Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.56

コロキウム室NO.313「宇宙空間での最短経路問題」の解説をします。
まずは、NO.399を見てください。ここで、シュタイナーのネットワークから、 ∠ＤＡＭ＝３０゜になっています。
図２を参照しましょう。 この場合１辺の長さを１としてあります。

したがって、宇宙空間における８つの研究施設を結ぶ最短経路の長さは１辺が１０ｍですから、６１．９６ｍで結ばれます。
ところで、太郎さんは設計図がうまく書けなくて困っています。 これまでのイメージを参考にして、皆さん考えてください。

コロキウム室NO.314「立方体の展開図」の解説をします。
６つの正方形からなる普通の展開図は１１通りありますが、 すべて切り開いた周の長さの合計は７０ｃｍになります。 そこで、切断する長さが７０ｃｍより短い方法を順に太郎さんは考えました。

＜方法１＞立方体の上面を２つの対角線に沿って切る場合です。
切断する長さは４０＋２０√２≒６８．３ｃｍ　になります。

＜方法２＞立方体の上面と下面の対角線とその２つの面を結ぶ辺を切る場合です。 切断する長さは１０＋４０√２≒６６．６ｃｍ　になりさらに短くなります。

＜方法３＞立方体の上面と下面にシュタイナーのネットワークを使います。 このシュタイナーのネットワークはNO.393を参照してください。 切断する長さは３０＋２０√３≒６４．６ｃｍ　にしかなりません。 これが最も短い切断方法です。
尚、シュタイナー（１７９６〜１８６３）はｎ個の点を結び 最短ネットワークを考えたこで知られています。

サイクロイドが使われている例として、振り子がありますよ。

図�@最速降下曲線において、曲線の途中から玉を離しても、 てっぺんから玉を離したのと同時にゴールへたどりつきます。 つまり、曲線のどこから玉を離しても、ゴールへたどりつく時間は同じになります。 （最速降下曲線自身を求めるのは、変分法などを用いて、 図�@の主張は微積分を用いて、説明できます）

図�Aサイクロイド自身の伸開線は同じくサイクロイドになります。 つまり、サイクロイドに糸を巻きつけて、 図�Aの下の端をもって糸をピンとはったままはがしていくと、 糸の端の描く曲線はサイクロイドになります。 （ここら辺は、微分幾何の曲線論です）

図�Bそういった性質をつかっていつも同じ周期で振れる振り子がつくれます。 これを等時性といいます。 普通の（軌跡が円である）振り子も等時性をもつのですが、 厳密には違います。 高校物理で、普通の振り子の周期は素材が糸であるか棒であるかにとって 違うが、振り子の長さによってのみ周期が決まる（振れ幅には関係しない） 習った人がいるかもしれません。 しかし、それは振れ幅が小さいときには、 sinθ＝θと近似的表わされるとして周期を計算したのです。 （これを厳密にやると、周期は楕円積分で表わされるそうです。）
図�Bの振り子は、サイクロイド型の天井に糸でできた振り子を揺らし、 振り子の軌跡をサイクロイドにしようとしたものです。 振れ幅が大きくても、また減衰して小さくなっても、 理論的には完全に同じ周期でゆれます。 ただ、現実的には、天井のサイクロイドに巻き付いている影響は少なく、 ほとんど無意味みたいです。
なかなか面白いとおもいませんか？

オイラーの「無限解析入門（１）」の第５夜の始まり、始まり。
次の等式が基本でしたね。

これらの値はゼーターの特殊値としての解釈ができますし、 自然界にも普通に表れているかもしれません。
たとえば、ラモローさんは１９９７年に、量子力学において５０年間 念願とされてきたカシミール効果をアメリカのシアトルにおける実験で 確認したときの理論値は実質的に
１＋８＋２７＋６４＋・・・＝１／１２０　　でした。
無限大になるところをうまく引き去って（繰り込んで） 意味のある有限値を出すことを物理学での言葉で「繰り込み」と言いますが、 上記の値がその一例と考えられます。
オイラーの奇妙な計算が出たついでに、オイラーの最も激しい計算 （発散がゼーターの場合より激しい！）を紹介します。

