コロキウム室

何か条件が抜けてませんか？ 7cm×7cmの正方形の内部に直径1.5cmの円を描きその内部に50個の点を適当にとれ ば、どの２点の距離も1.5cmより短くなってしまいます… そんな問題ではないと思うのですが？

簡単に誰でも出来る奇数の魔法陣（幾つになってもね）の解き方を紹介します。

魔法陣の外に架空の升目を想定します。
その上で表のように数字を書き込んで架空の升目に入った数字を移動します。 （わかりにくいかな？）
同じように１．２．３はそのまま下の方の連続斜め３マスの所に ５．６．７．は横に８．９も下の方の連続斜め２マスに…
こんなふうにすれば奇数については魔法陣を解くことが出来ます。

７でやってみました

	1 2 8 3 9 15
5 6 7 13 14 21	4 35 10 41 16 47 22 29 11 42 17 48 23   12 36 18 49 24   30 37 19 43 25   31   20 44 26   32   38 45 27   33   39   28   34   40   46	29 36 37 43 44 45
	35 41 47 42 48 49

偶数の場合は４でいきますが

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

一応このように入れます、次に４隅と対角の数字は固定します。 つまり１．４．６．７．１０．１１．１３．１６です。
残った数字を升目の中心を芯として（苦しい表現）入れ替えます。

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

そうすると、あらら不思議できちゃった
８の場合は入れ替える方法は同じですが固定する数字が４の時の場合より多くなりますが・・

模試シリーズ5

自然数 n の素因数分解を行って、n ＝ 2^a・b（a 、b はある整数） と表せるとき、b ＝ f(n) とおく。
また、m を自然数として、

とする。

1. p を自然数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。
   S(2p) ＝ 1/2・S(p) + p
   S(2p+1) ＝ S(2p) + 1
   
   
2. j を自然数として、数列｛a_j｝は以下で定義される。
   a₁ ＝ 1 、a_j+1 ＝ 2・a_j +1
   このとき、S(a_j) を j の式で表せ。
   
   

素数の問題・その２より、
「自然数ａとｂをとるとき、ａ^３＋ｂ^３＋４はある自然数の３乗とはならないことを 示しなさい。」

[解]
任意の整数 n は,n≡0,±1(mod3)のいずれかを満たす。
ここで、 n≡0(mod3)　 ⇒n³≡0(mod9)
n≡±1(mod3)⇒n³≡±1(mod9)だから、
任意の整数 n について n³≡0,±1(mod9)…�@

さて�@より、任意の整数 a , b について
a³+b³≡0,±1,±2(mod9)
すなわち、a³+b³+4≡2,±3,±4(mod9)…�A

�@�Aより題意は示された■

丁寧にやるなら次の補題を示すのでしょうね。

[補題]
n≡0(mod3)　 ⇒n³≡0(mod9)
n≡±1(mod3)⇒n³≡±1(mod9)

<補題の証明>
n=3k ⇒n³=27k³=9・3k³≡0(mod9)

n=3k±1⇒n³=(3k±1)³
　　　　=27k³±27k²+9k±1
　　　　=9(3k³±3k²+k)±1≡±1(mod9)

NO.1011　微分（４） yokodonさん の真意を理解するのに、しばらくかかりました。 あくまで私なりの理解ですけど・・・。とりあえず、わかったことを・・・。
関数f：R → Rが一点xで、収束半径ρのもとに展開半径|h₀|＜ρでテーラー展開可能とします。
それをf^(j)(x)＝a_jと書くことにして、

(1)

(2)

(3)

となる0＜|h₁|＜|h₀|が存在する．

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

にh₁＝h₀/2，h₂＝h₀/3，・・・を使い、

とすることは、f(x＋h₀)に対するかなり良い近似値を与えることになります （それはそうですね）。 ところで式(7)の最左辺と最右辺を直接等置した式を、式(1)でベキの形に書き変えれば、 h_n+1とh₀の関係を直接導けるはずです。実際にやってみると、

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

定理(?)

