コロキウム室

午後、勤務先で「コロキウム室」の NO.776　無限級数の和（１２） の投稿を読んで、大変興味が湧いてきました。
実は”あの第２種スターリング数”の一般項を見つけるもう１つの方法が、 指数型母関数（積率母関数）の登場なのです。
そして、ｋ次の中心積率（モーメント）を定義します。この値をＨ（ｋ）とします。
さらに、特別な原点のまわりのｋ次の積率を出し、この値をh(ｋ)とします。
すると、h(１)＝期待値Ｅ（Ｘ）＝１、Ｈ(２)＝分散Ｖ（Ｘ）＝１となります。
そして、h(ｋ)が何とビル指数となっています。指数型母関数（積率母関数）の定義から導けます。
ここで、確率変数Ｘの指数型母関数（積率母関数）とは、Ｍ（ｔ）＝関数ｅ^ｔｘの 期待値が−ｈ＜ｔ＜ｈ（ｈは正の定数）を満たす原点近傍のすべての実数ｔに対して存在するとき、 Ｍ（ｔ）＝Ｅ［ｅ^ｔｘ］（平均）を言います。 以上は、「新数学辞典」（大阪書籍）から答えています。
さらに、このことは、

となる予定です。
これが無限級数の和の発展になっていたのです。でも、自信がないです。

の係数がh(ｋ)になっているか確かめていません。これも勉強します。
午後、この示唆をくださったとき、当然太郎さんの胸に熱いもの湧いてきたのは当然でした。 頭の片隅にはこのｋ次のモーメントの言葉がかすかに残っていました。 心のゆとりが欲しい！ 　ありがとう！ヴァーさん

Stirling numbers of 2nd kind の一般項を十進ベーシック（１０００桁モード）で プログラムしてみました。

REM Stirling numbers of 2nd kind 一般項の計算
10 INPUT PROMPT  "行ｎ, 列 k:k<=n ":N,K
   IF K>N OR K<=0 THEN
      PRINT "正しく入力して下さい"
      GOTO 10
   ELSE
      PRINT "計算を開始します。"
   END IF
   DIM S2(N,K)
   LET  S=0
   FOR I=1 TO K
      LET  S=S+(-1)^(K-I)*COMB(K,I)*(I^N)
   NEXT I
   REM K!の計算
   LET  S1=1
   FOR J=1 TO K
      LET  S1=S1*J
   NEXT J
   LET  S=S/S1
   PRINT "S2(";N;",";K;")";"=";S
   END

（群指標とその独立性）

ここではガロアの基本定理を解く鍵となる、指標の独立性を考えます。 そこで群の準同型写像を定めましょう。といっても別に新しい事ではありませんが…

（定義）
AとBを積で群とする。
写像ｆ：A→Bが群の準同型写像であるとは、ｆ（aｂ）＝ｆ（a）ｆ（ｂ）を満たす事を言う。
従ってeをAの単位元、e´をBの単位元とするなら、ｆ（e）＝e´が成り立つ。
一般に演算を保つものを準同型写像と言いました。 ですから、環写像はもちろん準同型写像です。 ここで、体は積でアーベル群を成していましたから、 群Gと体ｋの間に矛盾なく群の準同型写像を定められるはずです。 この群から体に向かう群の準同型写像を体ｋにおける群Gの指標といいます。 定義を厳密に書くと次のようになるでしょう。

（定義）

G´＝｛σ｜σ：G→ｋで群の準同型写像｝として、 ∀α∈Gに対しσ（α）≠０を仮定する。このσを体ｋにおける群Gの指標という。

今は演算は積としていますから、σ（α）＝０では意味を成さない事に注意してください。
さて、次に書くのが有名な指標の独立性です。

（定理）…指標の独立性

σ_１……σ_ｎ∈G´を相異なる群指標とする。 （つまり写像として異なっている）このとき
α_１σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｘ）＝０　　 （∀α_i∈ｋ、∀ｘ∈G）ならば、α_１＝…＝α_ｎ＝０が正しい （但し１≦i≦n）

