Weekend Mathematics／問題／問題39



３９．正六角形の問題


１辺の長さが４cmの正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。
各辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＦ、ＦＡ上に、 それぞれ頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆから３cmのところに 点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｔ、Ｕをとり、 これらを結んで六角形を作ります。
このとき六角形ＰＱＲＳＴＵの面積は、もとの六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍になりますか。



問題の出典


算数１００の難問・奇問part３

中村義作

講談社ブル−バックス

麻布中





答えと解説












答えと解説

解答・その１

（ペンネ−ム：ＭＩＮＩＭＩＮＩ３２）


まず正六角形ABCDEFの面積をもとめます。
（六角形の中点をA'とし、線ABの中点をB'とする）
△ＡＢＡ’は正三角形なので△AB'A'はAA'が ４cm、AB'が２cm、A'B'が２になる。
よって六角形ABCDEFの面積は４×２÷２ ×６＝２４となる。
次に点Ｆから垂直におろした線と線ABの水平にのばした線との交点をC'とすると
∠FAC'＝６０°、∠AC'F＝９０°、∠C'FA＝３０°となり、
線AFが４cmなので線AC'＝２cm、線C'F＝２となる。
FU：AU＝３：１ということはUから垂直におろした線と線AC'との交点をD'とすると
線UD'＝/2cm、 また線PD'＝7/2cm、よって線PU＝cm。
よって六角形PQRSTU＝×√39/2 ×(1/2)×６＝(３９/2)/2。

（解答）
六角形ABCDEF：六角形PQRSTU＝１６：１３




解答・その２

（ペンネ−ム：ひろゆき）


三角形ＡＰＵと合同な六つの鋭角三角形 を二つずつひっぺがしてきてくっつけて三つの平行四辺形を 作る。
平行四辺形は、１２０度と６０度の角をもつ。
辺の長さもわかっているので、その面積は 3/2　となる
（以下面積単位はすべて平方センチメートル）
元の正六角形の面積は 4×6　＝　24で、
小さくなった正六角形の面積は 24−3/2×3＝39/2　である。
よって、六角形ＰＱＲＳＴＵの面積は、 もとの六角形ＡＢＣＤＥＦの
39/2÷24＝39/48＝13/16倍　−（答）　




解答・その３

（ペンネ−ム：歯）


２つの正６角形の外接円の中心をOとし、 TからOFに垂線を降ろし、ｈとする。
△OＴｈの内部の２つの３角形について、 ３平方の定理を利用する。
△TFｈは、∠TFｈ＝60°の直角三角形だから、 辺Tｈは 、辺Fｈは 1/2 となり、 OF=4より、Oｈ＝ 7/2

OT2=Th2+Oh2 より、 OT2=()2+(7/2)2=52/4

また、△EOFと△STOはともに正三角形だから、相似比は OF:OT
面積比はOF2:OT2
よって、 42:52/4=64:52=16:13
六角形ＰＱＲＳＴＵの面積：六角形ＡＢＣＤＥＦ＝１３：１６　　　　




解答・その４

（ペンネ−ム：かつ）


解法１
ひとつ目は素直に面積を求めて計算するものです。
１辺が４ｃｍの正六角形ですので比較的簡単にできます。
この黒塗り全体の面積は・・・正三角形が６つあります。
正三角形の高さは２だから 面積は４×２×１／２＝４
これが６つでこの六角形は２４cu


次に小さい方の正六角形ですが・・・ こちらの面積は・・・まず１辺の長さがわかればいいのでそれを 調べます。


中心がＯとして計算する。
当然Ｏからおろした垂線であるから、線分ＥＤの中点を通る。
よって垂線との交点と点Ｓまでは、１ｃｍ。
ピタゴラスの定理をつかって・・・ＯＳ＝になる。
これから黒い方と同じように計算すると面積は３９／２cuである。
よって正六角形PQRSTUは正六角形ABCDEFの何倍かなので。
PQRSTU÷ABCDEF＝（３９／２）／（２４）＝１３／１６ だとおもいます。

ちなみにこの前の解答はかなりまわりくどいことをしています。 本当は、小さいほうの１辺の長さがわかると答えは出ます。 ２つの正六角形は当然相似になっています。 これは相似比がわかれば面積比すぐわかるのですね。 相似比は４：であることがわかっているので 当然面積比は１６：１３になります。 よってここの問題の答えは１３／１６というわけです。



