces can be used to form a triangle?

「あみだくじ」の言い出しっぺとしては、 No.1089の水の流れさんの問題に答えないわけにはまいりますまい。

一言でいえば、私がNO.1083で言及した 「バブルソート」をやればよいのです。

まず、左図１のように、「仮の横線」をひきます。 最初は左端の縦線から始まって、右下がりの階段状に、 右端に達するまで5本の横線をひきます。
その次は、左端から始めてやはり右下がりの階段状に4本、 以下同じ要領で3本、2本、1本とひきます。
こうしてひいた「仮の横線」を上から順に見ていって、 その場所に横線をひくかひかないかを、次のように決定します。
「注目している仮の横線のすぐ上で、 左右の縦線に入ってくる2つの要素の順序(左右)関係が、 くじの下に書かれている要素の順序と逆のときは、その場所に横線をひく。 そうでなければ、その場所には横線をひかない。」
こうすると、上の5本の横線を判定し終えた段階で、 要素 F は必ず右端の縦線にたどり着きます。
右端の縦線には、そこから下に仮の横線は接していないので、 F については目的の位置に到達することが保証されます。
そして、次の4本の横線で E が右から2番目の縦線に送り込まれ、 以下同様に、D, C, B, A もしかるべき位置にたどり着きます。

これを実際にやってみると、左図２のように、 9本の横線をひくことで、目的のあみだくじができあがります。
この方法による並べ替えの途中経過を観察すると、最も右に来るべき要素が、 「あぶく」のように浮かび上がってくるように見えます。 それゆえ、このアルゴリズムは「バブルソート」と呼ばれています。
ところで、これだけではNo.1089の問題に対する完全な解答にはなっていません。 次のような問題が残っています。

(1) この解は最適解(すなわち、横線の本数が最小の解)であるか?
(2) ((1)が真ならば、さらに)バブルソートは常に最適解を与えるか?

すなわち、任意の要素の並びについて、バブルソートによって得られる解は、 その並べ替えを実現する最適解になっているか?

実は、上の(1)(2)ともに真です。ぜひ証明を考えてください。

ここでは、複素数 z の共役を z^* で表すことにさせて下さい。

問１：円周上の４点が作る四角形の対角線が直交する条件
４点α、β、γ、δが作る四角形の対角線が直交することは、
arg((α-γ)/(β-δ)) ＝ π/2　…[1]
で表せます。但し、偏角の正方向を反時計回りに取りました。これは、
Re((α-γ)/(β-δ)) ＝ 0　…[2]
と同値です。なぜなら、[1] よりある実数 r が存在して、
(α-γ)/(β-δ) ＝ r・exp(iπ/2)
と表せるため、(α-γ)/(β-δ) は純虚数となるからです。
　[2] より、
-(α-γ)/(β-δ) ＝ {(α-γ)/(β-δ)}^*
が成り立ちます。これを変形して、結局以下を得ます。
(α-γ)・(β^*-δ^*) + (α^*-γ^*)・(β-δ) ＝ 0　…[3]
　ところで、４点α、β、γ、δは単位円上にあるので、
z^* ＝ 1/z（z ＝ α、β、γ、δ）
が成り立ちます。これを [3] に代入して、
(α-γ)・(1/β-1/δ) + (1/α-1/γ)・(β-δ) ＝ 0
　これを整理して、
(α-γ)・(β-δ) ・(αγ+βδ) ＝ 0
を得ます。従って、α、β、γ、δが単位円上の相異４点であることから、目的の式 αγ+βδ ＝ 0　…[4]
を得ます。

問２：正(2n+1)角形の任意の２本の対角線が直交しないこと
　件の正多角形の中心を複素平面の原点に取り、正多角形の４頂点を任意に取ってこ れに反時計回りにα、β、γ、δと名付けたとき、[4] 式が成り立たないことを示せ ば主張は成立します。なお、回転移動により、α ＝ 1 にすることが出来ます。
　このとき、β、γ、δは、以下のように表せます。
β = exp(iu₁)、γ ＝ exp(iu₂)、δ ＝ exp(iu₃)
u_k ＝ 2π・j_k/(2n+1) 、k ＝ 1,2,3
1 ≦ j₁ ＜ j₂ ＜ j₃ ≦ 2n（各々の j_k は整数）
　[4] 式に上記を代入して、
exp(iu₂) + exp(i[u₁ + u₃]) ＝ 0
　これより、各 u_k の値域に注意して以下が成り立つことが分かります。
u₁ + u₃ ＝ π - u₂
　これを j_k の式に直すと、以下です。
j₁ + j₂ + j₃ ＝ n+1/2
　上式を満たす整数の組（j₁ , j₂ , j₃）は明らかに存在しません。
　よって、主張は成立です。

