Weekend Mathematics／問題／問題24

２４．分数の問題

解答・その１

（ペンネ−ム：小松の親分さん）

(1)2/3=(1/2)+(1/6)
2/3=(1/x)+(1/y)と考える・・・。
そうすると･･･
(2/3)-(1/x)=1/y

1/y=(2/3)-(1/x)
   =(2x-3)/3x

解答・その２

（ペンネ−ム：コウスケ）

(1)2/3=1/x+1/6
1/x=1/2
∴　2/3=1/6+1/2
（なぜいきなり１／６を出したかというと、 単に左辺の分子と分母の積が６だからとやってみたら うまくいった）

(2)4/5=1/20+1/y
∴　1/y=3/4
3/4=1/12+1/z
∴　1/z=2/3=1/2+1/6
∴　4/5=1/20+1/12+1/6+1/2　
　 (　)の中のことは、法則に近いものがあるかな？ と思ってやってみましたが関係なかったようです・・・

解答・その３

（ペンネ−ム：宇野 ）

（１）２／３＝１／２＋１／６

• 考え方１
  分母の３を何倍かしたらどうかと考えたので、 まず５倍と１０倍にしてみました。
  １／１５＋１／３０だろうか。
  １／１５＋１／３０＝２／３０＋１／３０＝３／３０＝１／１０　全然違う。
  
• 考え方２
  ４／７＝１／２＋１／１４の例のとき、 分母だけ見ると１４÷２＝７だったので、 この問題は６÷２＝３ということで、６と２ではどうか。
  １／２＋１／６＝３／６＋１／６＝４／６＝２／３　なぜかできてしまった。
  

• 考え方１
  前のものと同じやり方でどうか。 １０÷２＝５となるので、１０と２ではどうか。
  １／１０＋１／２＝１／１０＋５／１０＝６／１０＝３／５　違う。
  
• 考え方２
  ５と４の公倍数の２０を計算するときの通分した分数を使う。
  つまり、ｘ／２０＋ｙ／２０＝４／５というようにする。
  ４／５を○／２０にすると、１６／２０になる。
  分子の１６をわけて、１／２０＋１５／２０にする。
  しかし、１５／２０は３／４で、まだわけなければならない。
  

  ４／５＝１／２０＋１５／２０
  　　　＝１／２０＋１／４＋２／４
  　　　＝１／２０＋１／４＋１／２　となり完成。
  

解答・その４

（ペンネ−ム： Hungry Bear）

（１）　（１／２）＋（１／６）
２／３＝４／６＝（３＋１）／６ と考えたのですが解き方が？？？うまく説明できません　

（２）　（１／２）＋（１／５）＋（１／１０）
　　　４／５＝８／１０＝（５＋２＋１）／１０

解答・その５

（ペンネ−ム：みや ）

2/3=1/2+1/6
4/5=1/10+1/5+1/2

たとえば4/5の場合4/5=8/10
10の約数は1.2.5で1.2.5の足し算の組み合わせで8になるものを探すと 1+2+5です。
よって8/10=1/10+2/10+5/10
分子は１０の約数だから約分すると必ず分子は１になります。

解答・その６

（ペンネ−ム：渡辺 ）

（１）２／３で考えると１／３＋１／３しか式ができず、しかも、これはふさわしく ない。 だから、まずは、数を広げて考えやすくする。
２／３を４／６にして考えていった。
４／６の場合、４／６＝１／６＋３／６　という式ができ、
４／６＝１／６＋１／２　となり、まず１つ発見

４／６ではもうできないから、２／３をさらに６／９として考えていく。
６／９の場合、６／９＝１／９＋５／９　という式ができる。 が、５／９はふさわしくない。よって、

６／９＝１／９＋１０／１８
　　　＝１／９＋（１／１８＋９／１８）
　　　＝１／９＋１／１８＋１／２　となりまた発見

さらに広げて、
６／９＝１／９＋１０／１８
　　　　　　　　　　＝１／９＋（３／１８＋７／１８）
　　　　　　　　　　＝１／９＋１／６＋１４／３６　
　　　　　　　　　　＝１／９＋１／６＋（２／３６＋１２／３６）
　　　　　　　　　　＝１／９＋１／６＋１／１８＋１／３　となりまた発見

