Colloquium

NO.1675　　連勝連敗の平均　　2007.5.21　　水の流れ

第１９１回数学的な応募問題

皆さん、今年のゴールデンウィーク中にプロ野球セリーグは9連戦が行われました。 このときチームによって連勝や連敗が多く起きました。 巨人の場合は××○○○×○○×、横浜は○○○雨○○××○、 中日は×××××○○○×、阪神は×××雨××××雨、広島は○○○×○○○○雨、 ヤクルトは○○×○××××○でした。ここで、連勝連敗という連続数の平均を考えました。 例えば、巨人の場合は（２＋３＋１＋２＋１）÷５＝１．８　です。

ここで次のような問題を作成しました。皆さん！考えてください。

あるチームがｎ（ｎ≧２）試合野球を行ったとき、この連続数の平均の期待値を求めてください。 ただし、勝敗の起こる確率は5分5分とし、引き分けはないものとします。

問題１：ｎ＝２、３、４のときの期待値を求めよ。

問題２：一般のときの期待値をｎで表せ。

注：この記事に関する投稿の掲載は、２００７年６月１１日以降とします。

NO.1674　　階段の昇り方(2)　　2007.5.21　　夜ふかしのつらいおじさん

設問１
a₁=1 は明らかです。
a₂=2 は1段ずつ昇る場合と、2段で昇る場合があります。
a₃=3、a₄=4
・(111)、(12)、(21)
・(1111)、(112)、(121)、(211)

設問２
15段昇るのは、次の場合があります。
・すべて1段ずつ、₁₅Ｃ₁=1通り
・2段が1回、₁₄Ｃ₁=14通り
・2段が2回は、(212) の3ヶ所に「1」を10回入れる重複組み合わせを数えます。
　　　₃Ｈ₁₀ =₁₂Ｃ₁₀= 66通り
・2段が3回は、(21212) の4ヶ所に「1」を7回入れる重複組み合わせの数を数えます。
　　　₄Ｈ₇ = ₁₀Ｃ₇ = 120通り
・2段が4回は、(2121212) の5ヶ所に「1」を4回入れる重複組み合わせの数を数えます。
　　　₅Ｈ₄ = ₈Ｃ₄ = 70通り
・2段が5回は、(212121212) の6ヶ所に「1」を1回入れる組み合わせの数を数えます。
　　　₆Ｃ₁= 6通り
∴　1+14+66+120+70+6＝277通り

設問３
(n+2)段目に来るには、(n+1)段目からの場合とn段目からの場合があります。
ただし、n段目に来るのに最後は、1段昇りでなければなりません。
もし2段昇りで来ると2段昇りが連続してしまいます。
だから、n段目まで来るのには、a_n-1 通りの方法があることになります。

　　　∴　a_n+2=a_n+1+a_n-1　・・・　(1)

設問４

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
an	1	2	3	4	6	9	13	19	28	41	60	88	129	189	277

一つ手前と三つ手前の値を足せば求まります。

設問５
設問３の漸化式(1)を解いてみます。
両辺にαa_n+1とβa_nを加えます。

ここで

とすると、A_n=a_n+2+αa_n+1+βa_n は、 初項が a₃+αa₂+βa₁で公比が(α+1)の等比数列です。

　　　

一般項を求めるには、(2)から導かれる次の3次方程式をとかねばなりません。

　　　

(2)の解を、α1、β1、α2、β2、α3、β3とします。

これらの数値をもちいて

　　　

A1-A2より

　　　

A2-A3より

　　　

(3)×(α2-α3)-(4)×(α1-α2)より

　　　

となりますが、具体的な数値で書き直すのは面倒なので省略します。

NO.1673　　連続根号数の極限値の不思議　　2007.5.16　　K.F.

連続根号数の形をした関数（式．１）について考える。

　　・・・式．１

「コロキウム室　NO.1598」のＴ．ヴィジャヤラガヴァンの定理により、 f(x)は、x≧0　のとき、極限値が存在する。
そこで、x=0　のときの　f(x)の値を考える。

であるから、当然

となると予想される。ところが、x　が　0　の近傍のときの　f(x)　の値を計算すると、

となり、が強く予想される。
一方、「コロキウム室　NO.1622」から、

　　・・・式．２

であることが明らかである。式．２に　x=0　を代入すると、　f(x)=0,1　となる。 以上のことから、f(0)=0　、は両方とも正しいと 考えられる。すなわち、関数　f(x)　は、x=0　の点で不連続である。