つまり指標によって移されたGの元は体ｋ上で１次独立になっているということです。 この証明はArtin先生のうまい方法に従いましょう。

（Artin先生の証明）

ｎに対する帰納法で示す。
ｎ＝１の時はα_１σ_１（ｘ）＝０で、 σ_１（ｘ）≠０であり、 体は全て整域なのでα_１＝０であるから成り立つ。
だからｎ＞１として、ｎ−１まで定理の主張が正しいとする。
今ｙをGから任意にとってｘとの積ｙｘを考えると群は演算が備わっているので 当然このｙｘもGの任意の元である。
そこで、ｘをｙｘに置き換える。すると、
α_１σ_１（ｙｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｙｘ）＝０ であって、今σ達は群の準同型なので、
α_１σ_１（ｙ）σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｙ）σ_ｎ（ｘ）＝０となる。この式を（１）とおく。
さて、ここで元の式、つまり
α_１σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｘ）＝０の両辺にσ_ｎ（ｙ）をかける。 すると、
α_１σ_ｎ（ｙ）σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｙ）σ_ｎ（ｘ）＝０ となり（なぜならσは準同型写像なので）この式を（２）とおく。
さて、ここで（１）−（２）を実行する。すると、ｎ番目の項が打ち消される。
α_１σ_１（ｘ）（σ_１（ｙ）−σ_ｎ（ｙ））＋…＋α_ｎ−１σ_ｎ−１（ｘ） （σ_ｎ−１（ｙ）−σ_ｎ（ｙ））＝０
従って帰納法の仮定により特にα_１（σ_１（ｙ）−σ_ｎ（ｙ））＝０としてよい。
今はｎ＞１なので、 σ_１（ｙ）とσ_ｎ（ｙ）は等しくないから、 α_１＝０である。
よって以下同じようにα_２＝α_３＝…＝α_ｎ−１＝０なので、α_ｎ＝０ となる。　　　　（証明終わり）

どうでしょうか？いつ考えてみても非の打ち所のない完璧な証明です。 この指標の独立性のコロラリーとして、次の補題を得ます。

（補題１）

体KとLに対してσ_１、σ_２、…、σ_ｎ：K→Lを相異なる環写像とすると、
α_１σ_１（ｘ）＋…＋α_ｎσ_ｎ（ｘ）＝０ならば、 α_１＝α_２＝…＝α_ｎ＝０である。
（但し∀α_i∈K、∀ｘ∈Gで１≦ｉ≦ｎ）

この補題はＤｅｄｅｋｉｎｄ（デデキント）の補題と言われています。 （スペリングは自信ありません）証明はもう済んでいます。なぜなら環写像は群の準同型となるからです。
さて、僕自身も大分忘れかけていますから、復習をしながら進んでいきましょう。
方程式上の分解体をＥとし、その自己同型群ＡｕｔＥを考えます。 ＧをＡｕｔＥの部分群とし、Ｅ（Ｇ）はＧの元（写像）で動かないＥの元の集合で、 Ｇに対する不変体と言いました。 またこのＥ（Ｇ）はＥの部分体になっている事はすぐにわかります。 ですから、体の拡大Ｅ／Ｅ（Ｇ）を得ます。ではこの拡大次数はどうなっているでしょうか？ つまり、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］を求めたいのです。

（補題２）

Ｇ＝｛σ_１、σ_２、…σ_ｎ｝とおく。すると、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］≧ｎが正しい。

この補題がいっている事を整理してみますと、ＡｕｔＥの部分群Ｇが上のようにｎ個の元から成っていれば、 体の拡大Ｅ／Ｅ（Ｇ）の拡大次数は少なくともｎよりは大きい、 つまり、｜Ｇ｜より大きいと言っています。本当でしょうか？

（補題の証明）
背理法で示す。すなわち［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝ｒ＜ｎとして矛盾を導く。
［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝ｒで、これはＥ（Ｇ）上のベクトル空間Ｅの次元を表していて、 次元とは一次独立なベクトルの最大個数であった。 これらのベクトルをベクトル空間Ｅの基底という。 従って基底の個数とベクトル空間の次元は一致する。
さて、Ｅの基底は今ｒ個あるのでその基底を１組持ってくることができ （基底の取り方は一意的ではありません。よく知る2次元の平面で考えるとわかります）、 それらを｛ω_１、ω_２、…ω_ｒ｝とする。（基底はこのように集合の形で書く）
ここで次の連立方程式を考える。