１！−２！＋３！−４！＋５！−６！＋７！−・・・＝０．４０３６５２６・・・

＜今までのオイラーの「無限解析入門（１）」の原稿は、 「数学の夢　素数からのひろがり　」黒川信重：岩波書店　を参考にして、 多くの引用しています。＞

第２夜のときに、以下のことを書きましたね。
ゼーター関数ζ（ｓ）の素晴らしいのはｓにどんな複素数を代入しても、 意味を持つという点です。＜数学的には「解析接続可能」と言います＞ オイラーの見つけた形（１７４９年）で言いますと、

ｓ≦０のとき、月夜の世界
０≦ｓ≦１のとき、たそがれとき＜夕焼け・朝焼け＞
１≦ｓのとき、昼間太陽の世界

とユニークな月のマークと太陽のマークを書いています。
月夜の世界での不思議な計算はここで、終わりにしまして、 昼間の計算に移ります。 オイラーは１７３５年に、順次ζ（２ｍ）（ｍ＝１，２，・・・１３）を計算しました。 ζ（２６）が最後でした。ちなみに、

ζ（２６）＝１３１５８６２／１１０９４４８１９７６０３０５７８１２５・π^２６です。
実に驚異的な計算能力です。驚嘆するばかりです。

ここで私ことですが、３月，数式処理「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」の講習会 を受講してきました。 昼休みにこっそりソフトをお借りしまして、 我のオイラーに近づこうと思いまして、ゼーターζ（ｓ）の値に挑戦しました。

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａは偉大なソフトです。瞬時に計算してくれます。
私の手元に、ζ（２ｍ）（ｍ＝１，２，・・・２２）　の値があります。
ζ（３）の値は出ませんでしたが、オイラーに少しでも近づけたような感動が湧いて来ました。
話を本題に戻ります。 あのベルヌイが研究したベルヌイ数に挑戦していきます。

さて、問題です。

このＢ_ｎの値をＢ_０からＢ_８まで、求めてください。 これで、第５夜を閉じます。お休みなさい。

中３の生徒からこんな質問が来ました． 彼は計算が好きらしく，たまたまこんな興味深い計算結果に気付いたそうです． ２ⁿ（ｎ≧３)を次のように書き並べて，合計すると９が並ぶというのです．

２3		８
２4		１	６
２5			３	２
２6				６	４
２7				１	２	８
２8					２	５	６
２9						５	１	２
２10						１	０	２	４
２11							２	０	４	８
・・・
合計		９	９	９	９	９	・	・	・

実際にプログラムを作って走らせたところ， 最高５０００桁で３４９４桁まで９が並ぶことを確認しました． 誰かこの原理について，解明，または証明して（あるいは生徒を煙に巻く方法を教えて） いただけませんでしょうか．恥ずかしながら，私はこういうのが苦手です． プログラムを組むのが精一杯です．

ＱＢＡＳＩＣプログラム
'noguchi2.qb
CLS : max = 5000: DIM a(max), b(max)
a(0) = 0: a(1) = 8: b(1) = a(1): keta = 1: kaisuu = 1
FOR j = 2 TO max: a(j) = 0: b(j) = 0: NEXT
WHILE b(max) = 0 AND INKEY$ = "": kaisuu = kaisuu + 1
 FOR j = 1 TO keta: a(j) = 2 * a(j): NEXT
 FOR j = keta TO 1 STEP -1
  IF a(j) > 9 THEN a(j - 1) = a(j - 1) + INT(a(j) * .1): a(j) = a(j) MOD 10
 NEXT
 IF a(0) = 1 THEN
  keta = keta + 1
  FOR j = keta TO 1 STEP -1: a(j) = a(j - 1): NEXT: a(0) = 0
 END IF
 FOR j = kaisuu - keta + 1 TO kaisuu: b(j) = b(j) + a(j - kaisuu + keta)
 NEXT
 FOR j = kaisuu TO 1 STEP -1
  IF b(j) > 9 THEN b(j - 1) = b(j - 1) + INT(b(j) * .1): b(j) = b(j) MOD 10
 NEXT
 count = 0: owari = 0: j = 1
 WHILE owari = 0 AND j <= kaisuu
  IF b(j) = 9 THEN count = count + 1 ELSE owari = 1
  j = j + 1
 WEND
 LOCATE 1, 1: PRINT 2; "^"; kaisuu + 2; "("; keta; "keta)"
 PRINT 9; "->"; count: PRINT "others->"; kaisuu - count
WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND: END


