コロキウム室

問題１：

Ａ、Ｂ、Ｃの３チームがリーグ戦をすると、組み合わせは_３Ｃ_２＝３通り。
それぞれの試合について、一方が勝つ場合、負ける場合、引き分けの場合と３通りの勝敗が考えられるので、
３^３＝２７通りのケースが考えられます。 それらをすべて挙げてみました。

Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ ○ ６ Ｂ ×   ○ ３ Ｃ × ×   ０	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ ○ ６ Ｂ ×   △ １ Ｃ × △   １	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ ○ ６ Ｂ ×   × ０ Ｃ × ○   ３	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ △ ４ Ｂ ×   ○ ３ Ｃ △ ×   １	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ △ ４ Ｂ ×   △ １ Ｃ △ △   ２	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ △ ４ Ｂ ×   × ０ Ｃ △ ○   ４
Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ × ３ Ｂ ×   ○ ３ Ｃ ○ ×   ３	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ × ３ Ｂ ×   △ １ Ｃ ○ △   ４	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   ○ × ３ Ｂ ×   × ０ Ｃ ○ ○   ６	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ ○ ４ Ｂ △   ○ ４ Ｃ × ×   ０	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ ○ ４ Ｂ △   △ ２ Ｃ × △   １	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ ○ ４ Ｂ △   × １ Ｃ × ○   ３
Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ △ ２ Ｂ △   ○ ４ Ｃ △ ×   １	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ △ ２ Ｂ △   △ ２ Ｃ △ △   ２	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ △ ２ Ｂ △   × １ Ｃ △ ○   ４	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ × １ Ｂ △   ○ ４ Ｃ ○ ×   ３	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ × １ Ｂ △   △ ２ Ｃ ○ △   ４	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   △ × １ Ｂ △   × １ Ｃ ○ ○   ６
Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × ○ ３ Ｂ ○   ○ ６ Ｃ × ×   ０	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × ○ ３ Ｂ ○   △ ４ Ｃ × △   １	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × ○ ３ Ｂ ○   × ３ Ｃ × ○   ３	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × △ １ Ｂ ○   ○ ６ Ｃ △ ×   １	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × △ １ Ｂ ○   △ ４ Ｃ △ △   ２	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × △ １ Ｂ ○   × ３ Ｃ △ ○   ４
Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × × ０ Ｂ ○   ○ ６ Ｃ ○ ×   ３	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × × ０ Ｂ ○   △ ４ Ｃ ○ △   ４	Ａ Ｂ Ｃ 得点 Ａ   × × ０ Ｂ ○   × ３ Ｃ ○ ○   ６

得点の取り方のパターンは７通り。

• ６−３−０　・・・６通り（２勝するチームが３通り×１勝するチームが２通り）
• ６−１−１　・・・３通り（２勝するチームが３通り）
• ４−３−１　・・・６通り（１勝１引き分けのチームが３通り×１勝のチームが２通り）
• ４−２−１　・・・６通り（１勝１引き分けのチームが３通り×２引き分けのチームが２通り）
• ４−４−０　・・・３通り（１勝１引き分けが２チームで３通り）
• ３−３−３　・・・２通り（じゃんけん状態、右回りと左回り）
• ２−２−２　・・・１通り（すべて引き分け）

NO.441のビュフォンの針の問題では間隔がｄの平行線をたくさん引き、 長さｋの針をばらばらに落としたとき、 針が平行線と交わる確率ｐを 求めますが、ではy=sinθ,y=sinθ+d,y=sinθ+2d,y=sinθ+3d・・・ と無限に線を引き、その上に長さｋの針を落としたときに線と針が交わ る確率はどうなるでしょうか。

NO.859　三角数の数列（３）では、 力づくの証明だったので、別証を考えました。

T(k)=k(k+1)/2, k=0,1,2,...とすると
n=2^m ⇔^∀k∈{0,1,...,n-1}に対し^∃l;T(l)≡k(mod n)

まず　T(k+l)-T(k-(l+1))=2kl+k 　　　（１）を示す。

実際、T(k)=k+T(k-1)を繰り返し使うと、

	T(k+l)
=	(k+l)+T(k+l-1)
=	(k+l)+...+(k+1)+k+(k-1)+...+(k-l)+T(k-(l+1))
=	kl+(1+...+l)+k+kl-(1+...+l)+T(k-(l+1))
=	2kl+k+T(k-(l+1))

→
n個の{T(k)} k=0,1,...,n-1が全て異なる(mod n で）ことを示せばよい。 帰納法でしめす。
m=1のときは明らか。
n=2^m のとき成り立つと仮定する。
(1)で k=2^mとおくと
T(2^m+l)-T(2^m-(l+1))=2^m+1l+2^m　　　 （２）
より、T(2^m+l)≠T(2^m-(l+1)) (mod 2^m+1)
また、仮定から{T(2^m-(l+1))}は mod 2^m で全て異なるので mod 2^m+1で全て異なる。
さらに、{T(2^m+l)}も mod 2^mで全て異なる。
実際、(2)より、
T(2^m+l)≡T(2^m-(l+1)) (mod 2^m)
で、仮定から{T(2^m-(l+1))}は mod 2^mで全て異なるので、 {T(2^m+l)}も mod 2^m で、すなわち mod 2^m+1で全て異なる。
以上より、n=2^m+1のとき、{T(k)}は mod 2^m+1で全て異なる。