σ１（ω１）ｘ１＋σ２（ω１）ｘ２＋…＋σｎ（ω１）ｘｎ＝０

　　　　　　　　……………

σ１（ωｒ）ｘ１＋σ２（ωｒ）ｘ２＋…＋σｎ（ωｒ）ｘｎ＝０

σ１（ａ１ω１）ｘ１＋…＋σｎ（ａ１ω１）ｘｎ＝０

　　　　　　　　………

σ１（ａｒωｒ)ｘ１＋…＋σｎ（ａｒωｒ）ｘｎ＝０

さて、ガロア理論の本質というのは分解体上の自己同型群の部分群と分解体以下の中間体との間に 一対一対応があるということでした。 実はこれはどんな体拡大に関してもいえるわけではありません。 今まで取り上げた例は全てある特殊な拡大になっていたのです。

（定義）…ガロア拡大

Ｋ／Ｆを体の拡大とする。 この拡大がガロアである（またはガロア拡大である）とは、Ｆ＝Ｋ（Ｇ）となるＡｕｔＫの部分群Ｇが取れることを言う。

今まで考えてきた事によるとＡｕｔＫの部分群としてＧａｌ（Ｋ／Ｆ）が取れていたわけです。 さらに上で示した補題２を芸術にまで昇華した定理として次を挙げる事ができます。

（ガロアの定理）

補題２と同じ仮定でＧが有限群ならば、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝｜Ｇ｜が成り立つ。

（証明）

補題２より、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］≧ｎ＝｜Ｇ｜は言えている。 示すべきは［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］≦ｎである。
これを示すにはα_１、α_２、…α_ｎ−１∈Ｅが常に一次従属である事を言えばいい。
Ｇ＝｛σ_１、σ_２、…σ_ｎ｝とする。 ここで補題２と同じ方針で非自明解をもつ連立方程式を作ることを考える。 そこでつぎの方程式を考えるとうまくいく。

σ１−（α１）ｘ１＋…＋σ１−（αｎ＋１）ｘｎ＋１＝０

　　　　　　………

σｎ−（α１）ｘ１＋…＋σｎ−（αｎ＋１）ｘｎ＋１＝０

　となる。

ここでｘ_１≠０より、σ_１（ｘ_１）≠０であって、 よってこれはα_１、α_２、…α_ｎ＋１が一次従属である事を示している。
従って［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝｜Ｇ｜を得る。 （証明終わり）

この等式、つまりＧが有限群ならば、［Ｅ：Ｅ（Ｇ）］＝｜Ｇ｜は有名なオイラーの公式と同等に美しい公式として知られ、 大学の学部のレベルで理解できる数学としては最も綺麗な公式とされています。
このガロアの定理のコロラリーとして、次を得ます。

（コロラリー）

Ｇａｌ（Ｅ／Ｅ（Ｇ））＝Ｇ

この等式も実に綺麗です。全く感動物ですね！

（補題）

Ｇ_１、Ｇ_２＜ＡｕｔＥを２つとも有限部分群とする。 このときＧ_１＝Ｇ_２⇔Ｅ（Ｇ_１）＝Ｅ（Ｇ_２）

（証明）

まず⇒は全く自明。問題は逆方向です。 Ｇ_１＝Ｇａｌ（Ｅ／Ｅ（Ｇ_１））＝Ｇａｌ（Ｅ／Ｅ（Ｇ_２））＝Ｇ_２ 従ってＧ_１＝Ｇ_２を得ます。これはすぐ上のコロラリーを使えば割りと簡単ですね。　　（証明終わり）

これによるとガロアの理論（すなわち分解体上自己同型群の部分群と中間体の間に一対一対応が存在）において、 ＡｕｔＥの部分群Ｇは拡大Ｅ／Ｆに対して唯１つ定まり、 Ｇ＝Ｇａｌ（Ｅ／Ｆ）であると言っています。

それでは、いよいよガロアの基本定理を料理しましょう。

（ガロアの基本定理の前半…Fundamental Galois Theorem Stage 1）

Ｋ／Ｆを有限次のガロア拡大とする。 このときＫ／Ｆの中間体の集合ＡとＧ＝Ｇａｌ（Ｋ／Ｆ）の部分群の集合Ｂの間には 次のような一対一対応がつく。

ｍ：Ａ→Ｂ
ｎ：Ｂ→Ａ

でｎ（ｍ（Ａ））＝Ａ（つまり写像ｎとｍの合成がＡ上の恒等写像）かつ、 ｍ（ｎ（Ｂ））＝Ｂ（つまり写像ｍとｎの合成がＢ上の恒等写像）
ガロアの基本定理というのはこの前半と後半を合わせた物ですが、 後半の証明は次回に回して（申し訳ありませんがベクトル空間の基本概念も次回に回します）、 今回はこの前半の証明をやって終わりましょう。