解答・その７

（ペンネ−ム： ちょま）

次の手順で求めました。

1. 分数Ａ／Ｂの分母と分子をｎ倍する。（ｎ＝２、３、・・・）
   （Ａ×ｎ）／（Ｂ×ｎ）＝ｎＡ／ｎＢ
   
2. 分母ｎＢの公約数ｍ１、ｍ２、ｍ３・・・の中から重複しないように 数を選び、足しあわせてｎＡになるようにする。
   例）ｎＡ＝ｍ１＋ｍ３＋ｍ４
   
3. 手順２で求めた式の両辺をｎＢで割る。 このときｍ１、ｍ２、ｍ３、・・・はｎＢの公約数であるから、 分数 ｍ１／ｎＢ、ｍ２／ｎＢ、ｍ３／ｎＢ、・・・は 約分すると単位分数となる。
   

   例）ｎＡ／ｎＢ＝ｍ１／ｎＢ＋ｍ３／ｎＢ＋ｍ４／ｎＢ
   	　　　＝１／Ｃ＋１／Ｄ＋１／Ｅ
   	（Ｃ、Ｄ、ＥはｎＢの公約数になる）
   

   実際に問題を解いてみました。
   
   

   (1)２／３
   
   ２／３＝４／６
   　　　＝３／６＋１／６
   　　　＝１／２＋１／６    （答え）
   または
   ２／３＝８／１２
   　　　＝４／１２＋３／１２＋１／１２
   　　　＝１／３＋１／４＋１／１２    （答え）
   
   (2)４／５
   ４／５＝８／１０
   　　　＝５／１０＋２／１０＋１／１０
   　　　＝１／２＋１／５＋１／１０    （答え）
   または
   ４／５＝１６／２０
   　　　＝１０／２０＋５／２０＋１／２０
   　　　＝１／２＋１／４＋１／２０    （答え）
   または
   ４／５＝２４／３０
   　　　＝１５／３０＋６／３０＋２／３０＋１／３０
   　　　＝１／２＋１／５＋１／１５＋１／３０    （答え）
   または
   ４／５＝２４／３０
   　　　＝１５／３０＋５／３０＋３／３０＋１／３０
   　　　＝１／２＋１／６＋１／１０＋１／３０    （答え）
   

   ところで、単位分数であらわせない分数はあるのでしょうか？
   

   1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+＞1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+1/16+…
   				＞1/2+1/2+1/2+1/2+…＝無限
   

   と、単位分数の和は発散するので、 どんな分数でも表せそうな気がしますが、どうなるのでしょう。
   
   
   
   

   解答・その８

   （ペンネ−ム：ありさのお父さん ）
   

   分数の問題，答えがいっぱいあるので， 無限にできることの説明を考えていました。 一応できたので，お送りします。 最初は，「とにかくやってみる」です。
   
   （１） 2/3を単位分数の和で，
   

   • 3×2=6の約数を分母とするものは，
     1/2, 1/3, 1/6 = 3/6, 2/6, 1/6
     合わせて4/6になる組み合わせは
     3/6 + 1/6 = 1/2 + 1/6 　　......(1)
     
   • 3×3=9の約数で，
     1/3, 1/9 = 3/9, 1/9
     合わせて6/9になる組み合わせは，無し。
     
   • 3×4=12の約数で，
     1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/12 = 6/12, 4/12, 3/12, 2/12, 1/12
     合わせて8/12になる組み合わせは，（6と2は(1)と同じ），
     4/12 + 3/12 + 1/12 = 1/3 + 1/4 + 1/12
     
   • 3×5=15の約数で，
     1/3, 1/5, 1/15 = 5/15, 3/15, 1/15
     合わせて10/15になる組み合わせは，無し。
     
   • 3×6=18の約数で， 1/2, 1/3, 1/6, 1/9, 1/18 = 9/18, 6/18, 3/18, 2/18, 1/18
     合わせて12/18になる組み合わせは，（9と3は(1)と同じ），
     9/18 + 2/18 + 1/18 = 1/2 + 1/9 + 1/18
     6/18 + 3/18 + 2/18 + 1/18 = 1/3 + +1/6 + 1/9 + 1/18
     
