Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.28

コロキウム室

NO.216 　　　 12/1 　　Junko 　　　 大相撲本場所（１０）

Ｎ試合中、３連敗しない（２連敗までは許される）場合の数 をＧ(Ｎ)とします。

具体的にいくつか調べてみます。

  1. Ｎ＝１
    「○」か「×」　より、Ｇ(１)＝２
  2. Ｎ＝２
    「○○」「○×」「×○」「××」より、Ｇ(２)＝４
  3. Ｎ＝３
    「○○○」「○○×」「○×○」「×○○」
    「○××」「×○×」「××○」より、Ｇ(３)＝７
  4. Ｎ＝４
    「○○○○」「○○○×」「○○×○」「○×○○」「×○○○」
    「○○××」「○××○」「××○○」「○×○×」「×○×○」
    「×○○×」「××○×」「×○××」　より、Ｇ(４)＝１３
ここまで調べて考える・・・。
Ｇ(ｎ)＋Ｇ(ｎ＋１)＋Ｇ(ｎ＋２)＝Ｇ(ｎ＋３) 　ただし、ｎ≧１という性質を持っているかのかな？
フィボナッチ数列とよく似ていますね。
この漸化式について次のように考えます。


次の３つのケ−スに場合分けできます。
１つは、(Ｎ−１)試合目までがどうであれ、Ｎ試合目に勝てばいいわけです。
２つめはＮ試合目に負ける場合ですが、 これは(Ｎ−１)試合目が勝った場合にはＯＫです。 この時、(Ｎ−２)試合目までの勝敗は問いません。
更に３つ目は、Ｎ試合目に負けて、(Ｎ−１)試合目も負けた場合ですが、 これは(Ｎ−２)試合目に勝っていればＯＫです。
というわけで、Ｇ(ｎ)＋Ｇ(ｎ＋１)＋Ｇ(ｎ＋２)＝Ｇ(ｎ＋３) という漸化式が成り立っているというわけです。



NO.217 　　　 12/1 　　水の流れ 　　　 大相撲本場所（１１）

この数列をトリボナッチ数列といいます。 トリボナッチは人の名前ではありません。 １つの数が前の３つ（トリ）の数の和で得られるので、 フィボナッチ数列の拡張です。



NO.218 　　　 12/1 　　水の流れ 　　　 パスカルの三角形（１）


この図を用いて、色分けしてみてください。
例えば、２、３、４、５、６の倍数をすべてぬるというように。
また、ｎＣ２もぬってみてください。
他にもいろいろな性質が発見できそう・・・。

（注：図の上で右クリックすると、図(gif画像、8KB)だけを保存、印刷等できます。 Junko）



NO.219 　　　 12/2 　　水の流れ 　　　 バスケットボ−ルの問題（１）

今、私はバスケットボールの顧問をしています。
競技での得点はフリースローは１点、 フィールドスローは７ｍ以内は２点、 ７ｍ以上は３点として加算されていきます。
そこで、試合中スコアブックをみると、 時間と得点経過が示されていました。

問１．１０点になるまでの得点経過は何通りですか。

問２．１５点になるまでの得点経過は何通りですか。

問３．ｎ点になるまでの得点経過はをＴ(n)とするとき、 数列Ｔ(n)の漸化式はどうなるでしょうか。



NO.220 　　　 12/3 　　Junko 　　　 バスケットボ−ルの問題（２）

問１．１０点になるまでの得点経過を具体的に調べてみました。
１点、２点、３点の得点回数を(ｘ，ｙ，ｚ)で表して、それぞれ何通りかを調べます。

  1. (10，０，０)　→　１
  2. (８，１，０)　→　９Ｃ１＝９
  3. (６，２，０)　→　８Ｃ２＝２８
  4. (４，３，０)　→　７Ｃ３＝３５
  5. (２，４，０)　→　６Ｃ４＝１５
  6. (０，５，０)　→　５Ｃ５＝１
  7. (７，０，１)　→　８Ｃ１＝８
  8. (５，１，１)　→　７Ｃ１×７Ｃ１＝４２
  9. (３，２，１)　→　６Ｃ１×５Ｃ２＝６０
  10. (１，３，１)　→　５Ｃ１×４Ｃ１＝２０
  11. (４，０，２)　→　６Ｃ２＝１５
  12. (２，１，２)　→　５Ｃ２×３Ｃ１＝３０
  13. (０，２，２)　→　４Ｃ２＝６
  14. (１，０，３)　→　４Ｃ１＝４
以上をすべて足すと、 1+9+28+35+15+1+8+42+60+20+15+30+6+4=274　となります。

問１は１０点ですからまだいいとしても、 問２の１５点はちょっとやる気がしませんよね。
具体的にやるのはやめて、一般論で考えようと思います。
１点、２点、３点ずつ得点が増えていくというのは、 階段を１段、２段、３段ずつ登っていくのと同じですね。 １段、２段ずつ登るなら、 これはフィボナッチ数列です。 だとしたらこれはトリボナッチ数列かな？
そうです、まさにその通り！

１０点に到達するには、次の３通りがあります。
１つは、９点からフリ−スロ−で１点追加し、１０点にいたる。
２つ目は、８点から７ｍ以内のフィ−ルドスロ−で２点追加し、１０点。
そして３つ目は、７点から７ｍ以上のフィ−ルドスロ−で３点追加し、１０点。
というわけです。
つまり、一般的には次の漸化式
Ｔ(ｎ−３)＋Ｔ(ｎ−２)＋Ｔ(ｎ−１)＝Ｔ(ｎ)　（ただし、ｎ≧４）
が成り立っているというわけです。
Ｔ(１)＝１、Ｔ(２)＝２、Ｔ(３)＝４をこの漸化式に当てはめていくと、
Ｔ(４)＝７、Ｔ(５)＝１３、Ｔ(６)＝２４、 Ｔ(７)＝４４、Ｔ(８)＝８１、Ｔ(９)＝１４９、
Ｔ(１０)＝２７４となり、先ほどの結果と一致します。
更に、続けます。
Ｔ(１１)＝５０４、Ｔ(１２)＝９２７、Ｔ(１３)＝１７０５、 Ｔ(１４)＝３１３６、Ｔ(１５)＝５７６８となります。




NO.221 　　　 12/3 　　水の流れ 　　　 駒の動き方（１）

下の図のような碁盤のますの中に、最初一番左下に駒があり、 その座標（０，０）です。 この駒は右、上、斜め上と３通りの方法で１ますづつ動くことができます。 図の一番右上のますの座標（ｍ、ｎ）までたどり着く経路は何とおりですか。

問１．一番右上のますの座標が（５、５）のときの経路は何通りですか。
　


問２．一番右上のますの座標が（６、４）のときの経路は何通りですか。


問３．一番右上のますの座標が（ｍ、ｎ）のときの経路は何通りですか。




NO.222 　　　 12/4 　　沖縄の中学３年生 　　　 円の証明問題（１）

∠ａｐｂ＝２分の１∠ａｏｂであることを証明するには、 どうしたらいいのでしょうか？




NO.222 　　　 12/5 　　Junko 　　　 円の証明問題（２）

こういう風に証明したらどうでしょう。
△ｏｐａは二等辺三角形です。なぜなら、ｏｐ＝ｏａ＝(円の半径)だからです。
従って、∠opa＝∠oapです。
三角形の２角の和は、もう１つの角の外角に等しいという性質がありますから、
∠aob＝∠opa＋∠oap＝２∠opa
このことから、同じ弧に立つ円周角は中心角の半分であるということが証明できたというわけです。







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