解答・その５

（ペンネ−ム：mhayashi）


線分ADと線分BEの交点を点Oとする。
三角形OABと三角形UAPについて考える。
前者の底辺ABと後者の底辺APの比は４：３であり、 また、前者の高さと後者の高さの比は４：１であるから、
三角形OAB：三角形UAP＝4×4：1×3
＝16：3
となり、明らかに三角形OAB＝三角形OUP＋三角形UAPより
よって三角形OAB：三角形OUP＝16：13
ゆえに、
六角形ABCDEF：六角形PQRSTU＝6×三角形OAB：6×三角形OUP
＝16：13

答え：13/16倍





解答・その６

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）


答えは、１３／１６です。 なぜなら、
六角形PQRSTU／六角形ABCDEF
＝△OUP／△OAB
＝UP2/AB2
＝OP2/OA2
＝(OH2+HP2)/42
＝((2)2+12)/42
＝13/16
相似な図形の面積は、辺の長さの２乗に比例します。 また、正六角形の中心と頂点を結ぶと正三角形が６個できます。




解答・その７

（ペンネ−ム：青光）


まず、内側に出来る六角形は正六角形です。 よって、外側の六角形と相似なので、面積比を出す事にします。
相似比は辺の比なので、辺の長さの２乗を求めます。
正六角形の１つの角は120°なので(どこでもいいけど)三角形UAPに対して余弦 定理を使うと、

PU2 = AU2 + PA2 - 2×AU×PA×cos120°

となります。
ここで問題文より AU = 1 PA = 3 であり、cos120°= -1/2 であるので、
PU2 = 1 + 9 - (-3) = 13 となります。

これで、内側の六角形の辺の長さの２乗が求まりました。 また、外の六角形は一辺の長さが4なので、２乗して16となるので、
面積比…… 外：内 ＝ 16:13
よって、元の六角形の13/16倍になる。




解答・その８

（ペンネ−ム：ch3cooh）


答え:13/16

  1. もとの６角形の中心点を取る。
  2. 各頂点への距離は４
  3. 新しい６角形の頂点への距離は３各関数を用いて
  4. (/4)2= 13/16 (answer)





解答・その９

（ペンネ−ム：kiyo）


もとの正六角形の６分の１の正三角形の面積を１とする。
等積変換の考え方によると、新しく出来た正六角形の６分の１の正三角形の面積は、
２−（１＋(1/4)×(3/4)）＝13/16
したがって、求める答えは13/16倍となる。
答え　１３／１６倍




解答・その１０

（ペンネ−ム：sambaGREEN）


△UAP：△FAB＝１×３：４×４＝３：１６
△FABは六角形ＡＢＣＤＥＦの６分の１で △UAPは六角形ＰＱＲＳＴＵと六角形ＡＢＣＤＥＦの差の６分の１です
したがって，六角形ＰＱＲＳＴＵ：六角形ＡＢＣＤＥＦ＝(16-3):16＝１３：１６
答え・・・13/16倍




解答・その１１

（ペンネ−ム：Idaho Potato）

(1)は「まず相似比を求める」という視点からの解答、 (2)は最初から「面積比」に着目した解答になっていますが、 どちらが「素直な」解答といえるでしょうか?

私は最初に(1)の解法を思いついたので、 (2)はきわめて技巧的な感じがしたのですが、 あらためて考えてみると、 有理数の計算のみで有理数の解にたどり着く(2)のほうが、 ある意味で「素直な」解法であるような気がしてきました。


(1) ピタゴラスの定理を使った解答
(単位cmは省略)
六角形ABCDEFの外接円の中心をO、OからABへおろした垂線の足をHとする。
このとき、 OA = 4, AH = 2, HP = 1 である。
OH = sqrt(OA2+AH2) = 2
OP = sqrt(OH2+HP2) =
ゆえに、六角形PQRSTUと六角形ABCDEFの相似比は
OP/OA = /4である。
面積比は相似比の2乗だから、(六角形PQRSTU)/(六角形ABCDEF) = 13/16である。
　


