コロキウム室(正三角形の内部を動く線分)

a は √3＜ a ＜ 2 を満たす定数とする。
一辺の長さが２の正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣ上（但し、端点を除く）にそれ ぞれ点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝ a を満たしながら動くものとする。
三角形ＡＰＱの面積の取りうる値の範囲を、a を用いて表せ。

AP=p , AQ=q とおく、
まず余弦定理より　
a²=p²+q²-2pq・cos60°=p²+q²-pq
∴(p-q)²+pq=a², i.e. pq=a²-(p-q)²
したがって　pq≦a²
また　p or q →0 で　pq→0 はあきらか
よって　0＜pq≦a²

さて
△APQ=pq・sin60°x1/2=（√3/4）pqだから

△APQ≦（√3/4）a² (等号はAP=AQの時)…答

ＡＰ＝ｘ，ＡＱ＝ｙとする．
△ＡＰＱにおいて，余弦定理から，
ＰＱ²＝ＡＰ²＋ＡＱ²−２・ＡＰ・ＡＱ・cos∠ＰＡＱ
∴ａ²＝ｘ²＋ｙ²−ｘｙ………(1)
この方程式で表されるグラフを，原点を中心にしてθ回転させる．
この回転を表す式は，
　　ｘ'＝ｘcosθ−ｙsinθ，ｙ'＝ｘsinθ＋ｙcosθ
であるから，
　　ｘ＝ｘ'cosθ＋ｙ'sinθ，ｙ＝−ｘ'sinθ＋ｙ'cosθ
となる．
(1)に代入すると，
　　ａ²＝(ｘ'cosθ＋ｙ'sinθ)²＋(−ｘ'sinθ＋ｙ'cosθ)²−(ｘ'cosθ＋ｙ'sinθ)(−ｘ'sinθ＋ｙ'cosθ)
　　∴ｘ'²(１＋sin２θ／２)＋ｙ'²(１−sin２θ／２)−ｘ'ｙ'cos２θ＝ａ²
cos２θ＝０とする為には，θ＝π／４とすればよい．
このとき，
　　３ｘ'²／２＋ｙ'²／２＝ａ²
　　∴ｘ'²／(２ａ²／３)＋ｙ'²／(２ａ²)＝１
　(ｘ'，ｙ')を(ｘ，ｙ)にかえると，
　　ｘ²／(２ａ²／３)＋ｙ²／(２ａ²)＝１………(2)
これを表すグラフは図１である．

図１

つまり(1)の表すグラフは，図１のグラフを原点を中心にして−π／４回転したものの， ｘ＞０，ｙ＞０の部分である．つまり図２となる．

図２


ここで，
△ＡＰＱ＝１／２・ＡＰ・ＡＱ・sin∠ＰＡＱ＝√３／４・ｘｙ
つまりｘｙの値の√３／４倍が△ＡＰＱの面積であるので，ｘｙの値の範囲を求めればよい．
ｘｙ＝ｋ（＞０）とすると，これはｘ軸，ｙ軸を漸近線とする直角双曲線である．
図２から，ｘｙ＝ｋが最大となるのは，この双曲線が点(ａ，ａ)を通る（接する）ときであるので， このとき，
　　ｋ＝ａ²
つまり，ｋの値の範囲は，
　　０＜ｋ≦ａ²
であるので，求める答は，
　　０＜△ＡＰＱ≦√３／４・ａ²
である．

No.1067 の解答ですが、 余弦定理から p , q の条件式を出すところまでは良いのですが、問題はその後です。
ここでは簡単のため、点Ｐ、Ｑが辺の両端も含めて動くものとしましょう（題意と は違いますが）。
このもとで、p, q は共に 0 ≦ p,q ≦ 2 の範囲を動きますが、0 と 2 のあいだ の全ての実数をとれるかどうかは自明ではありません。 実際、本問の場合、√3 ＜ a＜ 2 の仮定があるので、 p , q は 0 ≦ p,q ≦ 2 の範囲を連続に動けません。
このことを、図で考えてみましょう。