     
   どんどんできて，きりがなさそう。
   では見方を変えて，単位分数は単位分数で表せるか？
   
   
   
   したがって，どんな単位分数も他の単位分数の和で表すことができる。 すなわち，どんどんできて，きりがない。
   
   （２）4/5 を単位分数の和で，
   同じやりかたで，
   
   • 5×2 = 10 が分母では，
     1/2, 1/5, 1/10 = 5/10, 2/10, 1/10
     合わせて8/10になる組み合わせは
     5/10 + 2/10 + 1/10 = 1/2 + 1/5 + 1/10　　.......(4)
     
   • 5×3 = 15 が分母では，
     1/3, 1/5, 1/15 = 5/15, 3/15, 1/15
     合わせて12/15になる組み合わせは無い。
     
   • 5×4 = 20 が分母では，
     1/2, 1/4, 1/5, 1/10, 1/20 = 10/20, 5/20, 4/20, 2/20, 1/20
     合わせて16/20になる組み合わせは
     10/20 + 5/20 + 1/20 = 1/2 + 1/4 + 1/20
     10/20 + 4/20 + 2/20 = 1/2 + 1/5 + 1/10 これは (4) と同じ。
     
   • 5×5 = 25 は 5/25, 1/25 だけで，無理ですね。
     
   • 5×6 = 30 は 15/30, 10/30, 6/30, 5/30, 3/30, 2/30, 1/30
     合わせて24/30になる組み合わせは，
     15/30 + 6/30 + 3/30 = 1/2 + 1/5 + 1/10 これは (3) と同じ。
     15/30 + 6/30 + 2/30 + 1/30 = 1/2 + 1/5 + 1/15 + 1/30
     15/30 + 5/30 + 3/30 + 1/30 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/30
     10/30 + 6/30 + 5/30 + 3/30 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10
     10/30 + 6/30 + 5/30 + 2/30 + 1/30 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/15 + 1/30
     
     
   疲れたので，この辺で止めます。 とにかく１種類でも解があれば，どんどんできることは，分かりました。
   では，どんな分数でも単位分数の和で表せることは.....？ 誰か証明してくれるかなあ〜 (^^; 仮分数でも大丈夫かな〜？ 確かΣ(1/n) は発散するんでしたよね.....。
   
   
   
   

   解答・その９

   （ペンネ−ム：水の流れ ）
   

   解答はこちら
   
   
   
   

   解答・その１０

   （ペンネ−ム：マサボー ）
   

   
   
   
   
   
   
   

   解答・その１１

   （ペンネ−ム：月の光 ）
   

   
   
   
   
   
   

   コメント

   
   
   
   
   
   

   関連した内容が コロキウム室のNO.250にあります。
   
   
   
   

   解答・その１２

   （ペンネ−ム：akihiro）
   

   まず（１）ですが、２／３＝１／２＋１／６や ２／３＝１／３＋１／４＋１／１２とか。
   （２）４／５＝１／２＋１／５＋１／１０、 ４／５＝１／２＋１／４＋１／２０など。
   求め方は、姑息きわまりなしです（笑）ほぼ、こじつけです。
   
   例えば、（１）の場合。
   ２／３＝１／２＋１／６という式を書きましたが、 これは以下のように求めました。
   まず、２／３から１／２を引きます。残るのは１／６。
   よって２／３＝１／２＋１／６です。 どうですか、こじつけでしょう（笑）
   
   でも、ちょっと考えました。これだけではないだろう、と。
   そこで、１／４を引くと、５／１２、 つまり５／１２を他の単位分数で表すことができれば、 もっとあらわすことの出来る数はあるのではないかと思ったのです。
   案の定、５／１２は１／３＋１／１２とあらわすことが出来ました。
   ちなみに、この求め方は、５／１２を
   １／１２＋１／１２＋１／１２＋１／１２＋１／１２と考え、 前の４つをまとめると４／１２＋１／１２、 つまり１／３＋１／１２という、例のこじつけ方式で考えました。
   （２）の方もほぼ同じ考え方です。
   このように考えると、これは無限にあるのではないでしょうかね。
   
