コロキウム室

(1)
L(m)＝L(n)＝1 より、整数a,bを用いて、
m=10a+1、n=10b+1とかける。

mn	=(10a+1)(n=10b+1)
	=100ab+10a+10b+1
	=10(10ab+a+b)+1

従って、L(mn)=1

(2)
nは４の倍数なので、ある整数kを用いて、n=4kとかける。
３ⁿ=３^4k=(３⁴)^k=81^k

(1)の結果より、
L(３ⁿ)=L(81^k)=L(81)^k=1^k=1

これより、ある整数cを用いて、３ⁿ=10c+1とおける。
3^(3ⁿ)=3^10c+1=(3¹⁰)^c･3¹ =(59049)^c･3

というわけで、整数cが偶数か奇数かで場合分けが必要なようです。

• cが偶数のとき、c=2dとおく。
  

  3^(3n)	＝(59049)c･3
  	≡9c･3(mod 10)
  	≡92d･3(mod 10)
  	≡(92)d･3(mod 10)
  	≡1･3(mod 10)
  	≡3(mod 10)

  
  L(3^(3ⁿ)) =3
  
  

• cが奇数のとき、c=2d+1とおく。
  

  3^(3n)	＝(59049)c･3
  	≡9c･3(mod 10)
  	≡92d+1･3(mod 10)
  	≡(92)d･9･3(mod 10)
  	≡9･3(mod 10)
  	≡7(mod 10)

  
  L(3^(3ⁿ)) =7
  
  

ある会社の採用試験で出た問題です。

ｎ枚のすべて異なる種類のカードを用意する。
i枚のカードを上から取る。取ったカードの束を　Ａ、残ったカードの束をＢと呼ぶ。
Ａの底から一枚、Ｂの底から一枚、交互に一枚ずつカードをＡとＢより取り新しい束を作る。
最後にＡかＢで余ったカードはそのまま新しい束の上にのせる。

以上の操作でカードの束が最初の状態（順序）に戻るまでには、操作を何回繰り返せばよいか？

Ｎ＝１００１、ｉ＝１００　として結果はどうなるか？

NO.1004　前回の恒等式の問題で，出てきた２つの式

	２ｘ2−５ｘｙ−３ｙ2＋ｘ＋４ｙ−１＝(２ｘ＋ｙ−１)(ｘ−３ｙ＋１)………(1)
	２ｘ2−ｘｙ／３−３ｙ2＋ｘ＋４ｙ−１＝(２ｘ＋ｙ−１／３)(ｘ−３ｙ＋３)
＝	２ｘ2−５ｘｙ−３ｙ2＋１７ｘ／３＋４ｙ−１………(2)

に関して考察してみました．

これらは，どちらも 　　２ｘ²＋ａｘｙ−３ｙ²＋ｘ＋４ｙ−１＝(２ｘ＋ｙ＋ｂ)(ｘ−３ｙ＋ｃ)………(3)
に
　　(ｘ，ｙ)＝(０，０)，(０，１)，(１，１)………(4)
を代入して，定数ａ，ｂ，ｃの値を得られてできた式でした．
　(1)はｘ，ｙの恒等式なのですが，(2)は(4)の３点を通る２直線を表します．
つまり，すべての点を通る曲線（つまり平面）を表す恒等式の係数を求める問題だったのですが， 計算の途中で，(4)の点を同時に通る曲線（２直線）が出てきてしまったようなのです．
これは，ｘ，ｙの混合式において見られる現象だと思います．

ｘのみの式の場合，
　　（ｘのｎ次式）＝（ｘのｎ次式）
型式の恒等式では，ｘのｎ次関数となるので，(ｎ＋１)個の異なるｘの値を与えれば， このｘのｎ次式が一意的に定まります．
ｘ，ｙの混合式の場合，陰関数となるので，そうはいかなくなります． もっと複雑な要素がからんでくるのでしょう．

とにかく結論は，ｘ，ｙ（あるいはそれ以上の文字）の混合式の恒等式の問題で， 数値代入法で解く場合，単純に最後に
　　「逆にこのとき，最初の等式を満たす．」
と付け加えることは出来ず，最後まできちっと計算してチェックすべきだ，ということでしょうか．

私が大学を卒業し，教職につくとき，恩師（ゼミの先生）が言って下さいました．
　　「教室にはガウスがいる．手を抜くな．」※
　まさにその通りです．

※大数学者ガウスは，小学生時代，先生から
　　１＋２＋３＋………＋１００
を計算せよ，という課題を与えられました．先生とすれば，時間稼ぎに出した問題だったのです．
しかしガウス少年は，

	２×(１＋２＋３＋………＋１００)
＝	(１＋１００)＋(２＋９９)＋(３＋９８)＋………＋(１００＋１)
＝	１００×１０１＝１０１００

　　∴１＋２＋３＋………＋１００＝１０１００÷２＝５０５０

と，あっという間に答を出してしまいました．先生のあわてたことといったら，………．
ガウス少年にとっては，我々の時代だったら，高１で習う等差数列の問題など， お手のものなのだったのでしょう．