関数f：R → Rが一点xで、収束半径ρのもとに展開半径|h₀|＜ρで テーラー展開可能とする。このとき、

(24)

(25)

(26)

［証明］
テーラー展開可能な関数のテーラー級数をベキ級数と考えた場合、 項別の微分と項別の演算が可能で、微分した結果はもとと同じ収束半径を持つので、 式(9)より式(11)が得られる。
R_n(ε)＝0とすれば、 h_n+1＝h₀(1＋ε)/(n＋2)のh₀/(n＋2)からのずれである εを求められる。式(23)より、じゅうぶん大きなnに対して、

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

ところでyokodonさんは次のように仰いました。
�@ f(x+h₀) の展開式で、 数列｛h_n｝を以下を満たすようにとります。
h_n＝h₀/(n+1)　n＝1,2,... このとき、

魔法陣８です。 なにせ古い記憶を頼りですので（笑）
解答はこちら

１	５６	４３	２５	３３	２４	１６	５７
６３	１０	１８	３９	３１	４２	５０	７
６２	１１	１９	３８	３０	４３	５１	６
４	５３	４５	２８	３６	２１	１３	６０
５	５２	４４	２９	３７	２０	１２	６１
５９	１４	２２	３５	２７	４６	５４	３
５８	１５	２３	３４	２６	４７	５５	２
８	４９	４１	３２	４０	１７	９	６４

４の時と同じ法則で移動するのですが 残す数値は下記のようになります
○はそのまんま、×は移動

○	×	×	○	○	×	×	○
×	○	○	×	×	○	○	×
×	○	○	×	×	○	○	×
○	×	×	○	○	×	×	○
○	×	×	○	○	×	×	○
×	○	○	×	×	○	○	×
×	○	○	×	×	○	○	×
○	×	×	○	○	×	×	○

あまりランダムな数値の配置にはならないのですが これなら、そらでも解けますよね 其処が良いんですよ（笑）
そうそう、別に数値の配列は 縦でも横でも良いですよ。

最近考えていた問題を何題か紹介したいと思います。

�@有名題です。三角形ＡＢＣが与えられていて、ＡＢＣの内接円の半径をｒ，外接円 の半径をＲとする。
このとき、Ｒ≧２ｒ となることを示せ。

�Aａ，ｂ，ｃ＞０のとき、
　(１／ａ)＋(１／ｂ)＋(１／ｃ)≦１／(ａ＋ｂ−ｃ)＋１／(ｃ＋ａ−ｂ)＋１／(ｂ＋ｃ−ａ)
となることを示せ。

�B三角形ＡＢＣの内部の点Ｐで、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ が最大となるようなものを見つけよ。

�CＡＢＣＤは∠Ａ＝６０°であるような菱形である。
点Ｅ，Ｆをそれぞれ辺ＡＢ，ＡＤ上の点とし、ＣＥ，ＣＦはＢＤとそれぞれＰ，Ｑで交わる。
また、(ＢＥ)^２＋(ＤＦ)^２＝(ＥＦ)^２ が成り立っているとき、
(ＢＰ)^２＋(ＤＱ)^２＝(ＰＱ)^２ を証明せよ。

�D（代数を２つ）
(1) ｐを素数とする。２／ａ＋３／ｂ＝５／ｐ の正整数解を全て見つけよ。

(2) 任意のXについて、 (ｘ−１)^２{Ｐ(ｘ)}＝(ｘ−３)^３{Ｐ(ｘ＋２)｝ を満たす実係数多項式Ｐ(ｘ)を全て求めよ。

問題の出典を書いておきます。
�A：ポーランド数オリ、１次
�C：清宮俊雄氏による問題です
�B、�Dは人から聞いた問題ですが、カナダの雑誌に載っていたそうです。

コロキウム室　NO.1050　「できるでしょうか？　つづき」 、正しくは、

「問題：
７×７のボードに50個の点を打つとき、どのように打っても必ず距離が1.5未満であ る２点が存在することを示せ。」

上のような問題を紹介しておきます。

�@Ａ君は５５冊の漫画を１日１冊、合計３１日で読みました。このとき、ある連続し た何日かで丁度２５冊を読んでいることを示して下さい。

�A長さ１の線分上にあるいくつかの小区間を赤色で塗る。どの赤色の２点間の距離も 0.1ではないとする。このとき赤い区間の長さの総和は0.5以下であることを証明せよ。

６の魔法陣も考えようと思っているのですが 何せ、水平移動と、対角移動、垂直移動と対角移動が関係していたように 思うので、なかなかですハイ！
固定するところは、対角の１１個の数字なのは、解っているのですが・・ ＢＭＰでヒントだけ（儂にもこたえおしえてぇ〜〜）を 送っておきます。

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