Weekend Mathematics／問題／問題58



５８．できるでしょうか？

  1. 最初の素数２から始めて３６番目までの素数を用いて ６×６の魔法陣がつくれるでしょうか。 すなわち６×６のマス目のそれぞれに素数を１つずつおき、 縦、横、斜めの数の和がすべて同じになるようにできるでしょうか。

  2. １から１０までの数が一列に並んでいます。 数のあいだに＋か−をおいて、その総和が０になるようにできるでしょうか。

  3. 線分ＡＢを延長した直線上に４５個の点をとります。 これらの点はすべて線分ＡＢの外側にあります。 ４５個の点からＡまでの距離を合計したものと、 ４５個の点からＢまでの距離を合計したものを同じにできるでしょうか。








問題の出典


数学のひろば

ドミトリ・フォミーン、セルゲイ・ゲンキン、イリヤ・イテンベルク著
志賀浩二、田中紀子訳
岩波書店






答えと解説





答えと解説

解答・その１

（ペンネ−ム：kiyo）

１．
一定の和をＸとすると、総合計は１４Ｘとなる。
２は偶数で他の３５個の素数は奇数であるから、２から３６個の素数の和Ｙ は奇数となる。
Ｘ＝Ｙ/１４は自然数となることが出来ない。
したがって不可能である。

２．
（+）または（-）の演算子を○とする。
１○２○３○４○５○６○７○８○９○１０＝＝１　（mod 2)
したがってどのように演算子を選んでも０とすることは出来ない。
不可能である。

３．
４５は奇数で、かつ線分ABの外に点をとらなければならないから、 どのように４５点を選んでも和を同じにすることは出来ない。
線分ABの中点を選ぶことが出来れば可能であるが、それは許されない。
したがって、不可能である。

前回が３の剰余で、今回は２の剰余の問題ということでしょうか？。





解答・その２

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）

全部できません。

１）素数の３６個の和は、２４２７（＝３×８０９）となり、６で割れないからです。
素数は順に、
２，３，５，７，１１，１３，
１７，１９，２３，２９，３１，３７，
４１，４３，４７，５３，５９，６１，
６７，７１，７３，７９，８３，８９，
９７，１０１，０３，１０７，１０９，１１３，
１２７，１３１，１３７，１３９，１４９，１５１

です。
　　魔法陣が完成したとすれば、例えば、横の合計が全部同じ値にならねばなりません。 　　これは、３６個の素数の合計が６の倍数であることを意味します。 　　しかし、合計の２４２７は、３と８０９しか約数を持ちません。

２）１から１０の合計は５５で奇数だからです。
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５
ここでどこかの符号を "−" に変えたとします。
すると、その数の２倍を５５から引くことになります。
５５から偶数をひくと奇数なので、どこを"−"にしても、０（偶数）にはできません。

３）点Ａの座標を（ａ）、点Ｂの座標を（ｂ）、４５個の点の座標を（ｘi）とします。
問題は ｐ＝Σ|（ｘi−ａ）|と ｑ＝Σ|（ｘi−ｂ）|とが 等しくできるかということです。
大事なことは４５が奇数ということです。
４５個の点は線分ＡＢの上にないので、どの点ｘi も 点Ａ、Ｂとの左右の位置関係が同じです。 （例えば、点ｘiが点Ａの右にあれば、点Ｂの右でもあるということ）
ですから、絶対値を開いて、ｐとｑを比べたとき、ｘi の部分は符号が同じです。
しかし、ｐは奇数個のａ、ｑは同じ奇数個のｂが残ります。
点ＡとＢは異なるのでｐとｑは等しくなり得ません。




解答・その３

（ペンネ−ム：BossF）

1.明らかに、２のはいった行…@と、 はいってない行…Aができる。
ところが@の和はodd,Aの和はeven
∴出来ない…答

2．1〜10には、偶数,奇数 が五個づつ
さて、符号を変えても偶奇性は変わらないから
数のあいだに＋か−をおいた時、偶数の項の和は偶数、奇数の項の和は奇数。
よって総和は奇数 i.e. できません…答

