Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.7〜9／NO.68

α（１）＝１，α（２）＝５，α（３）＝１２，α（４）＝２２，・・・の一般項を求めてみます。
この数列の階差数列(隣同士の差をとって作った数列)をβ（ｎ）とします。
β（１）＝４，β（２）＝７，β（３）＝１０，・・・となり、 これは初項４、公差３の等差数列になっています。
従ってβ（ｎ）＝４＋３（ｎ−１）＝３ｎ＋１

ａ_０＞０、ｂ_０＞０、ａ_０≠ｂ_０と考えます。
ａ_０、ｂ_０の大小関係はさておき、 相加平均≧相乗平均の関係(等号成立は２者が等しいときのみ)から、ｂ_１＜ａ_１
ｂ_２、ａ_２はこれらの相加平均と相乗平均ですから、 ｂ_１＜ｂ_２＜ａ_２＜ａ_１
以下同様に、ｂ_１＜ｂ_２＜ｂ_３＜ａ_３＜ａ_２＜ａ_１
・・・
これより、数列｛ａ_ｎ｝は単調減少、かつ下に有界 （任意のｎに対して、ｂ_１＜ａ_ｎ）
数列｛ｂ_ｎ｝は単調増加、かつ上に有界 （任意のｎに対して、ｂ_ｎ＜ａ_１）
従って、数列｛ａ_ｎ｝、｛ｂ_ｎ｝はともに収束する。

ｂ＝ａを証明するために背理法を使います。つまり、ｂ＜ａと仮定します。
数列｛ａ_ｎ｝は単調減少なので任意のｎについて、ａ＜ａ_ｎ
数列｛ｂ_ｎ｝は単調増加なので任意のｎについて、ｂ_ｎ＜ｂ
ここでｂ＜ａより、ａ−ｂ＝εとする。

これは任意のｎについて、ａ＜ａ_ｎであることに矛盾します。
従って、ａ＝ｂというわけです。

イメ−ジとしては、ａ_０、ｂ_０からスタ−トして 相加平均と相乗平均をとっていくわけですから、両者に溝ができるはずはない(つまり一致する?)といった感じでしょうか。 この数列の収束は早そうですね。

オイラーの無限解析入門（１）の第１4夜の始まり、始まり。
皆さんは、次の数列の名前をご存じでしょう。

三角数　１，３，６，１０，１５，２１，２８、３６、・・・
四角数　１，４，９，１６，２５，３６，・・・
五角数　１，５，１２，２２，３５，５１，・・・

１３夜の数列がこの五角数なのです。
さて、歴史的なことを書きます。
１７４０年にフランス系のベルリンの数学者ノデがオイラーに手紙を書いて、 与えられた整数ｎが幾通りの方法でｋ個の異なる整数の和として表されるかを問うて来た。 （ここで、扱っている記号ではＡ（ｎ）のことです。）
オイラーは直ちにといっていいくらいに返事をした。 次いで、２，３ヶ月もせぬうちに、ペテルスブルク・アカデミーに論文を提出した。 彼は後に数度にわたりこの問題に立ち戻ることになった。 １７４８年の「無限解析入門（１）」にいくらか詳しく、この問題を扱っており、 また最後に扱ったのは１７６８年のことであった。
ノデの問題に対するキーは次の無限積が無限級数へ展開されることが彼の心を打ったのは 言うもでもない。 零でない係数がどれも±１であるということばかりでなく、 指数が容易に分かるように「五角数」ｎ（３ｎ−１）／２である。

（これが、オイラーの五角数定理、または、オイラーの恒等式という。）
１７５０年、オイラーはほぼ１０年を要して、この証明をゴールドバッハに送ることができた。 ヤコービが見いだしたように、正確な証明はテータ関数や保型形式の理論を待たねばならない。
＜以上までの参考文献：数論（アンドレ・ヴェイユ；足立恒雄訳）「日本評論社」＞
また、この公式のことを数学セミナー３月号の載っている静岡大学の浅井哲也先生は
「数論に現れるいくつかの不思議な等式に魅力を引かれるようになりました。 僕にとっての数学の女神さまは、多少象徴的な言い方になりますが、例えば、この五角数定理でした。」 とね。
これで、本題にもどります。

f（ｘ）	＝(１＋ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７＋ｘ８＋ｘ９＋ｘ１０＋・・・)
	(１＋ｘ２＋ｘ４＋ｘ６＋ｘ８＋ｘ１０＋・・・) (１＋ｘ３＋ｘ６＋ｘ９＋・・・)
	(１＋ｘ４＋ｘ８＋・・・) (１＋ｘ５＋ｘ１０＋・・・) (１＋ｘ６＋・・・)
	(１＋ｘ７＋・・・) (１＋ｘ８＋・・・) (１＋ｘ９＋・・・) (１＋ｘ１０＋・・・)
	＝ｓ（０）＋ｓ（１）ｘ＋ｓ（２）ｘ２＋・・・＋ｓ（ｍ）ｘｍ＋・・・・

とします。（ここで、ｓ（０）＝１とする。）
ｆ（ｘ）を展開すればｘ^ｎの係数からｓ（ｎ）の値を求められます。
そのために、ｆ（ｘ）＝１／Ｆ（ｘ）とおいて、Ｆ（ｘ）の展開を試みました。 これはＦ（ｘ）・ｆ（ｘ）＝１です。　
｛１−ｘ（１＋ｘ）＋ｘ^５（１＋ｘ^２）− ｘ^１２（１＋ｘ^３）＋ｘ^２２（１＋ｘ^４）−・・・｝
　　　　　×｛ｓ（０）＋ｓ（１）ｘ＋ｓ（２）ｘ^２＋・・・＋ｓ（ｍ）ｘ^ｍ＋・・・・　｝ ＝１

