Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.27

コロキウム室

NO.210 　　　 11/22 　　　情報処理科２年 　　　 最短シュタイナー問題（４）

NO.180の問題２

正方形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの位置に４校があり、 この４校を連結するネットワーク （どの２校もネットワークを通して、行き来できるようにする） を結ぶ計画があります。 もっとも短い結び方で、何ｋｍが必要でしょうか？ また、その、作図も書いてください。 ただし、１辺の距離をａｋｍとする。


授業の中で出題されたこの問題について、 皆で考えました。
これら設計図の中で、一番短いのは対角線の×印のネットです。
一番右は図だけで、長さは出ていません。 定規で測ってみたら、一番左のものが、対角線の１辺を１０ｃｍとして、 だいたい、２√２×１０＝２８．３センチになりました。
次ぎに、一番右はというと、どうも２８．３センチより短いみたいです。 でも、途中の交点はどこに取ると良いか？　 また、なぜ？と問われると答えられません。



NO.211 　　　 11/22 　　　水の流れ 　　　 大相撲本場所（６）

参考図のようなパスカルの三角形（二項係数）を斜めに足すと、 フィボナッチ数列になります。

＜参考図＞　パスカルの三角形（二項係数）

ｎＣｒ ０１２３ ４５６７
０ １        
１ １１       
２ １２１      
３ １３３１     
４ １４６４ １   
５ １５１０１０ ５１  
６ １６１５２０ １５６１ 
７ １７２１３５ ３５２１７１

数式でかくと、次のようになります。

フィボナッチ数列をＦ(ｎ)とすると、Ｆ(１)＝１、Ｆ(２)＝１、Ｆ(３)＝１＋１＝２、 Ｆ(４)＝１＋２＝３、Ｆ(５)＝２＋３＝５、・・・

Ｆ(ｎ＋１)＝ｎＣ０＋ｎ−１Ｃ１＋ ｎ−２Ｃ２＋・・・＋ｍＣｍ

Ｆ(ｎ＋２)＝ｎ＋１Ｃ０＋ｎＣ１＋ ｎ−１Ｃ２＋・・・＋ｍ＋１Ｃｍ
ただし、ｎ＝２ｍで、ｍ≧１、ｎ≧２の自然数とする。２つの組みで考える。




NO.212 　　　 11/23 　　　naomi 　　 Alphabetの問題・Part2（２）

答え　　Ｓ　Ｓ　　になりますか。
答えの後もずっと続くようになっているのがヒントになりました。



NO.213 　　　 11/25 　　　Junko 　　　 大相撲本場所（７）

NO.211にあるパスカルの三角形を見て、 本当にびっくり、感激しました。 確かに斜めに足していくとフィボナッチ数が現れてきます。 こんなところでつながっているとは！　神秘を感じます。



NO.214 　　　 11/25 　　　水の流れ 　　　 大相撲本場所（８）

大相撲の問題の続きです。
もし、３連敗しない方法（２連敗まで許される）場合は 　１，２，３，４，・・・、１５日ではどんな数列に なるでしょう。長方形の問題ではどんな変化になるでしょう？



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

NO.215 　　　 11/28 　　　ヴァー 　　　 大相撲本場所（９）

水の流れさんのNo.211の主張が，その主張どおりフィボナッチ数列の式「F(n)+F(n+1)=F(n+2)」を満たしていることを証明してみましょう．
この証明では，組合せ「nCr」について常に成り立つ等式(恒等式)

nCr+nCr+1=n+1Cr+1

を利用します．

＜ F(2m)+F(2m+1)=F(2m+2) の証明 ＞

まず，No.211から，

F(2m) = 2m-1C0 + 2m-2C1 + .. + mCm-1
F(2m+1) = 2mC0 + 2m-1C1 + 2m-2C2 + .. + mCm

であり，この2つの式を足し合わせると，

左辺 = F(2m)+F(2m+1)

で，

右辺 = 2mC0
+(2m-1C0+2m-1C1)
+(2m-2C1+2m-2C2)
+...
+(mCm-1+mCm)
= 2m+1C0+2mC1+2m+1C2+...+m+1Cm
= F(2m+2)

になります．
ここでは，はじめの項では，2mC0=2m+1C0を用いていて，( )の部分では先の等式を用いています．

＜F(2m+1)+F(2m+2)=F(2m+3) の証明 ＞

先程と同じく，No.211から，

F(2m+1) = 2mC0 + 2m-1C1 + .. + m+1Cm-1 + mCm
F(2m+2) = 2m+1C0 + 2mC1 + 2m-1C2 + .. + m+1Cm

であり，この2つの式を足し合わせると，

左辺 = F(2m+1)+F(2m+2)

で，

右辺 = 2m+1C0
+(2mC0+2mC1)
+(2m-1C1+2m-1C2)
+...
+(m+1Cm-1+m+1Cm)
+mCm
= 2m+2C0+2m+1C1+2mC2+...+m+2Cm+m+1Cm+1
= F(2m+3)

になります．
ここでは，はじめの項では，2m+1C0=2m+2C0を用いていて，同じように最後の項では，mCm=m+1Cm+1を用いています．
また，( )の部分では先の等式を用いています．

この証明は，No.211の表に対応させると次のようなことを表しています．

例えば，赤の部分は，黄色とオレンジの数字の和になっていることを表しています．
同じマスに2つの矢印が流れ込んでいるのがその「和」になっていることを示しています．









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