3．AB=a、４５個の点をPi (1≦i≦45)とすると
ΣAPi=ΣBPi ⇔ Σ(APi-BPi )=0
ここで、APi-BPi =±a
ところが、aと-aが合計45個あったときその和を0にすることは明らかに不可能
i.e.できません…答

今月は偶奇性ですね。



解答・その４

（ペンネ−ム：judas）

1.　×
2以降の素数はすべて奇数となる。
任意の奇数を6個とりあげて合計すると必ず偶数になるが、 奇数を5個にして2を足すと合計が奇数になる。
2を含む列の合計は奇数となり、含まない列の合計は偶数となるから魔方陣は成立しない。

2.　×
つまり1から10の数のうちいくつかをプラスし、その他をマイナスにするということ だが、 1から10までの数の合計は55すなわち奇数であるから、 プラス、マイナスともに同じ数になるように分けることは不可能。

3.　×
45個の点からAまでの距離＝45個の点からBまでの距離
→45個の点からAまでの距離−45の点からBまでの距離＝0
→それぞれの点について（Aまでの距離−Bまでの距離）の合計＝0
図に書いてみると明らかだが、直線AB上の線分ABの外側に任意の点Xを取った場合、 XからAまでの距離−XからBまでの距離＝±線分AB　となる。
すなわち、45個の点からAまでの距離とBまでの距離を合計した数は、45個の線分ABを プラスかマイナスした数になる。
点の数は奇数個なので距離の合計を0にすることは不可能。



解答・その５

（ペンネ−ム：やなせ）

問題１
素数の中で偶数は２だけです。 残りの素数は全て奇数です。 そこで３６個の素数のうち偶数は一個奇数は３５個。 奇数の数値を奇数の個数、足すと合計は奇数になります。 その奇数の合計にたった一つの偶数の素数を足しても やっぱり、総数は奇数になります。 魔法陣の升目の数は６（偶数）ですよね、するとですね、 総数が６（今回は）で割り切れなくてはいけませんが、 奇数は偶数で割り切れないので、出来ないって事になります。

問題２
これについては＋とーだけですよね
（　）は使えないとの認識で解きます
１＋２＋・・・・・・＋１０＝５５これはもう衆知のことですよね・・たしか ＋とーだけをつかうとゆうことは、表現の仕方が変とおもいますが。
１から１０までの数字で、＋側に使った数字の合計と （＝Ｘ） その残りが−側の合計とします。（＝Ｙ）と Ｙ＝Ｘ（同数なので２で割り切れる）にならなければいけませんが
１＋２＋・・・・・・＋１０＝５５なので割り切れ無いので 不可能←これが答え

問題３
線分をＡ側とＢ側に伸ばします。これが第一のミソ
問題２と同じように偶数なら簡単に出来ますが
全ての点が同じ位置にないのなら これもできないと思います。



解答・その６

（ペンネ−ム：高橋 道広）

１　最初5,6個書いてはたと気がついてやめました。書く前に気がつかないのが 私です。(~o~)
64個のうち、63個は奇数で１個は偶数ですからその和は必ず奇数になります。
各列の和は、合計の1/6になるので、合計が６の倍数（２の倍数）でないときは このような魔方陣はできないことになります。

２　+1も-1も奇数,+2も-2も偶数ですから、5個の偶数と、5個の奇数の和で偶数を つくるなどということは、当然出来ません。

３　こうなると3番も偶数,奇数に関係があるんだろう、で、当然不可能という答えに なるんでしょうね。
Aからある点までの距離とBから同じ点までの距離を引くとABまたは-ABになります。
(Aからすべての点までの距離の和)ー（Bから全ての点までの距離の和） =(（Aからある点までの距離)−（Bからその点までの距離）)の和
となりますから、ABを奇数回足したり引いたりして０にはなりません(ABと-ABをペア にしていくと必ず奇数個ABまたは-ABがあまる）から問題文にあるような点の取り方は 出来ないことになります。




解答・その７

（ペンネ−ム：ねこ）

１．(a)
用いる数の中で偶数は２だけであとは奇数。
列について考えると、 ２の含まれる列は
（偶）＋（奇）＋（奇）＋（奇）＋（奇）＋（奇）＝（奇）
それ以外の列は
（奇）＋（奇）＋（奇）＋（奇）＋（奇）＋（奇）＝（偶）
となり、和が同じになり得ない。
つまり、できない。