   
   
   

   解答・その１３

   （ペンネ−ム：２丁目の山田 ）
   

   １、１／２＋１／６
   ２、１／２＋１／５＋１／１０です。
   答えは見ただけで分かっちゃったんですが・・・・
   解き方は、ｎ＝２，３，４，・・・・で １／ｎひいて負にならないところをとってけばいいんじゃないでしょうか。
   分母があんまりでかい数字だとやる気になりませんが。
   
   
   
   

   解答・その１４

   （ペンネ−ム：Idaho Potato）
   

   1. 2/3 = 1/2 + 1/6
      これは、「目の子」で簡単に見つけられます。
      
   2. 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10
      4/5 でなくて 3/5 なら、3/5 = 1/2 + 1/10 が 「目の子」で簡単に見つかるので、それに 1/5 を足せばOK。
      
   もうひとつの見つけ方として、
   4/5 - 1/2 = 3/10
   3/10 - 1/4 = 1/20
   というように、その値を超えない最大の単位分数を順に引いていきます。
   これを繰り返して、有限回で0にたどり着くならば、 最初の数が単位分数の和の形に表せることになります。この場合、
   4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20
   となり、最初に見つけた解とは異なる解が得られました。
   
   これからわかることは、ある有理数が相異なる単位分数の和として 表せたとしても、その表し方は、 (単位分数の数を指定しても)一通りとは限らない、ということですね。
   
   こうなると、たとえば、
   「任意の正の有理数は相異なる単位分数の和として表せる」
   あるいは、さらに、
   「任意の正の有理数を出発点として、その値を超えない最大の単位分数を 引く操作を繰り返すと、有限回で0に到達する」
   といったことが、自然に予想されます。
   
   
   
   

   まとめ

   今回はとても中味の濃いmailをたくさんいただきました。
   「任意の分数(正確に言うと正の有理数)は必ず 異なる単位分数の和として表すことができる」を証明します。
   与えられた分数を超えない単位分数の中で一番大きいものを引いていきます。 これを何回か繰り返すと、必ず残りも単位分数になります。

   
   

   関連した内容が コロキウム室のNO.254にあります。
   
   
   
   

   具体的な問題に取り組む時は、以下の表が役にたつと思います。
   

   単位分数の近似表

   N	1/N	N	1/N	N	1/N	N	1/N
   1	1.00000	11	0.09091	21	0.04762	31	0.03226
   2	0.50000	12	0.08333	22	0.04545	32	0.03125
   3	0.33333	13	0.07692	23	0.04348	33	0.03030
   4	0.25000	14	0.07143	24	0.04167	34	0.02941
   5	0.20000	15	0.06667	25	0.04000	35	0.02857
   6	0.16667	16	0.06250	26	0.03846	36	0.02778
   7	0.14286	17	0.05882	27	0.03704	37	0.02703
   8	0.12500	18	0.05556	28	0.03571	38	0.02632
   9	0.11111	19	0.05263	29	0.03448	39	0.02564
   10	0.10000	20	0.05000	30	0.03333	40	0.02500

   
   
   

   
   

   というわけで「水の流れ」さん(あのエネルギ−に頭が下がります。)ほどではないにしても、 いくらでもできてしまうという感じがします。
   「表し方が無限にある」という点については、 「ありさのお父さん」さん、「マサボー」さん、「月の光」さんが 具体的な恒等式を提示してくださいました。
   

   その無限にある表し方の中で、単位分数の個数をいかに少なくするか、 そしてその最小個数はいくつか？　という問いかけが「マサボ−」さんから なされています。
   これについては、上記のやり方でまず１通り保証しておいて、 その個数以下の場合については方程式でないことを(あるかも？) 確かめるしかないような気もします。 どなたか、わかったら教えてください。
   
   
   
   

   正解者

   ２丁目の山田

   水の流れ

   マサボー

   Hungry Bear

   akihiro

   宇野　智

   渡辺

   ありさのお父さん

   コウスケ

   Idaho Potato

   小松の親分さん

   ちょま

   みや

   月の光

   
   
   
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