考え得る状況は、以下の３つです。
（i） 0 ≦ p,q ≦ 1
（ii） 0 ≦ p ≦ 1 ＜ q ≦ 2 、又は 0 ≦ q ≦ 1 ＜ p ≦ 2
（iii） 1 ＜ p,q ≦ 2

（i）の場合は、a の条件から不可能です。

（ii）の二つの場合は、辺ＢＣの中線に関して対称移動すれば本質的に同じ状況を 表すので、前者で考えます。
三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとします。このとき、点Ｐ は線分ＡＭ上、点Ｑは線分ＮＣ上にあります。点Ｐが点Ａと一致するとき、ＣＱ＝2 - a ですね。ここで、点Ｐを点Ｂの方向に動かしてみると、点Ａが点Ｍに至らないう ちに、点Ｑは点Ｃに到着してしまい、そこで線分ＰＱはつっかえてしまいます。

（iii）の場合は、…コレが最も思いつきやすいと思われますが…、当初点Ｐが点 Ｂに一致していたとき、点Ｑは線分ＣＱ上にありますね。そこから点Ｐを点Ａの方向 に動かすと、あるところで線分ＰＱは辺ＢＣに平行になります。そこから更に動かす と、あるところまで点Ｐが来たときに、点Ｑは点Ｃに一致してしまい、そこでつっか えてしまいます。
例えば、a ＝ 11/6 等として、実際に実験なさってみると、状況が分かりやすいと 思います。

計算による答が出そろったところなので（いつの話？）， ここでパソコンのプログラムによる解答を投稿します． 今回はＧＲＡＰＥＳを利用して解いてみました．
Ａ(１，√３)，Ｂ(０，０)，Ｃ(２，０)，ＡＰ＝ｐ，ＡＱ＝ｑ，
直線ＡＢ：ｙ＝ｆ(ｘ)，直線ＡＣ：ｙ＝ｇ(ｘ) とすると，
ｆ(ｘ)＝√３ｘ，ｇ(ｘ)＝−√３(ｘ−Ａｘ)＋Ａｙ，
Ｐ(１−ｐ／２，ｆ(Ｐｘ))，Ｑ(１−ｑ／２，ｇ(Ｑｘ))，
またｐ²＋ｑ²−ｐｑ＝ａ²，ｐ＞０，ｑ＞０であるから，
ｑ＝(ｑ＋√(４ａ²−３ｐ²))／２ となる．
　これらのことがらから，次のＧＲＡＰＥＳのスクリプトを作成してみた．

# file://Clickで計算開始
# clraimg
# k:=.01
# for a:=Sqrt(3)+k to 2-k step k
#  t:=0
#  for p:=k to 2-k step k
#   m:=Ax-p*.5
#   q:=(p+Sqrt(4*a*a-3*p*p))*.5
#   n:=Ax+q*.5
#   if n<2 then
#    s:=.5*p*q*sin(Pi/3)
#    if t< s then
#     t:=s
#     u:=m
#     v:=n
#    endif
#    draw
#   endif
#  next
#  c:=u
#  d:=v
#  draw
# next
# ---

（^^；；Yokodonさんのおっしゃる通り…
「また　p or q →0 で　pq→0 はあきらか」は違ってますね、以下訂正
「AP=p , AQ=q とおく、 まず余弦定理より　 a²=p²+q²-2pq・cos60°=p²+q²-pq
∴(p-q)²+pq=a², i.e. pq=a²-(p-q)²…�@
したがって　pq≦a²

ここで、pqの最小値を考える。
まず、p＜qとしても一般性を失わず
�@よりd=q-pが最大の時にpqは最小であることに注意する。
i) a≦√3のとき
pが与えられると一般にqは二通りあるが、その大きい方のqを考える。
あきらかに p →0 が可能で、そのとき d→Max
　　　　　　　　　　　　　よって最小値なし
ii)a＞√3 のとき
qが与えられると一般にpは二通りあるが、その小さい方のqを考える。
あきらかに q →2 が可能で、そのとき d→Max
　　　　　　　　　　　　　よって最小値なし
以上より　pq≦a²
さて △APQ=pq・sin60°x1/2=（√3/4）pqだから
△APQ≦（√3/4）a² (等号はAP=AQの時)…答」