(b)
p1からp36までの総和は奇数。
1列の和はこれの1/6とならなければならないが、
奇数／６は整数とならない。
したがって、できない。

２．
　 １〜１０の中には、奇数が５個、偶数が５個ある。
それぞれに±の符号をつけても偶奇は変わらない。
奇数を５個と偶数を５個を足し合わせると奇数である。
総和は奇数となり、０とはなり得ない。
つまり、できない。

３．
点が１個の場合、できない。
点が２個の場合、２点がＡＢについて逆の位置にあれば距離の合計は同じになる。
同様に、点が４４個の場合、２２個ずつＡＢの両側に配置すれば距離の合計は同じに なる。
しかしもう１つ配置してしまうと、点が１つの場合と同様に、同じにはできない。



解答・その８

（ペンネ−ム：yokodon）

（1）36個の素数による魔法陣
件の魔法陣を６次正方行列とみなし、これを　a{i,j}、1 ≦ i,j ≦ 6 で表す。
　この行列が魔法陣を成すための条件は以下の４つである。

ところで、題意から各成分 a{i,j} は全て素数なので、２以外は奇数である。
また、奇数６個の和は偶数だが、奇数５個と２の和は奇数である。
ところで、ある整数 p,q（1 ≦ p,q ≦ 6）に対して a{p,q} ＝２だから、
Σa{i,p}、Σa{q,i} は奇数である（和は、i：1〜6 にわたる）。
これは、題意の魔法陣が実現不可能であることを示している。
よって、結論は不可能。…（答）

（2）1〜10 の線形結合を０に出来るか？
55 個のマス目を一列に並べて、２色（例えば赤と青）に塗り分ける操作を考える。
もし、題意のようなことが可能ならば、赤と青のマス目を同数用意して、 例えば「１個赤、２個青、…、10個赤」等のようにして一列に並べることが出来るはずである。
しかし、55 個のマス目を同数の２色に分けることは不可能である。
これは、題意のような操作が不可能であることを示している。
よって、これも結論は不可能。…（答）

（3）45 個の外分点からの距離の和
ここでは、text 形式で書く都合上、ベクトルを［ＡＢ］のように表す。
直線ＡＢを x 軸、点Ａをその原点とし、 45 個の点をその x 座標が小さい順に Ｘi（1 ≦ i ≦ 45）とする。
与条件から、［ＡＸi］＝ti［ＡＢ］、 ti ＜ 0 or 1 ＜ ti である。
題意から、以下が成り立つか否かを調べればよい。 Σ|［ＡＸi］|＝Σ|［ＢＸi］| （和は、i：1〜45 にわたる）
上式は ti の和に直すことが出来る。 Σ|ti| ＝Σ|ti - 1|　　・・・（＃） （和は、i：1〜45 にわたる）
ここで、もし全ての ti が負ならば、（＃）式は、以下のようになる。 -Σti ＝-Σti + 45 （和は、i：1〜45 にわたる）
これは明らかに成り立たない。全ての ti が１より大きい場合も同様にして不可 能であることを示せる。
ある整数 k（2 ≦ k ≦ 45）が存在して、tk-1 ＜ 0 , 1 ＜ tk が成り立つ場合、（＃）式は、以下のようになる。
-Σti +Σti ＝Σ(1 - ti) + Σ(ti - 1) （両辺とも、和は第一項が i：1〜k-1 、第２項が i：k〜45 にわたる）
　これを整理すると、以下のようになる。
-Σti +Σti ＝-Σti + Σti + 2k - 45 （両辺とも、和は第一項が i：1〜k-1 、第２項が i：k〜45 にわたる）
よって、0 ＝ 2k -45 となるが、これを満たす整数 k は存在しない。
すなわち、（＃）を成り立たせる様な点の配置は存在しない。
従って、結論は不可能。…（答）