←
次が成り立つことに注意する。
^∀k≧nに対し^∃l∈{0,1,...,n-1};T(k)≡T(l)　(mod n)
実際、k=an+l=(a+1)n-(l'+1) とかけて、

anが奇数ならば
T(k)-T(l)=(k+l+1)(k-l)/2=(2l+an+1)an/2 で
(2l+an+1)は偶数なので T(k)≡T(l)　(mod n)

anが偶数ならば (a+1)n は奇数で
T(k)-T(l')=(a+1)n((a+1)n-(2l'+1))/2 で
((a+1)n-(2l'+1))は偶数なので T(k)≡T(l')　(mod n)
対偶をとって上の注意から、
n≠2^mのとき、^∃k,l 0≦l＜k＜n; T(k)≡T(l)　(mod n)を示せば十分であ るが、
n≠2^m⇔n が奇数を含む⇔n=(2l+1)kとかける。
従って、T(k+l)≡T(k-(l+1)) (mod n)

NO.839の確率の問題は大変興味深く読ませていただきました。
最後の結果について，エクセルで乱数を発生させてシュミレーションしました。
ｎは１００として、１０００回分のデータをとってみました。 結果は（ｎ−３）／６とよくあいます。

太郎さんは、今日授業で、２４以下で２４と互いに素な数を黒板に書いていました。
すなわち、１，５，７，11、13、17、19、23　の８個です。
そこで、一般に、２の倍数でも３の倍数でもない自然数の数列を作ります。 ここで、問題です。

問題１：この数列の一般項をｎで表せ。

問題２：この数列の初項から２ｍ項までの和をｍで表せ。

「今日は米１粒をください。そして、明日からは前日の２倍のづつ１ヶ月の間ください。 １粒、２粒と日々戴くのは面倒ですから１ヶ月後にまとめて戴きたい」
皆さん！こんな話を聞いたことがあるでしょう。戦国武将豊臣秀吉（1537〜1598）の御伽衆 （お話相手をする人々）の１人に泉州堺の鞘師（刀の鞘を作る職人）の曽呂利新左衛門（？〜1603） がいました。彼は鞘師としての腕前だけでなくおどけた話や狂歌の名手として、機知に富み話上手で、 常に秀吉のそばに仕え大変恩寵を受けていました。
　あるとき、秀吉が新左衛門に何か褒美を与えるが何が欲しいかを尋ねると、 新左衛門は、「今日は米１粒・・・。」と望み、秀吉も「何だその位の望みか」と簡単に承知しました。
　そこで、皆さん！米５０粒で１グラムとして計算します。ただし、１ヶ月３０日とします。

問題１：一体何トン位になるか計算してください。

問題２：米６０ｋｇで１俵といいます。新左衛門は一体何俵の米俵をもらうことになるでしょう。

問題３：１年間に１成人はだいたい米を１俵位食べるといいます。 この米粒は１成人の年分にあたるでしょうか。
　　＜参考文献：理系への数学11月号＞

粒数は，
　　１＋２＋２²＋２³＋・・・＋２²⁹＝(２³⁰−１)／(２−１) ＝２³⁰−１

したがって，
　　(２³⁰−１)／(５０×１０００×１０００)トンとなり，
　　(２³⁰−１)／(５０×１０００×６０)俵となります．

ＵＢＡＳＩＣで計算させると，だいたい
　　２１.５トン
　　３５８俵
　　３５８年分 となります．

「浜田」さんの解答を見ていて、以外に多いなーとふと思っています。 そこで、ちょっと変かなと思い再度計算してみましたが、確かでした。 でも、納得が今一いかないので、考えてみると、 この戦国の時代の暦は一体何だったにたどり着きました。
　私が、１ヶ月の日数がないと計算出来ないから、注釈をつけたのです。 そうです。この時期は今使っている太陽暦（グレゴリオ暦）ではなかったのです。 この暦は日本では明治五年に採用しています。 したがって、それ以前は月のみちかけを基準にした太陰暦が使われていたことに 気がついたのです。 旧暦では、２９日の小の月と３０日の大の月を交互に置くことにしていました。 平均の一月の長さは２９．５日になります。 しかし、１年では約１１日ずれてしまうので、この端数は３年で約１ヶ月になるので、 これを調節するために閏月という余分な月を入れて、１年１３ヶ月の閏年を作っていました。 閏年の日数は平年に比べると３０日ほど多くなっています。

ＶＢで実験したところ、以上のような結果になりました。精度が悪いせいか、いい結果とはいえないでしょう。

E-mail 戻る