Weekend Mathematics／問題／問題63



６３．続・どちらが大きい？

５０９９と９９！ではどちらが大きいでしょうか？

注）９９！について







問題の出典


数学のひろば

ドミトリ・フォミーン、セルゲイ・ゲンキン、イリヤ・イテンベルク著
志賀浩二、田中紀子訳
岩波書店






答えと解説





答えと解説

解答・その１

（ペンネ−ム：やなせ）

９９！より５５の９９乗の方がかなりでかい

其処までのかてい まず、エクセルを立ち上げます（もうこれで、あきれたかな？） 適当なセルに＝ＦＡＣＴ（９９）と入力してＥｎｔｅｒ すると　9.3326E+155とでます。
次に違うセルに＝５０９９と入力してＥｎｔｅｒ これまた　1.5777E+168 と出てきました。
これはもう明らかに桁数が違うので歴然ですね。（爆笑） 念のために、セルの書式を数値に設定すると凄いことになってしまいました。
いやぁ〜他の皆さんみたいに、きちんと出来ませんが 最近は便利な物があるのでとにかく答えだけは出ますね。



解答・その２

（ペンネ−ム：スモークマン）

99！=（50+49）（50+48）・・・（50-48）（50-49）
=（502-492）（502-482）・・ （502-12）50
=5099-5097（12+22+・・・+492） +5095（12*22+・・・+482*492） -5091（12*22*32*+・・・+472*482*492）
　　　+・・・-50*12*22*・・・*492

第2項と第3項比べると、第2項の方が大きい。 つまり、第2n項-第2n+1項＞0だから、一番最後の第49項もマイナスだから、結 局、99！=5099-Xとなり、Xはプラスの項なので、99！＜5099となる。



解答・その３

（ペンネ−ム：QPer）

底50（＞1) の対数をとる。ここでは底は省略します。

log5099=99

log99!=log99+log98+…+log1
=log99*1+log98*2+…+log51*49+log50

ここで和が100になる2つの数　x(＞0),　100-x(＞0) で相加相乗平均の関係より

x+(100-x)≧2√x(100-x)
x(100-x)≦502
等号成立がx=50のときであることに注意すれば

log99!＜log502+log502+…+log502+log50
=2+2+…+2+1
=2*49+1
=99

よって、log5099＞log99!
底50＞1だから　　　5099＞99!



解答・その４

（ペンネ−ム：スチューデント）

９９！
＝９９・９８・９７・・・５１・５０・４９・・・３・２・１
＝｛（９９・１）…@｝×｛（９８・２）…A｝×｛（９７・３）…B｝×・・・｛５１・４９…４９項目｝・５０

５０９９
＝（５０・５０）・（５０・５０）・（５０・５０）・・・（５０・５０）
＝（５０・５０…@’）・（５０・５０…A’）・（５０・５０…B’）・・・（５０・５０…４９項目’）・５０

@と@’、AとA’、BとB’、・・・４９項目と４９項目’をそれぞれ比較すると、

　９９・１＜５０２
　９８・２＜５０２
　９７・３＜５０２
　　　　　・
　　　　　・
　５１・４９＜５０２

また、５０項目は

　５０＝５０

各項は全て＋であるので、５０９９の方が大きい。



解答・その５

（ペンネ−ム：こざっぱ）

99!= 99*98*97*96*・・・・4*3*2*1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
= 50*(51*49)*(52*48)*(53*47)*・・・・(96*4)*(97*3)*(98*2)*(99*1) <- 50をはさんで左右の数字が組になるように並び替えた
= 50{(50+1)(50-1)}{(50+2)(50-2)}{(50+3)(50-3)}・・・・{(50+48)(50-48)}{(50+49)(50-49)} <-各数字を50と数値の加減算で表現できるようにした
= 50{502-12}{502-22}{502-32}{502-42}・・・・}{502-482}{502-492} <- (X+C)(X-C)=X2-C2を利用して式を変形


ここまでの変形で、99!は、
50が1個と、（502-k2)が49個の乗算で表現できた。（ｋは１〜49が順番に出現）　・・・・@

一方、5099は、

5099= 50*(50*50)(50*50)(50*50)*・・・・(50*50)(50*50)

となり、50が1個と、502が49個の乗算と考えられる。 　　　　　　　　　　　　 ・・・・A

@とAを比較する。 いずれも50個の数字の乗算で、そのうち1個は50で同じだが、それ以外の他の49個の数字はすべて k2の分だけ99!の方が少ない。（kは1〜49） かける数字の個数が同じで、その数字が１個(50)を除き、すべて小さいのだから　5099　>　99!となります。

Ans　5099の方が大きい。



解答・その６

（ペンネ−ム：とし）

５０９９が大きい。

（１００−N）N＝−（N−５０）２＋５０２

ですから
１ｘ９９＜５０２
２ｘ９８＜５０２
　　　・
　　　・
４９ｘ５１＜５０２　
　 ５０＝５０
　　



解答・その７

（ペンネ−ム：kiyo）

２*９９＜５０*５０
３*９８＜５０*５０
.....................................
４８*５１＜５０*５０
４９*５０＜５０*５０
であるから、
９９！＜（５０*５０）４９＝５０９８＜５０９９
５０９９の方が大きい。