解答・その９

（ペンネ−ム：スチューデント）

１，出来ない。
　素数の中で偶数は２だけである。残りは奇数より、各辺の和は２が含まれている場 合奇数、含まれていない場合は偶数である。２をすべての辺に含ませることは出来な いし、２をすべての辺からはずすことは出来ないので、偶数になる辺と、奇数になる 辺が出来てしまう。よって魔法陣は出来ない。

２，出来ない。
　＋　Ｘ　の所を−　Ｘに変えると、２Ｘ少なくなる。１から１０までの和は５５、 ５５−０＝５５より、０にするには５５減らさなければならない。しかし、一つを＋ から−に変えると、２Ｘ（Ｘは２〜１０の正数）減ることになるので、奇数分減らす ことは出来ない。よって０には出来ない。

３，出来ない。
　ある点が、Ａ側にある場合、その点はＡの方がＢよりも線分の長さだけ距離は長 い。Ｂ側にある場合はその逆である。線分の上には点がないので、両側に等しい数の 点が置かれたとき、それぞれの合計は等しくなる。しかし、点は奇数個しかないの で、同じには出来ない。



解答・その10

（ペンネ−ム：中数の基本）

1
［解答］
　できない。
［理由］
　２が含まれる行、列は２+奇+奇+奇+奇+奇となって奇数となりますが、それ以 外の行、列は奇+奇+奇+奇+奇+奇となって、偶数になりますので、等しくなりませ ん。
［point］
　偶数の素数が一つだけ（2）含まれるところが鍵です。

２
［解答］
　できない。
［理由］ 　1+2+3+・・・+10＝55ですが、どの符号を変えても、偶数分変化するので、結 果は奇数になります。　つまり、
1+2+・・-ｋ−ｍ−ｎ+・・・10＝（1+2+3+・・・+10）-2（ｋ+ｍ+ｎ）なので、 奇数になります。
［point］
　一つ符号を変えると偶数分変化します。

３
［解答］
　できない
［理由］
　Ａの左に一つの点があれば、その位置にかかわらず、Ａまでの距離とＢまでの 距離は、ＡＢだけ異なります。
　そこで、Ａの左にｍ個、Ｂの右にｎ個あれば、Ａまでの距離の和とＢまでの距 離の和は（ｎ−ｍ）ABだけ異なります。
　これが0となるには、左右同数でなければ等しくなたないところ、４５が奇数 なので、等しく分けられません。
［point］
　点の位置にかかわらず、一つの点について和はＡＢだけ異なります。

※１，２，３に共通：0となるための必要条件は偶数であること。したがって、0 にならないことの証明は、偶数にならないことの証明で足りる。



解答・その11

（ペンネ−ム：Idaho Potato）

(1) できない。
用いる素数のうち、2のみが偶数でほかはすべて奇数なので、 列に2を含むか否かによって、列の和の偶奇が変わる。 (2を含む列の和は奇数、その他の列の和は偶数)

(2) できない。
すべて + と仮定すると総和は 55 で奇数。 n の直前の符号を - に変えると 総和は 2n 小さくなるので、どの符号を変えても総和はやはり奇数である。 ゆえに総和が 0 になることはない。

(3) できない。
線分ABの外側の1点から A, B への(符号つきの)距離の差を考えると、 それは、絶対値が一定(線分ABの長さ)で、「符号」はその点が A, B の どちらの側にあるかに依存する。
各点から A, B への「距離の総和」の差は、「(符号つきの)距離の差」の 総和に等しいことに注意すると、点の数は奇数なので、それは線分ABの長さの 奇数倍となる。ゆえにそれは 0 ではない。



解答・その12

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

１．不可能である．
２以外の素数はすべて奇数である．
縦，横，斜めのどれかに２が入るものがあり，他の５個の素数はすべて奇数であるから， その和は奇数である．しかし２が入らないものも必ず存在し， その和は６個の奇素数の和となり，偶数である．つまり２が入るものと， ２が入らないものの和の偶奇は一致しない．故に魔法陣はつくれない．