（前半の証明）
ｍ（ｎ（B））＝Bはつまり、∀G∈Bに対してｍｎ（G）＝GということなのでＧａｌ（Ｋ／Ｋ（Ｇ））＝Ｇであって、 ガロアの定理とそのコロラリーから成立している。（うまい対応がすでについていましたね）
ｎ（ｍ（Ａ））＝Ａが問題である。
これは∀Ｅ∈Ａに対してｎｍ（Ｅ）＝Ｅということなので、Ｋ（Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ））＝Ｅを示せばいい （なぜならば、不変体というのは分解体の中間体でしたから）。
ここでＫ（Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ））⊇Ｅは明らかである （不変体とガロア群の定義からこれは明らかとしていいと思うのです。 でも腑に落ちない方はきちんと納得がいくまで考えてください）。
従ってＫ（Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ））⊆Ｅを示せばいい。
便宜上、Ｈ＝Ｇａｌ（Ｋ／Ｅ）とおき、またＥ^´＝Ｋ（Ｈ）とおく。
ガロアの定理とそのコロラリーからＫ／Ｋ（Ｈ）は有限次ガロア拡大であって、 従って［Ｋ：Ｋ（Ｈ）］＝｜Ｈ｜が成り立つ。
ここで体の拡大次数の関係式［Ｋ：Ｆ］＝［Ｋ：Ｅ´］［Ｅ´：Ｆ］
（これはNO.771　ガロア理論の心（２）で書いたと思うのですが、その証明はまだやっていませんでした。 次回にやりたいと思います）と、 群の指数と位数の関係式
｜Ｇ｜＝｜Ｈ｜［Ｇ：Ｈ］ （これは代数方程式シリーズでやりました。 ここで紛らわしくて恐縮ですが［Ｇ：Ｈ］は体の拡大次数ではなく、 群ＧのＨに関する指数です） はガロアの理論によると対応しているから （ここが本質的です。すなわち体の拡大次数と群の指数は対応しているのです）、次を得る。
［Ｅ´：Ｆ］＝［Ｋ：Ｆ］／［Ｋ：Ｅ´］＝｜Ｇ｜／｜Ｈ｜＝［Ｇ：Ｈ］
従って［Ｅ´：Ｆ］＝［Ｇ：Ｈ］＝ｒとおいてＧを同値類に分解する。 （この話は全て代数方程式シリーズに書いてあります。忘れた方はもう一度見直してみてください）
Ｇ＝ａ_１Ｈ∪ａ_２Ｈ∪…∪ａ_ｒＨ
ここでａ_iは全てＧの元であって、よって写像である事に注意する。 （１≦i≦ｒ）このａ_i達をＥ上へ制限する。 但し、写像の制限とは、写像ｆ：Ａ→Ｂがあって、ＣをＡの部分集合とすれば、 ｆ｜_Ｃ；Ｃ→Ｂとして、写像ｆをＣへ制限するという。 すなわちＡの部分集合Ｃの元をｆでＢへ移す事をいう。
さて、ａ_１｜_Ｅ、ａ_２｜_Ｅ、…ａ_ｒ｜_Ｅ　：Ｅ→Ｋ相異なる。
なぜならば、ａ_i（α）＝ａ_ｊ（α）が∀Ｅについて成り立つなら、 ａ_ｊ⁻ａ_iはＥの元を固定するＫ上自己同型なので、 ａ_ｊ⁻ａ_i∈Ｈとなって これはＧ上の同値関係Ｒ_１１となっている （代数方程式シリーズ参照）ので、 ａ_ｊとａ_iは同じ同値類に属している（分割の補題より）から、 ｉ＝ｊとなる。従ってガロアの定理から ［Ｅ：Ｆ］≧ｒ＝［Ｅ´：Ｆ］であるからＥ＝Ｅ´がわかる。　　　　（証明終わり）