(2) 小学校の算数の範囲での解答
六角形ABCDEFの外接円の中心をOとする。
求める面積比は △OPQ/△OAB に等しいので、これを求めることを考える。
次の事実を用いる。
「高さが等しい三角形の面積比は、底辺の長さの比に等しい。」
△OBQ ≡ △OAP より、 △OAB = 四角形OPBQ = △OPQ + △PBQ
また、△OAB = △ABC (ABを共通の底辺とみると高さが等しい)
ゆえに、△OPQ = △ABC - △PBQ である。
△PBQ = (BQ/BC)△PBC (BQ,BCを底辺とみると高さが等しい)
= (BQ/BC)(PB/AB)△ABC (PB,ABを底辺とみると高さが等しい)
= (3/16)△ABC

△OPQ = △ABC - △PBQ = (13/16)△ABC = (13/16)△OAB
したがって、求める面積比は 13/16 である。




解答・その１２

（ペンネ−ム：水の流れ）

１辺が４ｃｍの正六角形ABCDEFと　正六角形PQRSTUは内角がすべて１２０度だから 相似です。よって、１辺例えば、UPの長さを求めます。 こう考えれば、高校生風に思いつきました。もちろん、中学校入試問題ですから、 小学校の考え方でしょうが、とりあえず、高校の考え方でいきます。

  1. 平面座標を考えて、二点間の距離の公式を使う。
  2. 三角形の応用で、余弦定理を使う。
  3. 平面ベクトルを用いて、ベクトルの絶対値で求める。
  4. 複素数平面で、複素数の絶対値で求める。
  5. 平面幾何で定理等使いながら、求める。
  6. 模型を作って、重さを測って求める（近似値）。
    ・・・・

後は、どんな考え方があったかな。 太郎さんは、今、はやりの複素数平面で解いてみます。


Ａ（０＋ｉ０），Ｂ（４＋ｉ０）とおくと、明らかに、Ｐ（３＋ｉ０）， また、Ｕの座標は（cos120゜+i sin120゜)=(-1/2＋i/2)
よって、┃UP┃＝┃（（３＋ｉ０）−（-1/2＋i/2）┃
＝┃（（７/2−i/2）┃
＝√（４９／４＋３／４）
＝
したがって、相似比の二乗になることを考えて、
正六角形PQRSTU：正六角形ABCDEF＝１３：１６　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　１３／１６倍
　



解答・その１３

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

いつものようにパソコンで図を描くプログラムを作ってみました．
辺ＡＢ上を点ＰがＡからＢまで移動し，ＡＰ＝３となるときの面積比を計算します
（本当は，Ｏを正六角形の中心とするときのＯＰ2／ＯＡ2を計算するだけなので， こんな大がかりなものにする必要はなかったのですが）．
このプログラムにより，答は０.８１２５（＝１３／１６）となる事が分かります．






正解者

kiyo少年HsambaGREEN
ch3cooh夜ふかしのつらいおじさんかつ
mhayashi水の流れ浜田　明巳
Idaho Potato青光MINIMINI32
ひろゆき歯トシ
マサボー





まとめ

こういった図形の問題は解法がたくさんあって、そういった意味でおもしろいなあと思います。
解答・その４でかつさんがおっしゃっているように、 相似な図形においては、面積比を出すために面積を直接出す必要はなく、相似比がわければその２乗で求めることができますね。 もちろん体積比なら３乗です。
私も解答・その１１のIdaho Potatoと同感で、 いくつかある解法の中で、三角形の底辺の長さと高さの比で出しているものが もっともシンプルできれいだなと感じます。 解答・その９のkiyoさんは、基本的に１行で解答に至っています。 小学生の知識で解けるということもありますが、これは感覚的なものかもしれませんので、 人によって感じ方は違うかもしれません。


この解法で、AP:PB=3:1　を一般化してみます。
AP:PB=N:1　とします。
△UAP=(N/N+1)･(1/N+1)△OAB
△OCP={1-(N/N+1)･(1/N+1)}△OAB
従って、答えは1-(N/N+1)･(1/N+1)=(N2+N+1)/(N+1)2 となります。
このグラフを「mathematica」で描くとこうなります。
もちろんN=1で極小で、極小値3/4です。



　

関連した話題が、 コロキウム室 NO.793にあります。







E-mail 戻る ホ−ムペ−ジ