２．不可能である．
１から１０までに，奇数は５個，偶数は５個ある． 故にこれらの１０個の数の和，差は必ず奇数となり， 偶数の０に等しくなることはない．

３．不可能である．
線分ＡＢをＡの方向に延長した線上にｍ個の点Ａ1〜Ａmをとり， Ｂの方向に延長した線上にｎ個の点Ｂ1〜Ｂnをとる．
このときｍ＋ｎ＝４５，ｍ，ｎは非負整数となる．
Ａ1Ａ＋ＡＢ＝Ａ1Ｂ，・・・， ＡmＡ＋ＡＢ＝ＡmＢ，ＡＢ1＝ＡＢ＋ＢＢ1，・・・， ＡＢn＝ＡＢ＋ＢＢn であるから，Ａまでの距離の和は，
(Ａ1Ａ＋・・・＋ＡmＡ)＋(ＡＢ1＋・・・＋ＡＢn)
＝(Ａ1Ａ＋・・・＋ＡmＡ)＋(ＡＢ＋ＢＢ1)＋・・・＋(ＡＢ＋ＢＢn)
＝(Ａ1Ａ＋・・・＋ＡmＡ)＋(ＢＢ1＋・・・＋ＢＢn)＋ｎＡＢ

Ｂまでの距離の和は，
(Ａ1Ｂ＋・・・＋ＡmＢ)＋(ＢＢ1＋・・・＋ＢＢn)
＝(Ａ1Ａ＋ＡＢ)＋・・・＋(ＡmＡ＋ＡＢ)＋(ＢＢ1＋・・・＋ＢＢn)
＝(Ａ1Ａ＋・・・＋ＡmＡ)＋(ＢＢ1＋・・・＋ＢＢn)＋ｍＡＢ

もしこれらの和が等しいとすると，ｎ＝ｍとなる．
しかしｍ，ｎの和が奇数なので，ｍ，ｎの偶奇は一致しない．したがってｍ＝ｎは矛盾する．
（例外として，Ａ，Ｂが一致する場合がありますが，これは考えなくていいでしょう）
いずれの場合も，いつものようにパソコンのプログラムで解こう，と張り切っていたのですが， パソコンの画面に向かっている間に，ついつい解いてしまいました． 私は一度解いてしまうと，まったく解く気をなくしてしまう悪い癖があります． プログラムはついに未完成のままで，ピリオドとなりました． すみませんでした．私がこんな数学的な解答を作ったって，まったく意味がありませんよね．
ちなみに問題２のマクロは以下の通りです． １はまだ未完成で，３はまだ作ってません．作る前に解けてしまいました．

Option Explicit
Sub Macro2()
    Dim a(10) As Integer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Call check(1, a())
End Sub
Sub check(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer)
    Dim wa As Integer
    Dim j As Integer
    a(n) = 1
    While a(n) >= -1
      If n < 10 Then
        Call check(n + 1, a())
      Else
        wa = 0
        For j = 1 To 10
          wa = wa + a(j) * j
        Next j
        If wa = 0 Then
          Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
          For j = 1 To 10
            Cells(Cells(1, 1).Value + 1, 2 * j - 1).Value = fugou(a(j))
            Cells(Cells(1, 1).Value + 1, 2 * j).Value = j
          Next j
        End If
      End If
      a(n) = a(n) - 2
    Wend
End Sub
Private Function fugou(ByVal n As Integer) As String
    If n = 1 Then
      fugou = "+"
    Else
      fugou = "-"
    End If
End Function




解答・その13

（ペンネ−ム：ＤＤＴ）

［方針］
不得意分野なので、機械に頼ることにしました。
TotalSumm＝±1±2±3±4±5±6±7±8±9±10（全ての±は、復号同順ならず！）・・・(1)

(1)をプログラムで計算します。 ±について２回周るループを10重にすることも考えましたが、 今週か来週に多分木構造を扱う破目になりそうなので、式(1)を深さ10の２分木と考えて、 再帰呼び出しルーティンで処理してみました。言語はVBです。

'メインルーティン
Sub Main()
  ResultsCount = 1
  ReDim Results(ResultsCount)
  Call Recall(0, 0)

  '結果出力用コード（省略）
End Sub

'再帰呼び出し用ルーティン
Sub Recall(i As Integer, Summ As Integer)
  Dim Dep_th As Integer      '２分木の深さ
  Dim LocalSumm As Integer   '途中の枝における和