例えば、２¹⁰までに区切って考えてみました。
Ｓ＝２³・１０⁷＋２⁴・１０⁶＋２⁵・１０⁵＋ ２⁶・１０⁴＋２⁷・１０³＋２⁸・１０²＋ ２⁹・１０¹⁰＋２¹⁰

これは、１０⁸より少し小さい数(曖昧な表現ですが・・・)ということです。
実際には、99,999,744となり、１０⁸−２⁸＝100,000,000-256と なっています。

一般に２^Nまで計算すると、

これは、１０^N-2−２^N-2と表現してもいいわけですが、 上からかなりの桁まで「９」が並ぶだろうことがわかります。

まずＳ_nを次のように考えます。
Ｓ₃=8
Ｓ₄=80+16=96
Ｓ₅=800+160+32=992
…
Ｓ_n=2³×10^(n-3)+2⁴×10^(n-4)+… +2ⁿ×10⁰

となります。
nが大きいとき10^(n-2)は 2^(n-2)に比べてとても大きいので ９がいくつも続くというわけです。
また、10^(n-2)は(n-1)桁、2^(n-2)は [(n-2)log2+1] 桁だから、 Ｓ_nは上から(n-2)-[(n-2)log2] 個９が続きます。
Ｓ_nは(n-2)桁なのでＳ₅₀₀₂は5000桁、5000-5000 log2=3494.85…なので 上から3494個の９が並びます。
[ ]はガウス記号です。

２の代わりに５でも上から９が並びます。
２のときと同じようにＴ_nを n≧１で次のようにします。
Ｔ₁=5
Ｔ₂=50+25=75
Ｔ₃=500+250+125=875
…
Ｔ_n=5¹×10^(n-1)+5²×10^(n-2) +5³×10^(n-3)+… +5ⁿ×10⁰

これもnが大きいとき10ⁿは 5ⁿに比べてとても大きくなりますが、 2ⁿのときほど差は大きくないので、 上から連続して並ぶ９の個数は少なくなります。
その個数は n-[nlog5]なのでＴ_nが5000桁のとき 5000-[5000log5]=1505 個となって2のときの 3494個の半分以下になります。

ＳnとＴnの値をいくつか書いてみます。

	Ｔ1=5
	Ｔ2=75
Ｓ3=8	Ｔ3=875
Ｓ4=96	Ｔ4=9375
Ｓ5=992	Ｔ5=96875
Ｓ6=9984	Ｔ6=984375
Ｓ7=99968	Ｔ7=9921875
Ｓ8=999936	Ｔ8=99609375
Ｓ9=9999872	Ｔ9=998046875
Ｓ10=99999744	Ｔ10=9990234375
	…
	Ｔ20=9.999990463E+19

９７年の大阪府立大学入試問題で，
「座標平面上に，原点Ｏを中心とする半径２の固定された円Ｃと， それに外側から接しながら回転する半径１の円Ｃ'がある． 円Ｃ'の中心が(３,０)にあるときのＣ'側の接点に印Ｐをつけ， 円Ｃ'を円Ｃに接しながら滑らずに回転させる． 点Ｐの描く曲線で囲まれた領域の面積を求めよ．」
というのがありました．

解答は，
Ｐ(ｘ、ｙ)とし，ＯＡのｘ軸とのなす角をθとすると，
ｘ＝３cosθ−cos３θ，ｙ＝３sinθ−sin３θ（０≦θ＜２π）

という標準的な置換積分の計算です．
この問題を次のように解いた生徒がいるのです． この解答のどこが違っているのか，というのが質問なのです．

ΔＳ	＝Δθ(ｘ2＋ｙ2)／２
	＝Δθ{(３cosθ−cos３θ)2＋(３sinθ−sin３θ)2}／２
	＝Δθ(５−３cos２θ)

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