コロキウム室

1つのツボに白の石を1つだけ入れて後のツボに残りの199個の石を入れると ７５％近くの確率で白を引けます。

私の読んだ本では、死刑囚が白を引いたら無罪と言う状況で ツボの中身を移しても良いかと裁判官に願い出ると言った内容でした。 裁判官はどのように移しても、ツボを選ばないといけないので ５０％の確率は変わらないだろうと判断し許可したという話しです。

２つのツボの話しですが、極端な状況を作ってしまった方が 確実により近いというのがおもしろいです。
つまり、白１個のツボを選んだ場合(1/2)、取り出した１個は確実に白。
もう一方を選んだ場合(1/2)、白である確率は99/199
従って、ト−タルでは(1/2)＋(1/2)×(99/199)＝149/199≒７５％ ということでしょうか。

NO.850　三角数の数列 を考えてみました。

T(k)=k(k+1)/2, k=0,1,2,...とすると
n=2^m ⇔ ^∀k∈{0,1,...,n-1}に対し^∃l;T(l)≡k(mod n)

⇒の証明
n個の{T(k)} k=0,1,...,n-1が全て異なる(mod n で）ことを示せばよい。
T(k)≡T(l) を満たす 0≦l＜k＜n があったとすると

T(k)-T(l)	=k(k+1)/2 - l(l+1)/2
	={(k2-l2)+(k-l)}/2
	={(k+l)(k-l)+ (k-l)}/2
	=(k+l+1)(k-l)/2

より　　2^m+1|(k+l+1)(k-l)

k-l が偶数だとすると k+l+1=(k-l)+(2l+1) より k+l+1は奇数。
したがって 2^m+1|(k-l)となって、k-l≧2^m+1であるが、
k-l＜n-0=n=2^m だからこれは不可能。

k-l が奇数とすると k+l+1 は偶数。
したがって 2^m+1|(k+l+1)となって、k+l+1≧2^m+1であるが、
k+l+1＜n+(n-1)+1=2n=2^m+1 だからこれも不可能。

←の証明
次が成り立つことに注意する。

^∀k≧nに対し^∃l∈{0,1,...,n-1};T(k)≡T(l)　(mod n)

実際、k=an+l=(a+1)n-(l'+1) とかけて、

anが奇数ならば
T(k)-T(l)=(k+l+1)(k-l)/2=(2l+an+1)an/2 で
(2l+an+1)は偶数なので T(k)≡T(l)　(mod n)

anが偶数ならば (a+1)n は奇数で
T(k)-T(l')=(a+1)n((a+1)n-(2l'+1))/2 で
((a+1)n-(2l'+1))は偶数なので T(k)≡T(l')　(mod n)

対偶をとって上の注意から、
n≠2^mのとき、^∃k,l 0≦l＜k＜n; T(k)≡T(l)　(mod n)を示せば十分。

n=q　 qは奇数の場合
l=0,k=q-1 とすると
T(k)-T(l)=(q-1)q/2 より 2q|(q-1)q を示せばよいが、2|q-1よりOK。

n=2q の場合
q≡1 (mod 4) の場合
l=q,k=2q-1 とすると
T(k)-T(l)=3q(q-1)/2 より 4q|3q(q-1) を示せばよいが、4|q-1よりOK。

q≡3 (mod 4) の場合
l=q-1,k=2q-1 とすると
T(k)-T(l)=(3q-1)q/2 より 4q|(3q-1)q を示せばよいが、4|3q-1よりOK。

n=q2^e qは奇数≧3、e≧2 の場合
aを次ぎの条件を満たすようにとる。
2^e+1+1≦2a+1＜(q-1)2^(e+1)+1 かつ q|2a+1

実際、

(q-1)2e+1+1-(2e+1+1)	=(q-2)2e+1
	≧8q-16 (∵2e+1≧8)
	≧8q-6q=2q (∵ 16＜18≦6q)

で、長さが2qの区間の中には、qの奇数倍の数が存在するので 上のようにaをとることができる。

k=a+2^e,l=a-2^e とすると、
上の条件から 2^e≦a＜(q-1)2^e より
k=a+2^e＜(q-1)2^e+2^e=q2^e=n
l=a-2^e≧2^e-2^e=0 をみたし、
T(k)-T(l)=(2a+1)2^e+1/2=(2a+1)2^e で q|2a+1 より T(k)≡T(l)　(mod n)

第６０回数学的な応募問題

太郎さんは、オリンピックのサッカー男子予選リーグの勝ち点について興味を持っています。 前後半９０分の試合を行って、 勝ったら勝ち点３点、引き分けたら勝ち点１点、負けたら０点となっています。 ここで、問題です。

問題１：
３チームでこの勝ち点方法でリーグ戦を行ったとき、

（１）１チームの勝ち点の取り方は、何点から何点まであって、 それらは何通りの試合から生まれるか。

（２）３チームの勝ち点の取り方をすべてあげてください。

問題２：
４チームでこの勝ち点方法でリーグ戦を行ったとき、

（１）１チームの勝ち点の取り方は、何点から何点まであって、 それらは何通りの試合から生まれるか。

（２）４チームの勝ち点の取り方をすべてあげてください。

参考に、シドニーオリンピックのサッカー男子予選リーグの結果を書いておきます。

予選Ａグループ順位表

順位	国	試合数	勝	分	負	得	失	勝点	得失点
１	イタリア	３	２	１	０	５	２	７	３
２	ナイジェリア	３	１	２	０	７	６	５	１
３	ホンジュラス	３	１	１	１	６	７	４	―１
４	オ−ストラリア	３	０	０	３	３	６	０	―３

予選Ｂグループ順位表

順位	国	試合数	勝	分	負	得	失	勝点	得失点
１	チリ	３	２	０	１	７	３	６	４
２	スペイン	３	２	０	１	６	３	６	３
３	韓国	３	２	０	１	２	３	６	―１
４	モロッコ	３	０	０	３	１	７	０	―６

予選Ｃグループ順位表

順位	国	試合数	勝	分	負	得	失	勝点	得失点
１	アメリカ	３	１	２	０	６	４	５	２
２	カメルーン	３	１	２	０	５	４	５	１
３	クウェート	３	１	０	２	６	８	３	―２
４	チェコ	３	０	２	１	５	６	２	―１

予選Ｄグループ順位表

順位	国	試合数	勝	分	負	得	失	勝点	得失点
１	ブラジル	３	２	０	１	５	４	６	１
２	日本	３	２	０	１	４	３	６	１
３	南アフリカ	３	１	０	２	５	５	３	０
４	スロバキア>	３	１	０	２	４	６	３	―２

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