ここで、今夜の宿題です。 左辺のｘ^ｍの係数は０に等しいですから、 ここから、ｓ（ｍ）を求める関係式を発見してください。

今夜は長くなりましたが、徐々にオイラーの域に近づくことができました。 みなさん、お休みなさい。

問題に出てきたカール君というのはあの天才数学者カール・フリードリヒ・ガウスのことです。 14歳のときガウスはこの数列を計算し、双方の数列がただちに同じ極限Ｍ(a₀,b₀)に収束する事を 発見しました。 これは算術幾何平均とよばれました。 当時ガウスは、２定点Ａ，Ｂ（焦点）からの距離の積が一定で に等しい点の軌跡であるレムニスケートとして 知られていた曲線に興味を持ち、長い間その弧張を発見しようと努め、 と推定しました。 最初証明ぬきで１１桁（！）まで双方の量を計算したそうです。

＜参考文献：ガウスが切り開いた道（シュプリンガー・フェアラーク東京）＞

第２４回数学的な応募問題

太郎さんの学校では、９月１日の「防災の日」までに、 災害時のとき、生徒の 安全確認用緊急連絡網を作成して、提出する課題があります。 電話を通して（不通の場合は、全員持っている携帯電話を使用） クラスの生徒（ｎ―１）人の安全確認を担任の太郎さんを含めて、 お互いに情報を流し合います。
例えば、担任と生徒Ａさんの間の１回の電話で、 担任の太郎さんは自分が聞いた、すべての生徒の安否を生徒に伝え、 生徒Ａさんも自分が聞いた安否を担任に伝えます。 もちろん、生徒同士でも当然お互いの安否を伝え合います。
太郎さんを含めて、ｎ人の人々の間で、 すべての安全確認に必要な最少通話回数をＳ（ｎ）で表すとき、 次の問題に答えてください。

問題１：
電話連絡の順序を書いて、Ｓ（２）、Ｓ（３）、Ｓ（４） を求めてください。

問題２：
太郎さんと生徒９人の場合で、通話回数が１６回で、安否確認が１０人 すべてにいきわたる連絡網（順序つき）を１つ作成してください。

問題３：
一般に、生徒３人以上に対して、Ｓ（ｎ）≦２ｎ―４を示してください。

今日からNHK教育テレビの11:00〜11:15で、「それいけ算数」という番組が始まりました。 ８／６(金)までの１０回シリ−ズで、小学生向けに実験や工作を織り交ぜて、 算数のおもしろさを体験できるようです。 小学生向けとはいってもなかなか奥が深く、おもしろそうです。 講師は秋山仁さんです。
テキストは本屋さんで売っています。(\900切り抜き付録つき)
第１回目のテ−マは「チョコ・ケ−キの３等分」でした。 これは、NO.232　クリスマスケ−キの問題として 以前コロキウム室でも取りあげた内容です。

問題１について、具体的にやってみます。

	Ｓ(２)＝１
	Ｓ(３)＝３
	Ｓ(４)＝４

問題２について

上の図のように、順番に連絡を取り合っていきます。
ひととおり、連絡が取り終わった段階で、青い人物Ａ，Ｂの２人はすべての人の情報を 持っています。
ここまでは、どういう形態をとろうとも９(＝１０−１)とおりです。 それはチ−ム数Ｎとしたときの、ト−ナメント試合の数がＮ−１になるのと同じ理由です。 (NO.573)

次にＣに着目すると、ＣはＡから左の情報をすべて持っています。 同様に、ＤはＢから右の情報をすべて持っています。 そこでＣとＤが連絡を取り合えば、ＣとＤはすべての情報を得ることができます。

次にすべての情報をすべて持っている人物(青で表示されたＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ)が、 残った人たちに連絡を取っていけば，１６回の連絡で完了です。

問題３について

一般にｎ人で連絡を取り合う時も同様に考えます。

まず、順にひととおり情報収集をします。 この段階で２人の人物Ａ，Ｂがすべての人の情報を得ることになります。 ここまでで(ｎ−１)回。

次にＡ，Ｂが連絡を取り合う前の段階で、Ａと同じ情報量のＣ、Ｂと同じ情報量のＤという人物がいるはずです。 この２人が連絡を取り合うことで、彼らもすべての情報を得ることになります。

最後にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを除く人物に連絡を取っていきます。 これが(ｎ−４)回。

従って、(ｎ−１)＋１＋(ｎ−４)＝(２ｎ−４)回。
でも、ｎが増えた時にはもっと効率的な方法がありそうですから、 ここは謙虚に不等号にしましょう。
つまり、Ｓ(ｎ)≦２ｎ−４、ただしｎ≧４かな？

高校野球夏の大会、神奈川地区大会は今日決勝戦が行われ、桐蔭学園が優勝しました。
２０５校で争ったこの神奈川県大会、優勝するには連続何試合に勝たねばならないのでしょうか？
１２８＜２０５＜２５６　つまり、 ２^７＜２０５＜２^８ということですから７ないし８試合ということになります。
シ−ド校やくじ運よく第１試合のないチ−ムは７試合、くじ運の悪いチ−ムは８試合もこなさなければなりません。

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