第８２回数学的な応募問題

太郎さんは、最近「ヴェイユ」さん頂いた「面積比」の問題を考えていたときに、 下のような問題を気がつきました。
鋭角三角形ＡＢＣにおいて、内部に任意に点Ｐをとり、直線ＡＰと辺ＢＣとの交点をＤ， 直線ＢＰと辺ＣＡとの交点をＥ，直線ＣＰと辺ＣＡとの交点をＦとする。
また、「チェバ」の定理から、ＢＦ：ＦＡ＝ｐ：ｑ，ＡＥ：ＥＣ＝ｒ：ｐ， ＣＤ：ＤＢ＝ｑ：ｒとおける。（ただし、ｐ，ｑ，ｒは正の数で、便宜的にｐ＋ｑ＋ｒ＝１とする。）
このとき、
問題１：面積比、三角形ＤＥＦ／三角形ＡＢＣの値をｐ，ｑ，ｒで簡単に表してください。

さらに、ここで、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとし、点Ｐが次のような場合、 ｐ：ｑ：ｒの比を辺ａ，ｂ，ｃや角Ａ，Ｂ，Ｃなどを用いて求めてください。
（ただし今回は、ｐ＋ｑ＋ｒ＝１の制約を取り除きます。）

問題２：点Ｐが重心の場合

問題３：点Ｐが内心の場合

問題４：点Ｐが外心の場合

問題５：点Ｐが垂心の場合


でも、点Ｐが問題２，３，４、５のときの面積比、 三角形ＤＥＦ／三角形ＡＢＣの値がどうなるか気になります。 わかったら教えてください。

（2）について、僕が思い描いていた（＆記憶及び理解している）のは、以下のようなモノです。
n ＝ 4m（m：整数）とおくと、２項定理よりある自然数 j が存在して、
3ⁿ ＝ 81^m ＝ (80 + 1)^m ＝ 80j + 1
が成り立つ。よって、L(3ⁿ) ＝ 1 …（答）

後半は、この考え方を使うと、もっとすんなり行きます。

80 は４の倍数なので、上記同様にある自然数 k が存在して、 以下が成り立つ（但し、j' ＝ 20j）。

3^(3n)	＝ 3(80j＋1)
	＝3×3(4j')
	＝ 3×（80k＋1）
	＝10×24k＋3

よって、L(3^(3ⁿ)) = 3 …(答)

No.1015 にある整数 c が奇数となる場合は、実は存在しません
（上記の表現を借りれば、c ＝ 8j になっています）。
結局、『n が４の倍数』であることが、最後までポイントとなる問題でした。

模試シリーズ3

一辺の長さが２の正三角形ＯＡＢの辺ＡＢ、辺ＢＯ、辺ＯＡ上にそれぞれ点Ｐ、点 Ｑ、点Ｒをとる。三角形ＰＱＲが常に正三角形であるという条件の下で三点Ｐ、Ｑ、 Ｒが動くとき、線分ＱＲの存在しうる領域の面積を求めよ。

問題１
三角形ＡＢＣの面積は、Ｓ＝1/2・BA・BC・sinＢで求めることができます。
一方、角Ｂを共有している三角形ＢＤＦの面積は、
Ｓ’＝1/2・BF・BD・sinＢとなります。
従って面積比は、
Ｓ’／Ｓ＝BF・BD／BA・BC＝(BF／BA)・(BD／BC)

	１−(ｑ／(ｑ＋ｐ)・ｒ／(ｒ＋ｐ)＋ｐ／(ｑ＋ｐ)・ｒ／(ｒ＋ｑ)＋ｑ／(ｒ＋ｑ)・ｐ／(ｒ＋ｐ))
＝	１−{ｑｒ(ｑ＋ｒ)＋ｐｒ(ｐ＋ｒ)＋ｐｑ(ｐ＋ｑ)}／(ｐ＋ｑ)(ｑ＋ｒ)(ｒ＋ｐ)
＝	２ｐｑｒ／(ｐ＋ｑ)(ｑ＋ｒ)(ｒ＋ｐ)

夏休みを利用してピーターフランクルさんのセミナーに参加しました。その ときの問題を２題：

〔問題〕
ｍ^２＋１がｎで割り切れ、ｎ^２＋１がｍで割り切れるような自然数の組 （ｍ，ｎ）は無数に存在することを示せ。

〔問題〕
ある部屋に１０人がいた。その中でお互いを知っている２人が１１組だっ た。このとき、お互いを全く知らない４人が選べることを示せ。

F(1)=1,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) フィボナッチ数列。
(M,N) (F(1),F(1))
M＜N (F(2n-1),F(2n+1)) n＞=1
不思議な数列ですね。

１０人に１〜１０の番号を付ける。
１−２，１−３，１−４，１−５
２−３，２−４，２−５
３−４，３−５
４−５
５−６
１１組の知り合い。
７，８，９，１０の４人はだれとも知り合いでない。
　

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