この証明はあっているかどうか自信はありません。 シグマから積分に変形しているあたりが怪しいです。
Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1〜3／NO.42
NO.346 '99 2/19 みや ゼーター関数物語（６）
調和級数が発散することの証明です。
この証明はあっているかどうか自信はありません。
シグマから積分に変形しているあたりが怪しいです。
NO.347 '99 2/20 水の流れ 極と極線（４）
ｊｕｎｋｏ さんが発見されたように、
ｄＤ＝ｒ２は成り立ちます。
これより、点Ｐが与えられたときは、点Ｍの位置が決まります。
ただし、原点からの距離がｄで、直線ＯＰに垂直である点をＭとする。
ゆえにそのＭを通り 直線ＯＰに垂直な直線ｐが点Ｐの極線である。
逆に、極線が与えられると、
ｄＤ＝ｒ２の関係を保つような点すなわち、
極を決定できます。
注意として、円の中心の極線は無限遠の直線で、
中心を通る直線の極は無限遠の点である。
さて、極と極線の相反性 の話をします。
円：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２・・・@ に関する
点Ｐ（ｘ１、ｙ１）の極線ｐの方程式は
ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝ｒ２ である。
ｐ上にある任意の１点Ｑ（ｘ２，ｙ２）をとれば、
ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｒ２ ・・・ A となる。
また、Ｑのこの円に関する極線ｑの方程式は
ｘ２ｘ＋ｙ２ｙ＝ｒ２ であるから、
A は点Ｐがｑ上にあることを示しています。
よって、「１つの円に関して１点Ｐの極線が他の１点Ｑを
通るとき、この円に関してＱの極線はまたＰを通る」
このことを 極と極線の相反性 と言います。
また、このような性質をもつ２点、Ｐ、Ｑをその円に関する共役な点という。
さらに、１つの直線ｐの円@に関する極をＰとすればＰを通る任意の
直線ｑのの円@に関する極をＱは、必ずｐ上にあることがわかる。
このような性質をもつ２直線ｐ、ｑを、その円に関して互いに共役な直線という。
また、ｐとｑとの交点をＲとすれば、ここで、＜図参照＞
直線ＰＱはＲの極線である。
だから△ＰＱＲの各頂点のこの円に関する極線は、
ちょうどその対辺になっています。
このような三角形を自己共役三角形といいます。
＜参考文献：新数学事典 大阪書籍＞
さて、この問題では、点Ｐ（３，２）を通る任意の２本の
直線ＡＢ，ＣＤを引いて、直線ＡＢが極線となるような極をＭとする。
直線ＣＤが極線となるような極をＮとすると、
直線ＭＮが点Ｐの極線となります。
これが３ｘ＋２ｙ＝１６ なのです。
NO.348 '99 2/20 Junko ゼーター関数物語（７）
NO.349 '99 2/20 Weadore 2000年問題？（１）
X = 1999/2-1998/3+1997/4-・・・・・・-2/1999+1/2000
Y = 1/1001+3/1002+5/1003+・・・・・・+1999/2000
とする。
このときＸとＹとの大小関係を示せ。
NO.350 '99 2/21 Junko ゼーター関数物語（８）
NO.351 '99 2/21 水の流れ ゼーター関数物語（９）
「ゼーター関数ζ（２）物語第４夜の始まり、始まり。
昨夜、こんな問題を出したままでしたね。
『任意の整数をｋとして、
１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／２ｋ＞（ｋ＋１）／２』
皆さん、ニコル・オレスムと同じ証明になるでしょうか？
もし、そうなら数学的真理の普遍性を実感します。
実は、ニコル・オレスムの証明と同じことが、６世紀後でも、
「Junko」さんが
NO.343で証明しています。
数学的真理の神秘に驚いています。
さて、ヨハン・ベルヌーイはもう１人の数学者イタリアの
ピエトロ・メンゴーリにも先を越されています。
メンゴーリの証明は１６４７年、ベルヌーイの証明の４０年
ほど先立つものでした。
これは実にシンプルな証明ですが、まず最初に前提になる定理が出てきます。
第４夜の問題です。皆さん、解いてみてください。
『任意の整数をｋとして、
１／(ｋ−１)＋１／ｋ＋１／(ｋ＋１)＋＞３／ｋ である』
この定理は３個の連続する整数の逆数を足したとき、
その和は真ん中の数の逆数の３倍より大きいという問題です。
これが、メンゴーリが１６４７年に行った短い証明の
中で調和級数への挑戦に必要な定理でした。」
NO.352 '99 2/21 Weadore 1999!の桁数（６）
NO.340の解答です。
1999!/10nの末尾の０の桁数は1999!に含まれる
5の因数を数えれば良い。
∴[1999/5]+[1999/52]+[1999/53]+[1999/54]=399+79+15+3=496
ここで、[ ]はガウス記号である。
よってｎの最大数は496である。
1999!/10496の一の位はまず、1999!のほうが10496より
２の因数を多く含んでいるので、一桁目は偶数。
つまり、２，４，６，８のどれかである。
ここから周期性（数列）から求める事もできるが、
（ちなみに僕は数学オリンピック当日はそれで求めた）
ここでは、合同式を使って示す。
まず、
1999! = 50(1×2×3×4×6×・・・・・・×1999)
×5399(1×2×3×4×6×・・・・×399)
×579(1×2×3×4×6×・・・・・×79)
×515(1×2×3×4×6×・・・・・×14)
×53(1×2×3)
∴ 2496×(1999!/10496)
≡(1×2×3×4×6×7×8×9)249×(2×3×4×2×3)(mod 10)
≡6249×4(mod 10)
≡6×4(mod 10)
≡4(mod 10)
また、2496= (24)124
≡6124(mod 10)
≡6(mod 10)
∴1999!/10 ≡ 4 or 9(mod 10)NO.353 '99 2/22 Junko 宇宙空間での最短経路問題（２）
NO.313で、
立方体の８つの頂点を最短で結ぶにはどうしたらよいかという問題が
提示されています。
実験してみました。
ストロ−の中に糸を通して立方体(正六面体)を作り、
それをシャボン液にひたします。
そして静かに引き上げると、写真のような状態になります。
中央に、シャボン液による立方体ができています。
不思議ですよね？
ついでなので、正四面体も作ってみました。
写真だとわかりづらいのですが、
中心に向かって二等辺三角形の膜が６枚張られます。
結構きれいにできるので、感動します。
正八面体もやってみました。中に菱形のような膜ができて、
これもまたきれいです。
なかなかうまく写真に撮れないので、これは是非実験してみてください。
用意するものは、ストロ−と糸とシャボン液。
すぐにできますから、是非やってみてください。
楽しいです。
NO.354 '99 2/22 Junko 2000年問題？（２）
NO.355 '99 2/22 みや ゼーター関数物語（１０）
NO.356 '99 2/22 Junko ゼーター関数物語（１１）
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