問題１
[解](Aと共役なものは~Aと表してます。)
α,β,γ,δは異なる0でない点であるから…(*)

	αγ⊥βδ
⇔	(α-γ)/(β-δ)+(~α-~γ)/(~β-~δ)=0
⇔	(α-γ)(~β-~δ)+(~α-~γ)(β-δ)=0…�@

ここで、ｌαl=lβl=lγl=lδl=1だから

�@	⇔(α-γ)(1/β-1/δ)+(1/α-1/γ)(β-δ)=0
	⇔(α-γ)(δ-β)/βδ+{(γ-α)/γα}(β-δ)=0
	⇔(α-γ)(δ-β)(1/βδ+1/γα)=0…�A

再び(*)に注意して
⇔(1/βδ+1/γα)=0
⇔αγ＋βδ＝0 ■　

問題２
[解]一つの頂点が１であるとしても一般性は失わない
このとき、各頂点は1から左回りにｚ、z²,z³,…ｚ²ⁿと置ける。
(ｚ^2ｎ+1=1である…�@ことに注意する)
対角線z^p:z^qとz^r:z^s (p,q,r,sは互いに異なる0以上2ｎ以下の整数)が直交する条件は問題1より

	zp・zq+zr・zs=0
⇔	zp・zq=-zr・zs
⇔	zp+q-r-s=-1…�A

�Aの両辺を2n+1乗すると
左辺=(z^2ｎ+1)^p+q-r-s=1(∵�@)
右辺=(-1)^2ｎ+1=-1
よって�Aは明らかに成り立たない
i.e.対角線は、どれも直交しない ■

NO.524　連続の証明（６）連続の証明（６）の記事の下から３行目の　f(x)<1/n　 はなぜいえるのでしょうか？

題意より P(p,0,2) R(x,y,0) と置ける
PR=2√2より
PR²=(p-x)²+y²+2²=(2√2)²
i.e.(p-x)²+y²=4…�@
ここで、P、Q、Rのｚ座標より QがP、Rの中点であることに注意すると

q=(p+x)/2⇔p=2q-x…�A

�Aを�@に代入して整理し
(x-q)²+(y²)/4=1…�B

�Bはqが-1≦q≦1の範囲で動くとき
x²+(y²)/4=1
がｘ軸方向に ｌ１ｌ の範囲で平行移動することを示すから 求める図は下図

棒の長さを１とする。棒を左右に置いて、左端を０，右端の点を１とする。そして、 ２カ所の切断点の、０（左端）からの距離を、ｘ、ｙとし（ただし、ｘ、ｙの大小の 区別をつけない）、出来た３本の辺を、（ｘ、ｙの大小に関わらず）左から�@、�A、 �Bとする。（図１参照）

　そして、さっきと同様、２数ｘ、ｙを点（ｘ、ｙ）で表し、０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦ １の座標を考える。（図２参照）

三角形ができるためには、「どの１辺も他の２辺の和より短い。」
今、３辺の和が１だから、このことを言い換えると、 「どの辺も１／２より短くなければならない。」
ここでは、逆に、三角形が出来ない場合を考える。

　まず、�@が１／２より大きくなる場合。
このとき、ｘ、ｙはともに１／２より大きいから、１／２≦ｘ≦１、１／２≦ｙ≦１。 これは図３の（ア）の部分になる。
次に、�Bが１／２より大きくなる場合も同様で、ｘ、ｙはともに１／２より小さくな るから、０≦ｘ≦１／２，０≦ｙ≦１／２。これは図３の（イ）の部分になる。
　最後に、�Aが１／２より大きくなるのは、ｘ、ｙの差が１／２より大きくなるとき がから、｜ｘ−ｙ｜≧１／２。これは図３の（ウ）の部分になる。
　したがって、三角形が作れるのは、（ア）、（イ）、（ウ）を除いた青い部分で、 その面積は、正方形全体の１／４になる。
よって、求める面積は、１／４である。
＜解答の出典：算数はアタマのよくなるパズルだ：みくに出版＞：（コメント：一 部、記号を変更し、詳しくしてある。）

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