コロキウム室

６３．続・どちらが大きい？の不等式を少し厳しくして，

nが自然数のとき n²ⁿ と (2n) ! ではどちらが大きいでしょうか？

６３．続・どちらが大きい？を考えていて、 以前のどこぞの大学入試で、こんなのがあったのを思い出しました。

=問題=

10²¹⁰/(10¹⁰ + 3) の整数部分の桁数と１の位の数字を求めよ。
但し、3²¹ ＝ 10460353203 であることを用いて良い。

前回の問題 の関係でいろいろ探して見たところ、 「桁数無制限電卓」なるものを発見しました。 １０００桁程度の計算はしてくれる（桁数が大きくなると時間がか かりますが）ようです。

第９５回数学的な応募問題

さて、ここに１つの正方形とｎ色のペンキがあります。 この４つの辺にｎ色のどれかのペンキを塗ります。 ただし、回転して同じになる塗り方は同一とみなします。 ただ、反転して同じになる虚像体（一方を鏡に映した像が他方になるもの）は別のものと考えます。 このとき、全体で何種類の色つき正方形ができるでしょう。
順に、設問にそって考えてください。

設問１：１色のペンキのとき。

設問２：２色のペンキのとき。

設問３：３色のペンキのとき。

設問４：４色のペンキのとき。

設問５：最後に、全体で何種類の色つき正方形ができるか。

今月の問題の「超累乗」ですが、
の計算順序がよくわかりません。
（ｎ^ｎ）^ｎ　とするのか　 　とするのかによって計算結果が全く 変わります。
今月の問題の解釈は多分後者だと思いますが、数学的にはどういう規約 になっているのでしょうか？

ｎ＝２（つまりこの問題の場合）では、 たまたま、と（２^２）^２が同じ（＝１６）になりますね。この問題に限っては どちらの解釈でも答えは同じです。実際には、添字の上の方から順番に行うが正解だと思っていた のですが、実際にはどうなのでしょうか。。。。

「超累乗」　　ですが、これは、 　になると思います。
（ｎ^ｎ）^ｎの場合は、このようにカッコをつけるべきだと思います。
ちなみに指数法則によれば、 （ｎ^ｎ）^ｎ　＝ｎ^(ｎ・ｎ)になるかと思います。

n²ⁿ と (2n) ! の大小関係ですが、 n²ⁿ ＞ (2n) !　と予想し、これを証明します。

６３．続・どちらが大きい？の時と同じ 発想でアプローチします。以下のような不等式が成り立ちます。

n2n		(2n) !
n×n	＞	(2n-1)×1
n×n	＞	(2n-2)×2
	・・・
n×n	＞	(n+1)×(n-1)
n	＝	n
n	＜	2n

	ｎ２−２(２ｎ−１)
＝	ｎ２−４ｎ＋２
＝	(ｎ−２)２−２＞０　　(ｎ≧４ならば)

というわけでｎ≧４についてはＯＫ。
残りは調べてしまうことにします。
実際、ｎ＝１のとき、１^２ ＜ ２！
ｎ＝２のとき、２^４ ＜ ４！

ｎ＞３のとき、３^６ ＞６ !　

以上をまとめますと、

　　ｎ≦２のとき、n²ⁿ ＜ (2n) !　　　 　　ｎ≧３のとき、n²ⁿ ＞ (2n) !　

自然数ｎに対して、ｎ^２ｎと(２ｎ)！の大小を比較する。
ｋ＝１，２，・・・，ｎ−２に対して

　　　　　ｎ^２＞ｎ^２−ｋ^２＝(ｎ＋ｋ)(ｎ−ｋ)

であるから、辺々かけあわせて

　　　　

　　　　∴２(２ｎ−１)ｎ^２ｎ−２＞(２ｎ)！　　　　　・・・(*)

ところで、ｎ≧４ならば

　　　　ｎ^２−２(２ｎ−１)＝(ｎ−２)^２−２＞０

であるから、(*)と合わせて

　　　　ｎ≧４　　→　　ｎ^２ｎ＞(２ｎ)！

ｎ＝１，２，３については直接調べると、

　　　　ｎ＝１のとき　１^２＜２！
　　　　ｎ＝２のとき　２^４＝１６、４！＝２４、２^４＜４！
　　　　ｎ＝３のとき　３^６＝７２９、６！＝７２０、３^６＞６！

以上をまとめて

　　　　ｎ＝１，２のとき　ｎ^２ｎ＜(２ｎ)！、 ｎ≧３のとき　ｎ^２ｎ＞(２ｎ)！

a=10²¹⁰/(10¹⁰ + 3)とします。

log10a	＝log10(10210/1010 + 3)
	＜log10(10210/1010)
	＝log1010200
	＝200

一方、3²¹=10460353203　より、10¹⁰+3＜3²¹　従って、

log10a	＝log10(10210/1010 + 3)
	＞log10(10210/321)
	＝log10(1010/3)21
	＝21(10-log103)
	＞21(10-0.5)
	＝199.5
	＞199

これにより、199＜log₁₀a＜200　なので、
10¹⁹⁹＜a＜10²⁰⁰　であり、従ってaの整数部分は２００桁。

E-mail 戻る