解答・その８

（ペンネ−ム：Ｎと〜）

５０９９＞９９！

９９！＝９９・９８・９７・・・・・５２・５１・５０・４９・４８・・・・・３・２・１
＝（９９・１）・（９８・２）・（９７・３）・・・・・（５２・４８）・（５１・４９）・５０

９９・１＜５０・５０
９８・２＜５０・５０
９７・３＜５０・５０
・・・・・・
５２・４８＜５０・５０
５１・４９＜５０・５０
５０＝５０

両辺ともすべて正で、左辺をすべてかけると　９９！
右辺をすべてかけると　５０９９
以上より、【５０９９＞９９！】




解答・その９

（ペンネ−ム：柿本　浩）

９９！＝１×２×・・・×４９×５０×５１×・・・×９８×９９
＝（５０−４９）×（５０−４８）×・・・×（５０−１）×５０×（５０＋ １）×・・・×（５０＋４８）×（５０＋４９）

乗算の順序を並べ替えれば

９９！＝５０×｛（５０−１）×（５０＋１）｝×｛（５０−２）×（５０＋２）｝
　　　×・・・｛（５０−４８）×（５０＋４８）｝×｛（５０−４９）×（５０＋４９）｝　：式１

（５０−１）×（５０＋１）＝５０２−１２
（５０−２）×（５０＋２）＝５０２−２２
　　　・
　　　・
　　　・
（５０−４８）×（５０＋４８）＝５０２−４８２
（５０−４９）×（５０＋４９）＝５０２−４９２

であり、式１の｛　｝で括られた中の積は、全て５０２より小さい事が分かる。

５０２より小さい自然数を４９個乗算した積よりも ５０２を４９個乗算した積、すなわち５０９８の方が大きい事は明白であり

（５０２−１２）×（５０２−２２）×・・・×（５０２−４８２）× （５０２−４９２）＜５０９８ 両辺に５０をかけて

５０×（５０２−１２）×（５０２−２２）×・・・×（５０２−４８２） ×（５０２−４９２）＜５０×５０９８

　　　　　　　　↓

５０×（５０−１）×（５０＋１）×（５０−２）×（５０＋２）×・・・（５０− ４８）×（５０＋４８）×（５０−４９）×（５０＋４９）＜５０９９

　　∴９９！＜５０９９



解答・その10

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

題意より99!/5099を求めてこれが1より大きいかどうかで大小の判定をします。

　　99!/5099=(99×98×97 ×・・・3×2×1)/(50×50 ×・・・50×50)

分子分母ともそれぞれ99項です。(項というのは何か変ですがお許しを)
さらにこの式を変形して

　　99!/5099=99/50×98/50×・・52/50×51/50×50/50×49/50×48/50・・2/50×1/50

全部で99項
ここで50/50の左右の49項ずつをよく見てみると

　　・・52/50×51/50×50/50×49/50×48/50・・であり(50±1,2,3・・49)/50

の関係となっている。そこでこの ±の後の数字が等しい項の積を考える。よって

　　99!/5099=50/50×(502-12)/502 ×(502-22)/502 ×(502-32)/502 ・・・・(502-482)/502 ×(502-492)/502　
　　　　（全部で49+1項）

ここでそれぞれの項は (502-N2)/502 (Nは1〜49までの整数)であり
(502-N2)/502 =1-(N/50)2＜1であるため、
99!/5099=1×[1-(1/50)2]×[1-(2/50)2]×[1-(3/50)2]・・[1-(48/50)2]×[1- (49/50)2]の積は全て1以下の49項の積となるから1以下である。
したがって 99!/5099＜1だから 99!＜5099となり証明終わり。



解答・その11

（ペンネ−ム：teki）

答え　　５０99＞９９！

＜解法＞
「ガウスの足し算」ならぬ「ガウスのかけ算」で考えました。
つまり、

９９！＝（1×99）×（2×98）×・・・・・×（49×51）×50
５０99＝（50×50）×（50×50）×・・・・・×（50×50）×50


それぞれのかっこ内は、５０99の方が大きいので、結果も５０99＞９９！ となります。
（この考え方は、周囲の長さが一定の長方形の面積の大きさ の比較と共通するところがあります。すなわち、正方形に近い長方形の方 が面積が大きくなるのと同じ考え方です。）



解答・その12

（ペンネ−ム：高橋 道広）

答え5099の方が大きい

今回の問題は前回と同じようにときました。(どこが同じかは不明)



よって5099の方が大きい



解答・その13

（ペンネ−ム：ＢｏｓｓＦ）



ところが、１≦k≦49で
(50-k)/50・(50+k)/50=(502-k2)/502＜1
だから
99!/5099＜1　i.e. 99!＜5099
ぱっと見た時の予想と逆になってビックリしました。



解答・その14

（ペンネ−ム：Wasmath）

さて，問題６３ですが，一般化して

nが２以上の自然数のとき n2n-1＞(2n-1) !