正直にいうと、今回の内容はかなり高度です。 さすがにガロアの理論と言われるだけあるでしょう。 もちろん一回読んだだけでは意味がさっぱりわからないと思っております。 何回も自分がわかるまで読んでみるといいでしょう。 ですから何も僕のやり方でなくともいいわけです。
ベクトル空間の内容はともかくとして、それ以外は全て今まででやってきた事ですから、 わからなくとも悲観する事をせずに、 特に代数方程式シリーズを読み直してみるといいでしょう。 次回にこのガロアの基本定理の後半を示して、ベクトル空間の基本性質を簡単に紹介して可解群に入りたいと思っております。

tan3θ = (3tanθ-tan³θ)÷(1-3tan²θ) って言うのを、

cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ
son3θ = 3sinθ - 4sin³θ

を使って、証明しなければならないんですが、 どうやればでしょうか？
tanθ を sinθ÷cosθ に置き換える方法をやってみたのですが、 どうしても、証明する事ができません。

基本的には、tanθ ＝ sinθ／cosθを使えばいいと思います。

NO.774　階乗関数（１）で提起した問題ですが、 恒等式の性質で未定係数法を使って、
S(2,1)＝１，S(2,2)＝１，S(3,1)＝１，S(3,2)＝３、S(3,3)＝１ と出します。
ここで、他の求め方もあります。それが、連続組立除法という方法です。 この方法は、整式Ａを１次の整式Ｂで割った商をＰ、あまりをＱとしたときに、 一度に求めてくれる方法です。 よく、因数分解するとき、１次因数を発見するのに使います。
詳しく左の図を見て下さい。 ご覧のように、次々と、「第２種スターリング数」が生まれてきます。
したがって一般に、ｘ^ｎ＝S(ｎ,1)ｘ^［１］＋S(ｎ,2)ｘ^［２] ＋S(ｎ,3)ｘ^［３]＋・・・＋S(ｎ,ｎ)ｘ^［ｎ]
となる係数S(ｎ,1)、S(ｎ,2)、S(ｎ,3)、・・・、S(ｎ,ｎ)はこの連続組立除法で続けていけば、 簡単に求められます。
更に先の話は、 ＜美しい数学の話＞第１８話　「第２種スターリング数Ｓ（ｎ，ｋ）」にあります。

５つの玉（青：３　赤：２）より２つ選んだ場合、２つとも赤い玉が選ばれる確率は？

５つの玉を｛Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３、Ｒ１、Ｒ２｝とします。
まず可能性すべてを書き出してみます。
｛Ｂ１、Ｂ２｝、｛Ｂ１、Ｂ３｝、｛Ｂ１、Ｒ１｝、｛Ｂ１、Ｒ２｝、｛Ｂ２、Ｂ３｝、
｛Ｂ２、Ｒ１｝、｛Ｂ２、Ｒ２｝、｛Ｂ３、Ｒ１｝、｛Ｂ３、Ｒ２｝、｛Ｒ１、Ｒ２｝の１０通りになります。
玉を選ぶ際に２つの玉の順番は関係ないので、集合の記号で書き表してあります。
これを「組み合わせ」と言います。
Combinationの記号を使って、₅Ｃ₂=10ともかけます。
一般に異なるｎ個の中から同時にｒ個取り出す組み合わせは、_ｎＣ_ｒとかき、
_ｎＣ_ｒ＝ｎ！／ｒ！(ｎ−ｒ)！で計算できます。
[ｎの階乗：ｎ！＝ｎ・(ｎ−１)・(ｎ−２)・・・２・１]

さてこの１０通りの中で、赤２つが取り出されるのは、｛Ｒ１、Ｒ２｝の１通りしかありません。
青を無視して、赤２つの中から２個取り出す場合の数、₂Ｃ₂=1と考えてもいいでしょう。

したがって確率は、Ｐ＝１／１０と考えられます。

ド・モアブルの定理

(cosθ+isinθ)ⁿ=cosnθ+isinnθ

の左辺を展開し実部と虚部を比較するとｎ倍角の公式が得られます。
tannθ=sinnθ/cosnθとするとtannθもtanθだけの式で表わされます。
ガウス記号を使ってやってみて下さい。

Ｍ・ケッヒャーの数論的古典解析という本にこの関数が紹介されていました。

は次のような不思議な関係があります。

本に載っていたのは半ページ足らずの値の紹介だけで具体的な求めかたは 載っていませんでした。
この関数についてなにか御存知でしたら教えて下さい。

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