  Dep_th = i + 1

  For j = 0 To 1
    LocalSumm = Summ + (-1) ^ j * Dep_th

    If j = 0 Then
      Results(ResultsCount).Sg_n(Dep_th) = "+"
    Else
      ResultsCount = ResultsCount + 1
      ReDim Preserve Results(ResultsCount)

      For k = 1 To i
        Results(ResultsCount).Sg_n(k) = Results(ResultsCount - 1).Sg_n(k)
      Next k

      Results(ResultsCount).Sg_n(Dep_th) = "-"
    End If

    If Dep_th < 10 Then
      Call Recall(Dep_th, LocalSumm)
    Else
      Results(ResultsCount).TotalSum = LocalSumm
    End If

  Next j

End Sub

'結果保存用グローバルデータ
Type Result_s  '結果保存用ユーザー定義型の定義
  Sg_n(1 To 10) As String  '±符号保存用文字型配列
  TotalSum As Integer      '一つの枝に関する最終結果
End Type

Public Results() As Result_s    '動的配列として宣言
Public ResultsCount As Integer  '上記配列の寸法（２分木から生成される枝の数）

［結果］
深さ10の２分木として210＝1024通りを計算し、 その内、＋1±2±3±･･･±10に対応するのは最初の1024／2＝512通りなので、 Results(1 to ResultsCount)から512個を抽出して、 {Results(i).TotalSumm}i=1〜512を絶対値の降順に並べました。その結果、

+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55
+1-2-3-4-5-6-7-8-9-10=-53
+1-2+3+4+5+6+7+8+9+10= 51
+1+2-3-4-5-6-7-8-9-10=-49
+1+2-3+4+5+6+7+8+9+10= 49
・
・
・
+1-2+3-4+5-6-7+8-9+10=- 1
+1+2-3-4-5-6+7+8-9+10= 1
+1+2-3-4+5-6-7-8+9+10=- 1
+1+2+3+4-5-6-7+8+9-10=- 1
+1+2-3+4+5-6+7-8+9-10= 1

が得られました。絶対値の降順で、55，53，51，･･･7，5，3，1と 55から奇数飛びになります。 最大値55から2づつ和の絶対値が減る1〜10の数の組み合わせの存在が言えれば良いと思います （予想証明行数は実質最大10行）。以上「方針」のみですが答えは、
答え：不可




正解者

kiyo夜ふかしのつらいおじさんＢｏｓｓＦ
judasやなせ浜田　明巳
高橋 道広ＤＤＴねこ
yokodonスチューデント中数の基本
Idaho Potato





まとめ

前回は、３の剰余類で解決できる問題でしたが、 今回は２の剰余類、偶奇性(パリティ)をテーマにしました。 もちろん、今回の問題はすべて不可能なものばかりです。
偶奇性(パリティ)が一致しているからといって、それは具体的な方法を示すものではありませんし、可能であることの 証明にもなりません。 しかし偶奇性(パリティ)が一致していないとき、それは不可能であることを証明することになります。

データ通信におけるパリティチェックも同様です。
データに含まれる1または0の数を計算し、 その結果をパリティビットとしてデータに付加する。データを読み出したときにもう １度パリティを計算し、読み出したパリティビットと一致しなければ、 データ転送が正しく行われなかったことがわかります。 もちろんパリティが一致しからといって、データの誤りがないということにはなりません。

ところで最近、マーティン・ガードナー著「自然界における左と右」という本を読み始めています。
まえがきによれば、１９５７年に中国系アメリカ人の李政道と楊振寧の２人が、パリティの非保存に関する 研究に対して、ノーベル物理学賞を受けたとあります。
原子核の崩壊をつかさどる「弱い相互作用」の実験がパリティ非保存を示した。 つまり自然界は右と左を区別する、対等ではないということのようです。
私には話しがむずかしそうだなという雰囲気も漂っていますが、 右と左が対等ではないということはわかるし、それって驚きってところもあります。 素粒子の世界は想像を超えたものだとも思います。 この本、読み進めてみます。

さて、Idaho Potatoさんからの関連問題です。 →　コロキウム室　NO.1077へ





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