であることを示します。
k=1，2，3，・・・，n-1 に対して
n2-k(2n-k) = n2-2kn+k2=(n-k)2 >0 より
n2 > k(2n-k)
ですから， すべてかけあわせて

　　

∴ n2n-1＞(2n-1) !




解答・その15

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

解答１
１から９９までの自然数について相加平均と相乗平均の関係を用いると、



両辺を９９乗して、

　　５０９９＞１×２×・・・×９９

よって、５０９９＞９９！

解答２

９９！＝９９×９８×・・・×５１×５０×４９×・・・×２×１
＝（９９×１）×（９８×２）×・・・×（５１×４９）×５０
＝（５０＋４９）×（５０−４９）×（５０＋４８）×（５０−４８）×・・・×（５０＋１）×（５０−１）×５０
＝（５０２ー４９２）×（５０２ー４８２）×・・・×（５０２ー１２）×５０
＜５０２×５０２×・・・×５０２×５０
＝５０９９

よって、５０９９＞９９！

解答３

log10５０９９＝９９log10(５×１０)
＝９９(log10５＋log10１０)
≒９９(０．６９９＋１)
＝９９×１．６９９
＝１６８．２０１

従って、５０９９は１６９桁の数

log10(９９！)＝log10(１×２×・・・×９９)
＝log10１＋log10２＋・・・＋log10９９

右図より、赤い長方形とグラフより


黒い長方形とグラフより



従って、９９！は１５６桁から１５８桁の数
よって、５０９９＞９９！




解答・その16

（ペンネ−ム：Ｊｕｎｂｏｕ）







解答・その17

（ペンネ−ム：yokodon）

計算機でやればアッという間ですが、それではナンなので、数学の問題らしい議論 をしてみたいと思います。ただ、以下を既知にしたいと思います。なお、 log(x) は 常用対数を、ln(x) は自然対数を表すことにします。
log1.25 ≒ 0.097 および e ＞ 2.5

y ＝ ln(x) のグラフを考えると、以下の不等式を容易に示すことが出来ます。



この両辺を ln10 で割ると、以下のようになります。

200 - 99・log(e) ≧ log(99!)　・・・[1]

さて、log(5099) ＝ 198 - 99・log2 ですから、

(198 - 99・log2) - (200 - 99・log(e))
＝99・log(e/2) - 2
＞99・log(2.5/2) - 2
＞99・0.095 - 2
＝7.405 ＞ 0　・・・[2]

従って、[1][2] から log(5099) ＞ log(99!) なので 5099 ＞ 99! …(答)

因みに、計算機でやってみると、

　　log(5099) ≒ 168.198...
　　log(99!) ≒ 155.970...

なので、直ちに言えます。

#対数の値を前提にしない上手い回答を、誰かきっとしているんだろうなぁ。
##対数を使わない議論も、誰かしていそうだなぁ。




解答・その18

（ペンネ−ム：月の光）

[割る方法]



よって99!<5099

[スターリングの公式]
99!≒(99/e)99<5099です。
n!≒(n/e)nがスターリングの公式から分かります。（nが大きいとき）



正解者

kiyoteki高橋 道広
モルモット大臣スチューデントこざっぱ
夜ふかしのつらいおじさんとしＪｕｎｂｏｕ
WasmathＢｏｓｓＦやなせ
yokodonQPerスモークマン
Ｎと〜柿本　浩月の光





まとめ

やなせさんから解答をいただき、さっそく私もExcelでやってみました。 いやあ、すごい。こんなに桁数の大きい計算をやってくれるとは思ってもみませんでした。 私はこの問題、検証はできないだろうと思っていましたが、できますね。

今回寄せられた解答は、tekiさんのネーミングによる「ガウスのかけ算」風変形を用いた解答と、 桁数で比較する解法に大きく分けられるかなと思います。
私自身は、前者のパターンで「相加・相乗平均」の関係を思い浮かべました。

　　　　「相加・相乗平均」の関係

ａ，ｂ＞０であるとき、次の不等式が成り立つ。

　　　　　　

ただし、等号が成立するのは、ａ＝ｂの時に限る。

つまり、

９９！＝（1×99）×（2×98）×・・・・・×（49×51）×50
５０99＝（50×50）×（50×50）×・・・・・×（50×50）×50


において、「相加・相乗平均」の関係を用いると



つまり、tekiさん流に言うと、一定の長さのひもで長方形を作るとき、その面積が 最大になるのは正方形の場合であるということです。
ですから、後者５０99の方が大きいというわけです。

厳密に言えば、９９個の正数に対する「相加・相乗平均」の関係を 証明しなければならないとは思いますが、 夜ふかしのつらいおじさん の解答１もおみごとですね。

さて、この問題に関連して、
Wasmathさん(NO.1183　続々・どちらが大きい？)と
yokodonさん(NO.1184　桁数は？)から発展的な問題をいただきました。
コロキウム室の方に載せておきました。 これについての投稿もお待ちしています。







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