コロキウム室

桁数がわかったところで後半、１の位の数を求めます。

a=10²¹⁰/(10¹⁰ + 3)とします。
この数は200桁なので、10²⁰⁰でわれば、0.1以上１未満の数になります。

　　0.□□□・・・□・・・・・

その状態で小数第２００位の数を求めればいいわけです。

この変形は、

　　　　　（|x|＜１）
において、　としたもにです。

問題の小数第２００位ですが、

のあたりを見ていけばいいと思います。
まず、(3/10¹⁰)²⁰ですが、3²⁰の末尾は１になります。
従って、(3/10¹⁰)²⁰だけを考えれば小数第２００位の数は１です。
しかし、-(3/10¹⁰)²¹で若干引かれてしまうので、 小数第２００位の数は「０」と結論しましたが・・・。

3²¹ の桁数（11桁）と１の位を用いて、 x²¹ と x²⁰ のあたりから、ちょうどこの辺で１の位の評価が出来るというわけで、正解は９です （∵ 3²¹/10¹⁰ ＞1）。惜しい！ですね。

なるほど若干だと思ったらとんでもないのですね。
問題の仮定　3²¹=10460353203　がここで生きてくるとは・・・！

小数第２００位あたりの様子を書いてみました。

小数位	・・・	199	200	201	202	・・・
(3/1010)20	+	・・・	1	0	0	・・・
(3/1010)21	-	0	1	0	4	・・・
a/10200	+	・・・	9	・・・	・・・	・・・

というわけで答えは「９」

一部訂正　4/22､6:30

模試シリーズ10

xyz 空間において、xy 平面上の円Ｃ：x² + y² ＝ 1, z ＝ 0 と、 yz 平面上の点Ｐ(0, u, v) （u ＞ 1, v ≠ 0）を与える。 更に、円Ｃの周上に点Ｑをとり、直線ＰＱと xz 平面の交点をＲとする。
点Ｑが円Ｃの周上を動くとき、点Ｒの描く軌跡が xz 平面上の円になったという。
u, v の満たすべき関係式を求めよ。

なぜ，1周が360度なのか？
少しだけ書かれてあったのを見たのですが， 詳しく教えてくださいませんか？

第９６回数学的な応募問題

太郎さんが勤務している高校のクラス数は、 １年生７クラス、２年生８クラス、３年生８クラスあります。 各クラスの授業時間割を編成するとき、なるべく 隣のクラスを同じ担当者が待たないほうが、経験上少し編成しやすいのです。
例えば、１学年５クラスのときを考えます。 太郎さんが１クラスだけ担当する場合は　｛１｝、｛２｝、｛３｝、｛４｝、｛５｝ の５通りあります。
２クラス担当する場合は　｛１，３｝、｛１，４｝、｛１，５｝、 ｛２，４｝、｛２，５｝、｛３，５｝の６通り。
３クラス担当する場合は　｛１，３、５｝の１通りしかありません。

ここで、問題です。
１学年１からｎまでのクラスがあるとして、 この学年からｋ個のクラスを選んで授業担当をします。 ただし、時間割編成上隣り合わせのクラスは持たないとします。 そこで、このような持ち方の方法をＦ（ｎ，ｋ）通りとします。次の設問に答えてください。

問題１：ｎ＝６のとき、Ｆ（６，１）、Ｆ（６，２）、Ｆ（６，３）を求めよ。

問題２：ｎ＝７のとき、Ｆ（７，１）、Ｆ（７，２）、Ｆ（７，３）、Ｆ（７，４）を求めよ。

問題３：Ｆ（ｎ，１）、Ｆ（ｎ，２）をｎで表せ。

問題４：Ｆ（ｎ，ｋ）をｎとｋで表せ。

問題５：何か漸化式みたいものが発見できたら、教えてください。

蒸気機関車の問題のまとめで紹介しましたが、 暦と深い関係があるようです。

１周はなぜ３６０度なのか？
人類が農耕生活を始めた頃、自然の観察が必要であった。 季節があることに気づき、１年がほぼ３６０日であると考えるようになった。 この３６０日を円周上に配置したので、３６０度になったといわれている。
今日の度分秒の元祖はプトレマイオス(Ptolemaios)で、「アルマゲスト」は三角法の出発点である。
彼は円の半径を６０にとり、これに等しい長さの弦のなす角を６０度にした。
１年が３６０日であることと、プトレマイオスの考えがあいまって、１周が３６０度になったようである
（仙田章雄著、日本実業出版社、「数とグラフの雑学事典」より）

Bezier曲線（ベジェ曲線）は、TrueTypeフォントやAdobe Illustrator等のソフト で利用されている、コンピュータグラフィクスでお馴染みの曲線です。

平面上の3次Bezier曲線とは、以下の様に媒介変数表示できる有限長の曲線です：

　任意の4点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)、 P₃(x₃,y₃)、P₄(x₄,y₄)を与え、

　x　=　t³ ・ x₄ + ３・t² ・ (1-t) ・ x₃ + ３・t ・ (1-t)² ・ x₂ + (1-t)³ ・ x₁
　y　=　t³ ・ y₄ + ３・t² ・ (1-t) ・ y₃ + ３・t ・ (1-t)² ・ y₂ + (1-t)³ ・ y₁ 　　　（一部修正　03.11.5.）

　0≦t≦1

そこで、問題です。

『互いに異なる任意の4点を与えた時、この4点で描いた3次Bezier曲線C までの距離が定数L>0である点が描く軌跡Fを求めて下さい』

　『3次Bezier曲線CをL>0だけ太らせた図形Fを具体的に求めて下さい』

もちろんFをあらわす数式は１本でなく区分的で構いません。
あるいはFをあらわす近似式でも構いません。
難問だと思うので、部分的な解決でもあれば幸いです。

（補足）
Adobe Illustratorでは、F自身をBezier曲線であらわしています（「パスのオフ セット」コマンド）。
が、これはたぶん近似でしょう。厳密にはF自身はBezier曲線ではあらわせない と思います。

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