Colloquium

NO.235
Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.235

NO.1740   最小公倍数  2008.9.15.  水の流れ

第213回数学的な応募問題


皆さん、今年の大分大学医学部の入試問題を改題して出題します。

第213回数学的な応募問題

注:この記事に関する投稿の掲載は、2008年10月6日以降とします。

NO.1739  ページシステム(2)   2008.8.25  夜ふかしのつらいおじさん

XとYとの対戦で、XがYに勝つ確率をXyで表すことにする。
すると、XとYとの対戦は、(Xy+Yx)=1と表せる。
1はどちらかが勝つという意味になる。

Ab=4/7、Ba=3/7、 Ac=2/3、Ca=1/3、 Ad=4/5、Da=1/5
Bc=3/5、Cb=2/5、 Bd=3/4、Db=1/4、 Cd=2/3、Dc=1/3

まず、AとB、CとDとの対戦は
 (Ab+Ba)・(Cd+Dc)
=Ab・Cd+Ab・Dc+Ba・Cd+Ba・Dc

3位決定戦を考えると
=Ab・Cd・(Bc+Cb)+Ab・Dc・(Bd+Db)+Ba・Cd・(Ac+Ca)+Ba・Dc・(Ad+Da)
=Ab・Cd・Bc+Ab・Cd・Cb+Ab・Dc・Bd+Ab・Dc・Db+Ba・Cd・Ac+Ba・Cd・Ca+Ba・Dc・Ad+Ba・Dc・Da

決勝戦を考えると
= Ab・Cd・Bc・(Ab+Ba)+Ab・Cd・Cb・(Ac+Ca)+Ab・Dc・Bd・(Ab+Ba)+Ab・Dc・Db・(Ad+Da)
 +Ba・Cd・Ac・(Ba+Ab)+Ba・Cd・Ca・(Bc+Cb)+Ba・Dc・Ad・(Ba+Ab)+Ba・Dc・Da・(Bd+Db)



なお、メダル獲得の確率について、AとBはページシステムの仕組みから1です。
CとDは、初めの試合の勝者がメダル獲得の権利を得るので、Cは、Cdと等しく2/3、DはDcと等しく1/3です。


さて、普通のトーナメントの場合を考えてみる。
予選リーグでABCDの順番だと、AとD、BとCの対戦になる。

まず、AとD、BとCの対戦は
 (Ad+Da)・(Bc+Cb)
=Ad・Bc+Ad・Cb+Da・Bc+Da・Cb


決勝戦は =Ad・Bc・(Ab+Ba)+Ad・Cb・(Ac+Ca)+Da・Bc・(Db+Bd)+Da・Cb・(Dc+Cd)



表1と表2を比べると、予選で成績の良かったAやBの優勝の確率は、ページシステム方式の方が高くなっている。
逆に、予選で成績の悪かったCやDの優勝の確率は、低くなっている。
試合数が多くなれば実力のあるチームが有利になる。

NO.1738   連続する自然数の和(3)   2008.9.1.  水の流れ

NO.1734 連続する自然数の和について、 すべての自然数は、 2の累乗を除いて、必ず奇数の約数の個数だけ、連続したいくつかの自然数に分解することができます。
詳細は、こちら→NO.300 連続自然数の和(5)


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