コロキウム室

第５５回数学的な応募問題

太郎さんは、先日夏祭りの夜店に行って来ました。
夜店の主人が、１，２，３，・・・、１０の数字が書いてあるカードを持っていました。
それら１０枚のカードを左右に１列に並べて、ｋという数字のカードが左からｋ番目にあれば、 ｋというカードにｋ×１０円の引換券を与えてゲームをやっていました。
もちろん、無操作に並べて、インチキのないカードとします。 さらに、ｋという数字のカードがｋ番目にないなら、引換券はもら えません。そこで、問題です

問題１：
このゲームをしたとき、一番高い並べ方をしたとき引換券はいくらになるでしょうか。

問題２：
１０枚のカードについての引換券の期待値を求めてください。

問題３：
１夜にして、だいだい２００人がこのゲームをしていくと仮定して、 ９０００円以上の利益を期待するにはゲームの料金をだいたいいくらにしたらよいでしょうか。 １円以下は繰り上げてください。

問題４：
また、カードの数字が１から、ｎまで書いてあったときの、引換券の期待値をｎで表してください。

私もNO.810の「水の流れ」さん同様、５月２１日朝日新聞の記事 にある「放浪の天才数学者エルデシュ」（草思社）を読みました。

１９９６年９月２０日、ポ−ル・エルデシュは心臓発作で亡くなった。享年８３才。
ポ−ランドのワルシャワで開催された組み合わせ論のセミナ−に出席中、問題を解き終えて次の問題に 移ろうとしたときに倒れ、病院へ運ばれたが、その午後に息をひきとった。まさにかれが生前希望していた通りの逝き方だった。
エルデシュは数学界ではきわめて有名な「伝説的」人物だったそうだ。 早熟な天才であったし、奇矯な振る舞いも語りぐさだったという。 ところが、専門外の人がアインシュタインのように広くかれを知ることはほとんどなかった。 おそらく、かれの興味がもっぱら数学を解くことと、数学をいっしょに解いてくれる同志をみつけだすことだけに向けられていたためだろう。
かれは、４８５人もの共著者と１０００本以上の論文を発表し、 ７０歳を越えてからもなお１週間に１本は論文を書いたといわれる。 この共著者の多さからエルデシュ番号なるものが派生したり、相手構わず子どもをエプシロン、 女性をボス、男性を奴隷などと呼ぶ独特の単語や言い回しで話をしたり、 若い数学者を育成するために問題に賞金をつけて出題したり、濃いコ−ヒ−やベンゼドリンやカフェインの 錠剤を飲みながら１日に１９時間も問題を解くという生活を送ったりと、「伝説」となる逸話には事欠かない。
定住地も家庭も財産も持たず、身の回りの品を詰めただけのス−ツケ−スを携えて２５カ国以上を 飛びまわり、いきなり戸口に「わしの頭は営業中だ」と言って現れたというエルデシュ。 かれに宿を提供し、いささかのあきれとあきらめと、それ以上の敬愛をこめてかれと 語り明かした数学者仲間たちには、そして本書を読んでかれを知った読者には、単なる逸話以上のものが伝わっているはずだ。

「放浪の天才数学者エルデシュ」訳者(平石律子)あとがきより引用

No. 832のポール・エルデシュの話に出てきた「エルデシュ数」について、少々与太話をば…

「エルデシュ数」とは、次の法則によって数学者に付与される自然数(または∞)です。

1. エルデシュ自身は、エルデシュ数 0 をもつ。
2. エルデシュの共著者はエルデシュ数 1 をもつ。
3. エルデシュ数 1 の数学者の共著者で、エルデシュ数 0 または 1 をもたない者は、エルデシュ数 2 をもつ。
4. 以下同様に、エルデシュ数 n の数学者の共著者で、 n 以下のエルデシュ数をもたない者は、エルデシュ数 n+1 をもつ。
5. 以上の法則によってエルデシュ数が付与されない数学者は、エルデシュ数∞をもつ。

エルデシュは共著者があまりにも多いので、上のようにエルデシュ数を定義すると、今日の著名な数学者の大部分は有限のエルデシュ数をもつことになります。 このことが、エルデシュ数なるものが派生したゆえんです。
また、エルデシュの偉大さゆえ、数学者の間では、比較的小さなエルデシュ数をもつことはある種のステータスと考えられています。 (エルデシュ数プロジェクトのWebサイトでは、エルデシュ数2以下の数学者のリストや、著名な数学者のエルデシュ数が公開されています。)