条件から，
　　ｘ²＋ｙ²−ｘｙ＝ａ²………(1)
　　０＜ｘ＜２，０＜ｙ＜２，√３＜ａ＜２………(2)
において
　　ｘｙ＝ｋ
の値の範囲を求めればよいことが分かる．
　ｘ，ｙの対称性から，ｙ≧ｘの範囲で考えればよい．
　(1)において，ｙ＝２とすると，
　　ｘ²＋４−２ｘ＝ａ²
　　∴ｘ²−２ｘ＋４−ａ²＝０
　　∴ｘ＝１±√(ａ²−３)
　　　　　　　　　　（影の声：だからａ＞√３なんだ！）
　つまり直線ｙ＝２と曲線(1)の交点の座標は，
　　(１±√(ａ²−３)，２)
である．
　グラフから
　　１−√(ａ²−３)≦ｘ≦１＋√(ａ²−３)
の範囲では，ｙ≧２となり，ｙは存在しないことが分かる．
　故にｘｙは，
　　２{１−√(ａ²−３)}から２{１＋√(ａ²−３)}まで
の範囲の値をとらない．
　グラフから，
　　０＜ｘｙ＜２{１−√(ａ²−３)}，２{１＋√(ａ²−３)}＜ｘｙ≦ａ²
　△ＡＰＱ＝√３／４・ｘｙであるから，
　　０＜△ＡＰＱ＜√３／２・{１−√(ａ²−３)}，
　　√３／２・{１＋√(ａ²−３)}＜△ＡＰＱ≦√３／４・ａ²

No.1076 の浜田さんのお答えで正解です（(^人^)　パチパチ）。
ここでは、余弦定理から得た条件式の対称性を活用した別解をご紹介したいと思います。
なお、ＡＰ＝ p 、ＡＱ＝ q とさせて下さい。
まず、
a² ＝ p² + q² - pq 　…[1]
ですね。
p , q は、いずれも０と２のあいだを動くので、
u ＝ p + q 、v ＝ pq
とおくと、p,q は以下の２次方程式の０〜２のあいだの実数解（重解を含む）となり ます。
t² - ut - v ＝ 0
この左辺を f(t) とおいて、そのような p,q が存在するための条件は、
f(0) ＞ 0 、f(2) ＞ 0 、0 ＜（軸）＜ 2 、（判別式）≧ 0
です。これを、u 及び v の式に直すと、以下です。
v ＞ 0 、4 - 2u + v ＞ 0 、0 ＜ u/2 ＜ 2 、u² - 4v ≧ 0 　…[2]

[1]式を u , v の式に書き直すと、以下です。
a² ＝ u² - 3v　　…[3]
[2] および [3] の両式から、まず u の値域を求めます。
両式から v を消去し、
a ＜ 3 - √(a²-3) ＜ 3 + √(a²-3) ＜ 2a ＜ 4
に注意して整理すると、その値域は以下です。
a ＜ u ＜ 3 - √(a²-3) 、 3 + √(a²-3) ＜ u ≦ 2a 　…[4]

この [4] のもとで u の関数 v （ v ＝ 1/3・(u² - a²) ）の取りうる値域は、 この両区間で v が u の関数として単調増加であることに注意して、 0 ＜ v ＜ 2・{1 - √(a²-3) 、 2・{1 + √(a²-3)} ＜ v ≦ a² となります。
三角形ＡＰＱの面積をＳとすると、Ｓ＝√3/4・v ですから、最終的に以下の結果 を得ます。
0 ＜ S ＜ √3/2・{1 - √(a²-3)} 、 √3/2・{1 + √(a²-3)} ＜ S ≦ √3/4・a²

以前の No.1020 『動く正三角形』と同様、 対称性に着目すると基本対称式の活用 で解決できる（cf. No.1037）という問題でした。