ちなみに、これを書いている私自身も、実はエルデシュ数有限です。
エルデシュから私に至る共著関係の連鎖をたどってみると、私とはまるで比較にならない大物数学者たちを経由しながら、ひょんなところで私に到達しています(^^;)。

さて、上述のエルデシュ数の定義を一般化することによって、数学者全体の集合(空間)に「距離」を導入することができます。

数学者全体の集合を M とし、 M のべき集合の部分集合 P を、「 { a₀, ..., a_k-1 } ∈ P となるのは、数学者 a₀, ..., a_k-1 らによる共著論文が存在するときかつそのときのみ」と定義する。

M の2つの元 a, b に対して自然数または記号「∞」を与える関数 e を、次のように定義する。

1. M の任意の元 a について、 e(a,a) = 0 とする。
2. M の相異なる2元 a, b に対して、 M の(n+1)個の元 c₀, ..., c_n および P のn個の元 p₀, ..., p_n-1 が存在して、 c₀ = a、 c_n = b かつ、 すべての i = 0, 1, ..., n-1 について、{ c_i, c_i+1 } ⊆ p_i が成り立つとする。 このとき、そのような性質を満たす自然数 n のうち最小のものを e(a,b) の値とする。
3. e(a,b) の値が以上によって定められない場合は、 e(a,b) = ∞ と定める。

e(エルデシュ,a) の値は数学者 a のエルデシュ数と一致するので、 上の定義は、エルデシュ数の自然な一般化になっています。 また、こうして定義された関数 e は、 いわゆる「距離の公理」、すなわち、次の3つの性質を満たします。 (ただし、記号∞については、任意の自然数 n について n < ∞、 ∞ + n = ∞ + ∞ = ∞ と約束します。)

1. (正定値性) 任意の a, b ∈ M について e(a,b) ≧ 0 である。 また、 e(a,b) = 0 となるのは a = b のときかつそのときのみである。
2. (対称性) 任意の a, b ∈ M について e(a,b) = e(b,a) である。
3. (三角不等式) 任意の a, b, c ∈ M について e(a,b) + e(b,c) ≧ e(a,c) である。

したがって、数学者全体の集合 M に、この関数 e を距離関数として導入すると、 M は距離空間となります。

この距離空間で考えると、ひょっとしたら、意外な組み合わせの数学者同士が「ご近所さん」になっているかもしれません…

(参考文献: 「黄色いスミレの花の咲く頃」, 渕野 昌, 数学セミナー1997年7月号)

第５６回数学的な応募問題

太郎さんは、ときどき　夜空を見上げて、果てしなく続く宇宙空間を眺めています。
このとき、０次元の世界に住んでいると、そこには点の世界だから、 境界はひとつ「頂点」があるだけです。 この点を動かしてみると、１次元の世界ができあがるが、ここには「線」でしかない。 これには、「境い目」が２つある。 その両端である。言いかえれば、「２つの０次元境界（頂点）と１つの１次元境界（線）とがある」 と言える。
さて、この直線を横にその長さだけ引っ張ると、正方形ができる。 すると、頂点の数は、以前あった２から４に倍増している。 また、正方形では４つの直線、つまり辺が４本あり、さらに、 １枚の２次元境界（面）がここではじめて出てくる。
さて次ぎに、２次元の平面から上に向かって離れていくと、 例えば、正方形を上にうまく移動すれば、立方体を作ることができる。 ４つの頂点の動いた軌跡がまず４本の線を作りだすから、辺は１２本、頂点は８個、 面は２次元では、１枚しかなかったが、一挙６枚になっている。
これを、繰り返して、４次元の超立方体、５次元の超々立方体、・・・。 ｎ次元の超々々・・・立方体を考えていきます。 ここには、ｎ次元空間の世界があるのです。
このときの０次元境界（頂点）、１次元境界（辺）、２次元境界（面）、 ３次元境界（立体）、・・・、（ｎ―１）次元境界（名前はまだできていない）の数を調べたいのです。 ここには、オイラーの多面体定理が成り立つと思っていますが、・・・・ 何せ、頭の中でしか想像できない超々々・・・立方体ですので、困っています。 ここで、問題です。

問題１：
４次元の「超立方体」には境界になる、点、辺、面、立体がそれぞれいくつあるでしょう。

問題２：
一般に、ｎ次元の「超々々・・・立方体」には境界になる、点、辺、面、立体、・・・、 （ｎ―１）次元境界の数は一体いくつあるでしょう。一般式が求められています。 皆さん考えてください。
＜ヒント：群数列でみると、（１）、（１，２）、（１，４，４）、（１，６，１２，８）、 ・・・・＞

生物を特徴づける遺伝子ＤＮＡは次の４つの塩基からできています。

Ａ＝アデニン　 Ｔ＝チミン　 Ｇ＝グアニン　 Ｃ＝シトシン

この４つの塩基が対になって並んで蛋白質を作る元になっていますが、 たまに複製の際ＡがＧやＣ、Ｔに換わって突然変異が起きてしまいます。 そこで問題です。
ある場所にＡＡＡＡＡという配列があり、ｐの 確率でＡがＧ（Ｃ、Ｔでもかまいません）に換わり、Ｇはｑの確率で Ａに換わります。

ｎ回目の複製でＡＡＡＡＡとなっている確率を求めてください。
同様にｍ個のＡが並んでいるときの確率を求めてください。

はじめまして。 今年の教員採用試験を受けたんですが、どうにもわからない問題がありました。 よろしければ、教えて下さい。

(問)　１からｎまでの数字をかいたｎ枚のカード(ｎ≧３)がある。 この中からまず、２枚を取り出し、次に、１枚取り出す(この数字をｋとする)。 ｋが、最初に取り出した２枚のカードの間の数字なら確率変数Ｘを、Ｘ＝ｋ、 そうでなければ、Ｘ＝−１とする。Ｘの確率分布を求めよ。

こんな感じだったと思うんですが・・・。 この後に、期待値を求める問題がありました。

まずＸの確率分布を求めてみます。

Ｐ(Ｘ＝１)＝０・・・ありえないから

Ｐ(Ｘ＝２)＝(１／_ｎＣ_２)(１／ｎ−２)＝２／ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)・・・最初に取り出す２枚が１と３で、かつ３枚めが２

Ｐ(Ｘ＝３)＝(１／_ｎＣ_２)(１／ｎ−２)＝２／ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)・・・最初に取り出す２枚が２と４で、かつ３枚めが３

・・・以下同様

Ｐ(Ｘ＝ｎ−１)＝(１／_ｎＣ_２)(１／ｎ−２)＝２／ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)・・・最初に取り出す２枚が(ｎ−２)とｎで、かつ３枚めが(ｎ−１)

Ｐ(Ｘ＝ｎ)＝０・・・ありえない

Ｐ(Ｘ＝−１)	＝１−{Ｐ(Ｘ＝１)＋Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・＋Ｐ(Ｘ＝ｎ)}・・・上記のもの以外
	＝１−(２／ｎ(ｎ−１)(ｎ−２))×(ｎ−２)
	＝(ｎ−２)(ｎ＋１)／ｎ(ｎ−１)

次に期待値です。

Ｅ(Ｘ)	＝１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・＋ｎ×Ｐ(Ｘ＝ｎ)＋(−１)×Ｐ(Ｘ＝−１)
	＝１×０＋{２＋３＋・・・(ｎ−１)}×２／ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)＋ｎ×０＋(−１)×(ｎ−２)(ｎ＋１)／ｎ(ｎ−１)
	＝(ｎ＋１)／ｎ(ｎ−１)−(ｎ−２)(ｎ＋１)／ｎ(ｎ−１)
	＝(ｎ＋１)(３−ｎ)／ｎ(ｎ−１)

例えば、Ｘ＝３のときは、はじめの２枚が、２と５とかが、含まれていないように思えるのですが・・・。

　Ｐ（Ｘ＝３）＝（１／_nＣ₂）（₂Ｃ₁）（_n-3Ｃ₁）（１／ｎ−２）

一般的には
　Ｐ（Ｘ＝k）＝（１／_nＣ₂）（_k-1Ｃ₁）（_n-kＣ₁）（１／ｎ−２）

こんな感じになるのでしょうか？

そうですね、問題文はしっかり読まないといけませんね。 やり直します。

ｋ＝１〜ｎについては、NO.838のtoshiさんのご指摘通り、

Ｐ(Ｘ＝−１)については、

さらに期待値については、

案外すっきりした形に落ち着きました。計算まちがいをしていなければ・・・。

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